第4章离散余弦变换

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1、第4章离散余弦变换2023-1-28 1)数字图像傅里叶变换的频谱分布 数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分如图所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上 因子进行傅里叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。2023-1-28图图4.10 二维傅里叶变换的频谱分布二维傅里叶变换的频谱分布 NoImage2023-1-28图4.11 频率位移示例NoImage2023-1-28

2、图为二维离散傅里叶变换的频率位移特性。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。2）图像傅里叶变换的统计分布 （1）傅里叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分量，根据傅里叶变换公式有：1010),(1)0,0(MxNyyxfMNF它反映了原始图像的平均亮度。2023-1-28（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的

3、幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。4.2 4.2 离散余弦变换离散余弦变换l 数字图像处理中的正交变换，除了傅里叶变换以外，数字图像处理中的正交变换，除了傅里叶变换以外，还经常用到离散余弦变换（还经常用到离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT)。lDCT是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅是与傅里叶变换相关的一种变换

4、，它类似于离散傅里叶变换里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)，但是只，但是只使用实数。使用实数。l离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的(因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数)。2023-1-28 4.2 离散余弦变换离散余弦变换l 对信号和图像进行有损数据压缩。对信号和图像进行有损数据压缩。l 离散余弦变换具有很强的离散余弦变换具有很强的“能量集中能

5、量集中”特性。特性。l 大多数的自然信号大多数的自然信号(包括声音和图像包括声音和图像)的能量的能量 都集中在离散余弦变换后的低频部分。都集中在离散余弦变换后的低频部分。2023-1-28DCT的步骤的步骤l分块：在对输入图像进行分块：在对输入图像进行DCT前，需要将图前，需要将图像分成子块。像分成子块。l变换：对每个块的每行进行变换：对每个块的每行进行DCT变换，然后变换，然后每列进行变换。得到的是一个的变换系数矩每列进行变换。得到的是一个的变换系数矩阵。阵。l(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置，表示不同频率的交流分他元素根据其位置

6、，表示不同频率的交流分量。量。4.2.1 一维离散余弦变换一维离散余弦变换2023-1-28l式中式中 是第是第u个余弦变换系数，个余弦变换系数，u是广义频率变是广义频率变量，量，；是时域是时域N点序点序列，列，；两式构成了一维离散余弦变；两式构成了一维离散余弦变换对。换对。2023-1-28)(uF1,.2,1Nu)(xf1,.,2,1,0Nx4.2.1 一维离散余弦变换一维离散余弦变换 4.2.2 二维离散余弦变换二维离散余弦变换2023-1-28 4.2.2 二维离散余弦变换二维离散余弦变换2023-1-284.2.3 离散余弦变换的矩阵表示离散余弦变换的矩阵表示l 二维离散余弦变换具有

7、系数为实数，正变换与逆变二维离散余弦变换具有系数为实数，正变换与逆变换的核相同的特点。离散余弦变换是一种正交变换。换的核相同的特点。离散余弦变换是一种正交变换。为了分析计算方便，还可以用矩阵的形式来表示。为了分析计算方便，还可以用矩阵的形式来表示。l 设设f为一个为一个N点的离散信号序列，可以用一个点的离散信号序列，可以用一个 的的列向量表示，列向量表示，F为频域中一个为频域中一个 的列向量。的列向量。的矩阵的矩阵C为离散余弦变换矩阵，一维离散余弦变换表示为为离散余弦变换矩阵，一维离散余弦变换表示为2023-1-281N1NNN l二维离散余弦变换为二维离散余弦变换为l正变换正变换2023-1

8、-282023-1-284.2.3 离散余弦变换的矩阵表示离散余弦变换的矩阵表示2023-1-284.2.3 离散余弦变换的矩阵表示离散余弦变换的矩阵表示2023-1-284.2.3 离散余弦变换的矩阵表示离散余弦变换的矩阵表示l结果分析：结果分析：l 离散余弦变换具有信息强度集中的特点。图像进行离散余弦变换具有信息强度集中的特点。图像进行DCT变换后，在频域中矩阵左上角低频的幅值大而右下变换后，在频域中矩阵左上角低频的幅值大而右下角高频幅值小，经过量化处理后产生大量的零值系数，角高频幅值小，经过量化处理后产生大量的零值系数，在编码时可以压缩数据，因此在编码时可以压缩数据，因此DCT被广泛用于视频编码被广泛用于视频编码图像压缩。图像压缩。2023-1-284.2.3 离散余弦变换的矩阵表示离散余弦变换的矩阵表示