隐函数及参数方程所表示函数的求导法

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1、4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-2810),(yxF设设二二元元方方程程可可确确定定隐隐函函数数例例如如0),(:222RyxyxF.)(dxdyxfy，求求函函数数确确定定了了唯唯一一的的单单值值可可导导.0,;,0,2222RyRRxxRyRyRRxxRy，和和，(,)0.().yyF x yexyexyyy x但，即，由此虽然可证隐函数存在，但难以解出的显式表达式一、隐函数求导法一、隐函数求导法两个表达式两个表达式(上上.下半圆下半圆)4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实

2、2023-1-2822222222()().()yy xxyrxy xry xx解法一：因是方程确定的隐函数，故有恒等式 视为复合函数，在恒等式两边对 求导，得,0)()(22xyxyx即:(,)0.F x yyx方法1对于由方程确定的隐函数，只需应用 复合函数的求导法，对恒等式或方程两端关于 x求导数，即可得隐函数的导数（注意 是的函数）.)()(yxxyxxyy.)(.1222dxdyryxxy确确定定的的隐隐函函数数，求求是是由由方方程程设设例例4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-283),()(222rdyxd即.yxdx

3、dyy:.(,)0.F x ydyydx 方法2利用微分运算来求隐函数的导数 在方程两边对各个变元求微分，由可得隐函数的导数从而对对方方程程两两边边求求微微分分，得得解解法法二二：.22yxxaxdxdyy，于于是是解解得得由由方方程程解解法法三三：22222xayayx,022ydyxdx4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-284.)(yxyexyy确确定定的的隐隐函函数数，求求是是方方程程若若，方方程程两两边边求求微微分分，得得xdyydxdyey)2(.)1(yxydxdyy求求导导，两两边边对对方方程程两两边边取取对对数数

4、，有有xyxylnln)3(得.)1(,11yxyyyyxy即即得得.化化计计算算求求导导法法，以以简简数数，常常借借助助于于对对数数函函数数式式组组成成的的函函数数和和幂幂指指函函的的积积、商商或或根根，对对方方程程中中由由若若干干因因式式注注：在在隐隐函函数数求求导导法法中中，求求导导，得得方方程程两两边边关关于于yxyyexy)1(.)1(yxyxeyyy即即例2.解法：解法：4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-285例3.相相切切的的直直线线方方程程。并并与与双双曲曲线线求求垂垂直直于于直直线线1720342:22yxyx

5、l.221kkl，所所求求切切线线的的斜斜率率由由已已知知.2707222yxykyyx，即即导导法法，有有，则则由由隐隐函函数数求求的的切切线线斜斜率率为为设设双双曲曲线线上上一一点点kyx),(解：解：4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-286.47227yxyx，即即，的的切切线线与与已已知知直直线线垂垂直直和和即即双双曲曲线线上上有有两两点点和和，得得两两点点解解方方程程组组)7,4()7,4().7,4()7,4(4717222yxyx相相切切，故故时时，双双曲曲线线与与所所求求直直线线当当2k则则所所求求直直线线方方程

6、程为为270270.yxyx即与)4(27)4(27xyxy与与两条切线4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-287二、由参数方程所表示函数的求导法二、由参数方程所表示函数的求导法),(),(tytx.,为参数t存在存在又又都可导，且都可导，且与与若若)(.0)()()(txttytx平面曲线参数方程的一般形式平面曲线参数方程的一般形式).()(1xtty，即即的的复复合合函函数数为为，则则反反函函数数)()(11xyxyxt4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-288求

7、求导导法法则则，有有由由复复合合函函数数与与反反函函数数的的0000().()tttdytdxt从 而 导 函 数 当给 定 时，.)()()()(1dtdxdtdyttxtdxdtdtdydxdy这即是参数方程所表示函数的求导公式。4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-289.,12222constbabyax，,20sincos），（byax.sincos)()(ctgababxydxdy例4.则则.),0(02处处有有水水平平切切线线，椭椭圆圆在在由由于于bdxdy.)1(22yaxby隐隐函函数数求求导导法法，解法：解法：椭

8、椭圆圆的的参参数数方方程程)2(.dxdy求4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-281033acos(1)asinxtayt 证明：星形线，（为常数）例例5.数数标标轴轴之之间间的的线线段段长长为为常常上上任任一一点点的的切切线线在在两两坐坐tanacosasindytXtYtdx 证明：，22222333.dXYaXYa，（）(变量代换变量代换)4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-2811sinkcosdytdxt切证明：，(cossin)(2)(sincos)xa

9、tttaconstyattt圆的渐开线，（.a的的距距离离等等于于上上任任一一点点的的法法线线到到原原点点).sin(cos(sincos)cos(sintttaxtttttaysincos0.ytxta 即0.da故，法线到原点的距离cossintkt 法，法线方程：4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-2812例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.1(sin)(1 cos)2xa tttyat求摆线在处的切线方程。4.6.隐函数及参数方程所表示函数的

10、求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-2813.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-2814例7.P164，例5.()rty tV解：设 时刻容器中水高为，水面半径为，则此时水的体积 为y(t)hrR函数的导数是函数的变化率函数的导数是函数的变化率应用导数解决实际问题应用导数解决实际问题.)1(1 3132hyhRV代代入入上上式式得得：),(313122yhrhRV).1(hyRrhyhRr即即，又又4.6

11、.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-2815,)(222yhRAhdtdy,1)1(33122dtdyhhyhRA,21时时当当hy 即.42RAdtdy2311(1).3yAtVAtR hh而，故yt.yt这就是水的高度 与时间 的关系F（，）=0t由隐函数求导法，上式两边关于 求导，得即水位等于锥高一半时，水面的上升速度。即水位等于锥高一半时，水面的上升速度。4.6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法隐函数及参数方程所表示函数的求导法 务实务实2023-1-2816隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互通过函数关系确定两个相互 依赖的变化率依赖的变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解用链式求导法求解.三、小结三、小结作业：作业：P167