谈二次函数学习中数学意识

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1、谈二次函数学习中数学意识、数学思想、图象性质的强化与完备 二次函数是初中数学重点中的“重点”。在北师大版数学教材中，二次函数学习是初中函数学习的最后一站。在上海科技版中，反比例函数也不过是函数学习的一个补充。学生的数学意识、数学思想方法以及对图象“精、准、灵活”的驾驭水平，都是在二次函数的学习中提升、强化和完备的。二次函数的学习，涉及整个初中代数绝绝大局部内容，它是建立在整式、函数相关知识的基础之上的，是一次函数、方程、不等式等诸内容的延伸，同时也为高中函数的继续学习储备数学意识、思想方法、驾驭图象的水平，并为高中后续学习提供了探究方向和手段。 函数学习中数学意识的强化与完备 函数的学习一直是

2、初中生数学学习生涯中的难点。很多学生有“恐函症”，尤其在二次函数学习中更为明显。究其原因，其中之一是数学意识薄弱。数学意识是指，根据文字或图形信息自发映射出相关知识的“联想”和相对应的“数学行为”。数学意识，它独立并高于具体的数学技能，是对信息的宏观、常规把握。所以它也不同于具体的解题思路。解题思路是思维综合分析的产物，是有意识思维活动的结果。数学意识，是学生在数学学习过程中经验、体会的积累，并在以后的学习中通过条件反射的形式，出现在解题思路里。在二次函数的学习过程中，教师应增大、增强数学意识的渗透，树立以下数学意识，完善学生函数学习中的代数意识形态。 1、已知自变量（或点的横坐标）x的值，代

3、入函数解析式可求函数（或点纵坐标）y的值。2、已知函数（或点的纵坐标）y的值，通过解相对应方程可求自变量（或点横坐标）x的值。3、已知点的坐标，将坐标代入函数解析式寻求问题的解答思路。4、求交点坐标，想到解两个图象的联立方程组。5、已知交点坐标，可分别将交点坐标代入两个图象所代表的解析式中，探求问题的出路。6、函数图象与y轴交点纵坐标即是函数标准解析式中的常数项。7、求与y轴交点，想到令自变量x=0，代入解析式计算y值。8、求图象与x轴交点，想到令函数y=0，解函数解析式=0的方程。9、函数解析式右边0的不等式的解集，对应于横轴（x轴）上方图象所对自变量的取值范围。10、函数解析式右边0，开口

4、向上；a0 B 4a-2b+c0 C 2a-b4ac E b24ac-1，a0，易得C准确。根据意识，4a-2b+c是x=-2时对应的函数值，观察图象显然有4a-2b+c0 。A选项关键是判断a、b、c的符号，由意识不难判断A选项准确。D选项与a、b、c相关，且具有4ac、b2、4a成份，由意识自然联想到顶点纵坐标公式。经整理D选项得（4ac-b2）/4a0，所以函数图象是开口向上的抛物线。 于是，关于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0有两 个不相等的实根，且一根大于，另一根小于， 2 这相当于抛物线与x轴有两个交点，且一点在点 （2，0）的左边，另一点在点（2，0）的右边，如图2， 即相

5、当于x=2时，y0 。因22+（m+1）2+ m+4 0 ， 图2 所以m -10/3 、数形结合思想。数形结合是指把代数式的精确刻画与几何图形的直观描绘结合起来，使代数问题几何化或几何问题代数化，从而将抽象的思维与形象思维结合的一种思想方法。函数是初中数学中数形结合的典型内容，使用函数的图象和性质能直观地反映数学问题中“数”与“形”之间的内在联系。正所谓“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。二次函数学习是树立“数形结合思想”观点的最正确时期、关键时期。数形的辩证统一，表达了数学的和诣美、统一美。例3 求使得不等式x2+px+q2当x时恒成立的实数对（p，q）。解

6、：对于函数yx2，当x的值连续增加时，要使函数值的变化幅度不大于，只能使x从-变到2（如图3所示）。令y=x2+px+q ，因它与y= x2的图象形状相同，位置不同，所以由平移可知，当x时，要使x2+px+q2恒成立，y=x2+px+q的图象只能如图4 所示，此时抛物线的顶点坐标为（3，-2）。-p/2=3，32+3p+q=-2 。解得p=-6，q=7 。故所求的实数对只有（-6，7）。 4. 2 2. 1 3 5 -2 -2 2 图3 图4 、函数思想，是指从函数的视角审察问题，建立函数模型，解决方程、不等式、几何问题、实际问题、方案设计与面积问题等。下面是一道中考题，大多考生是通过相似建立

7、等量关系，再用二次函数求最值。解答比较复杂，但是用下面函数方法要简洁、明了的多。 例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图5所示），其中AF=2，BF=1。试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。 E A F A M P B M P B D N C D N 图5 图6 解：如图6所示建立直角坐标系，设矩形PNDM面积为S。因P点在线段AB上运动，令P（x，y），则y是x的一次函数。于是S=xy，显然S是x的二次函数，不妨设S= ax2+bx+ c 。当P点在A点（即x=2）时，S=24=8；当P点在B点（即x=4）时，S=43=12；当P点在AB的中点（即x=3）

8、时，S=33.5=10.5 。从而有： 4a+2b+c=8 a= -0.5 16a+4b+c=12 解得 b=5 所以S=-0.5x2+5x（2x4）， 9 a+3 b+ c=10.5 c=0 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。当x5时，函数的值是随x的增大而增大，对2x4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=（-1/2）42+54=12 。 另解：如图6所示建立直角坐标系，则有A（2，4）、B（4，3），于是AB的解析式为y=-0.5x+5 ,故令DN=x时，DM=-0.5x+5 。若设矩形PNDM面积为S，于是S=x（-0.5x+5）=-0.5x2+5x（2x4），此二次函数的图

9、象开口向下，对称轴为x=5 。当x5时，函数的值是随x的增大而增大，对2x4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=（-1/2）42+54=12 。教学中要强化并完备二次函数图象的性质全面系统的归纳抛物线性质，理解并掌握图象特点，达到灵活、巧妙地使用。使学生对二次函数图象特点有个整体的全局的理解，培养解题水平，提升解题技巧，赢得解题时间。 一、 利用增减性 例6 已知a-1，点(a-1,y1)、(a，y2)、(a+1，y3)都在y=x2的图象上，则（ ）A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y3 y2 y1 D y2 y1 y3 解：由解析式y=x2知，抛物线开口向上，对称轴为y轴。又

10、由a-1知，a+10 。故a-1aa+1y2y3 ，因而选C。 二、利用对称性 例7 已知二次函数y= ax2+bx+ c (a0)的顶点坐标（-1，-3.2）及局部图象。由图象可知关于的一元二次方程ax2+bx+ c=0 的两个根分别是x1=1.3和x 2= _ 。 -1 1 2 解：由顶点坐标易知，抛物线的对称轴为直线x = -1。又因为抛物线是轴对称图形，所以图象与x轴的两个交点关于x = -1对称 。根据题意已知一个交点（1.3，0），故其关于x = -1的对称点是（-3.3，0）。想到抛物线与一元二次方程的联系，得知方程另一根为x 2=-3.3。 例8 二次函数y= ax2+bx+

11、c 的不局部对应值如下表：X-3 -2 0 1 3 5 y7 0 -8 -9 -5 7 二次函数y= ax2+bx+ c 图象的对称轴为x=_ ，x=2对应的函数值y=_ 。 分析：抛物线是轴对称图形，抛物线上点关于其对称轴对称的充要条件是纵坐标相等。由表格可知抛物线经过（-3，7）、（5，7）点，从而对称轴为x=1/2（-3+5）=1。根据表格易知图象上（2，m）点关于x =1的对称点是（0，-8），所以m =-8，即x=2时，y=-8 。 三、利用增减性和对称性 例9 已知二次函数y=3（x-1）2 +k的图象上有三个点A（2 ，y1），B（2，y2）， C（-5 ，y3）则y1、y2、y

12、3的大小关系是（ ）A y1y2y3 B y2 y1 y3 C y3 y1 y2 D y3 y2 y1 解：由解析式知抛物线对称轴为x=1，C点关于x=1的对称点D坐标是（5+1，y3），因为1220，抛物线开口向上，在对称轴右侧函数的值是随x的增大而增大，所以y1y2y3 ，所以D准确。 四、利用平移知识例10 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+ c=3的一个根为x1=2，且二次函数y= a x2+b x+ c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为_。 解：令y1= ax2+bx+ c-3 ，据ax2+bx+ c=3的一个根为x1=2，即ax2+bx+ c-3=0的一个根为x1=2，

13、换言之y1= ax2+bx+ c-3与x轴交点为（2，0）。又由解析式知函数y与y1的对称轴相同，即y1的对称轴是x=2，故y1的顶点为（2，0）。而y可看成，y1 保持对称轴不变向上平移3个单位得到的，所以其顶点坐标为（2，3）。 五、利用翻折知识。求抛物线关于y轴或x轴或其它直线翻折后的解析式，抓住顶点的变化，会使问题轻松、易解。 例11 如图，已知抛物线C1、C2关于x轴对称， C3 C1 抛物线C1、C3关于y轴对称。假如抛物线C2 的解析式是y=（-3/4）（x-2）2+1，那么 抛物线C3的解析式是_。 C2 解：根据C2 的解析式知，C2的顶点为（2，1）。因为C1与C2关于x轴

14、对称，故C1的顶点为（2，-1）。又由C1与C3关于y 轴对称，则有C3的顶点为（-2，-1）。因为翻折不改变抛物线的形状大小，且由C3开口向上知其二次项系数为3/4 。综上所述，抛物线C3的解析式为y=（3/4）（x+2）2-1 作为函数学习的最后一站，二次函数成了能否学好函数的关键。教学中教师应注重学生数学意识培养与落实，这可在章节复习时，通过精选一、两个例题，设置多个小问，来全方位唤醒学生意识，同时切记防止“题海战术”和“重复学习”。把数学思想贯穿于课堂教学始终，并通过专题形式实行系统、强化。协助学生全面理解并把握图象性质，学会借助图象解题。从而实现对学生数学意识、数学思想、图象把握诸水平统一与完备。