大学物理第12章 真空中的静电场 思考题典型例题

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1、思考题12-1. 怎样认识电荷的量子化和宏观带电体电量的连续分布？答： 常见的宏观带电体所带的电荷远大于基本电荷量，在一般灵敏度的电学测试仪器 中，电荷的量子性是显示不出来的.因此在分析带电情况时，可以认为电荷是连续分布的.这 正像人们看到流水时，认为它是连续的，而并不感觉到水是由一个个分子、原子等微观粒子 组成的一样.12-2.两个完全相同的均匀带电小球，分别带电量ql=2C正电荷，q2=4C负电荷，在真 空中相距为r且静止，相互作用的静电力为F.（1） 今将q2、r都加倍，相互作用力如何变？（2）只改变两电荷电性，相互作用力如何变？（3）只将 r 增大 4 倍，相互作用力如何变？（4）将两

2、个小球接触一下后，仍放回原处，相互作用力如何变？（5）接上题，为使接触后，静电力大小不变应如何放置两球？答：（1）作用力不变.（2）作用力不变.（3）作用力变为F/25，方向不变.（4）作用力大小变为F/ 8，方向由原来的吸引变为推斥（接触后电量先中和，后 多余电量等分） .12-3.若通过一闭合曲面的E通量为零，则此闭合曲面上的E 一定是 （1）为零，也可能不为零；2）处处为零.答： 为零，也可能不为零, 因为通量除了和电场强度有关，还和电场与曲面的夹角有关.12-4. 比较场与实物的同和异？答：同：都是物质存在的形式，客观存在并能为人所认识；存在的形式都具有多样性； 都有质量、能量、动量、

3、角动量；进行的物理过程，也遵从质量守恒、能量守恒、动量守恒 和角动量守恒等普遍规律；都不能创生，不能消灭，只能从一种形式转变为另一种形式.异：实物由原子分子组成，具有不可入性.而场所占据的空间能为其他场同时占有，且互 不影响；实物的质量密度较大（103千克/米 3），场的质量密度很小（10-23千克/米 3）；实物不 能达到光速，场一般以光速传播，实物受力可产生加速度，场不能被加速；实物可作参考系， 场不能当参考系.12-5. 能否单独用电场强度来描述电场的性质？为什么要引入电势？答：可以只用电场强度来描述电场性质.但是，引入电势后，即可从不同角度加深对电场 的认识，也可简化运算，因为电势V是

4、标量，一般情况下计算V比计算E方便，求得V后根 据E=-gradV，即可得电场强度E 了.12-6. 电势零点的选择是完全任意的吗？答：由定义来看，电势只具有相对值，从此意义上说，电势零点选择是完全可以任意的. 但在理论研究中，往往要采用一些抽象模型，如无限大带电体、点电荷等，在这种情况下， 电势零点就有一定的限制，即必须使得电场中个点的电势具有确定的值，这才有物理意义 . 例如，无限大均匀带点平面，由于电荷分布在无限范围，就不能选无限远处的电势为零，通 常选带电平面本身的电势为零.又如点电荷，因为电荷集中在一个点上，因此不能选点电荷本 身作为电势零点，而通常选无限远处为电势零点.无限长带电直

5、线的电势零点，既不能选在其 本身上，也不能选无限远处，只能选空间中的其他任意点.实际问题中常以大地或电器的金属 外壳为电势零点.另外电势零点选择应尽量使计算简单.12-7. 电势与场强的关系式有积分形式和微分形式.计算时在怎样的情况下使用较方便. 答：电势与场强的关系有微分形式：E = - gradV = -VV积分形式：V J E - dlaa当场强分布已知或带电系统的电荷分布具有一定对称性，因场强较易用高斯定理求出 用积分形式计算电势方便.当带电系统的电荷分布已知，电荷分布的对称性又不明显时，易用电势叠加法，即计算电势，再用微分式计算场强方便.12-8.假如电场力作功与路径有关，定义电势的

6、公式VE - dl还有没有意义？从原则上讲，这时还能不能引入电势的概念？答：加入电场力的功和路径有关，那么积分VE -dl在未指明积分路径以前就 没有意义，因为它与路径有关，路径不同，积分的结果也不同，相同的初位置，可以有无限多积分值，则VE - dl就没有确定的意义，即不能根据它引入电势的概念.aa12-9. 怎样判断电势能、电势的正负与高低？答：判断正负，必须首先选定参考零点.将给定电荷（可正可负）移至零点，根据电场力 做功的正负，决定该电荷在给定点电势能的正负；将单位正电荷（必须是正）从给定点移至 零点，电场力做功的正负，决定给定点电势的正负.比较高低，与零点选择无关.将给定电荷（可正可

7、负）从 A 点移至 B 点，若电场力作正功，则W W，电场力作负功，WvWr.将单位正电荷（必须是正）从A移至B,电场力作A BA B正功，VAVB；电场力作负功，VAvVB.A BA B12-10、库仑定律与高斯定理、环路定理的关系.答：库仑定律是直接从实验中总结出来的，是整个静电学理论的实验基础.由于它只是从 电荷相互作用的角度研究静电现象，局限性较大，只适用于相对静止的点电荷的场.高斯定理 和环路定理是库仑定律的推论，由于它们是用场的观点，从两个不同的侧面，对静电场的基 本性质给出了完整的描述，适用于一切场源电荷激发的场.当然，从另外一个角度，也可以先从实验中总结出高斯定理和环路定理，再

8、由它们导出 库仑定律.比如，可根据实验空腔导体内不带电的实验，得到高斯定理.再把高斯定理用于中 心置一点电荷的闭合球面，即可导出库伦定律 .因此高斯定理和环路定理又叫做静电场的第 一、第二定律，这时库仑定律就只处于一种推论的地位.习题12-2.电子所带电量（基本电荷-e）最先是由密立根通过油滴实验测出的，其实验装置如 图所示.一个很小的带电油滴在电场 E 内，调节 E 的大小，使作用在油滴上的电场力与油滴 的质量平衡如果油滴的半径为1.64 x 10-4 cm，平衡时E=1.92x 105 n/C，油的密度为 0.851g/cm3,求油滴上的电荷.图12-2题解：没油滴的电量为Q,体密度为P，

9、半径为R （设油滴所带电量为体分布），这时的 电场力和重力分别为 F 和 G由 F =G 得：EQ=mg= 3 P兀 R 3g4兀（.6x 10一6 x0.851 x 103 x9.83E3 x 1.92 x 105=8.02 x 10-19C12-4.将一 “无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为久， 四分之一圆弧AB的半径为R,试求圆心O点的场强.OO图12-4题解：在 O 点建立坐标系如下图所示.ooB半无限长直线A在O点产生的场强:E -九（i - j14k8 R0半无限长直线B在O点产生的场强:四分之一圆弧段在 O 点产生的场强:E = G + j)34兀w R0

10、由场强叠加原理，O点合场强为：E - E + E + E =(i + j)1234耐 R012-5.真空中一立方体形的高斯面，边长a = 0.1 m,位于图中所示位置.已知空间的 场强分布为：E =bx , E =0 , E =0.常量b = 1000 N/(Cm).试求通过该高斯面的电通x y z量.解：如下图所示a2ax通过x=a处平面1的电场强度通量巴=-E S= -b a3通过 x = 2a 处平面 2的电场强度通量 c = ES = 2b a32 2 2其它平面的电场强度通量都为零因而通过该高斯面的总电场强度通量为= + =ba3 + 2ba3 = 1 (N m2/C)1212-6.

11、如图所示，有一三棱柱放在电场强度为E = 200i N/C的匀强电场中.求通过此三 棱柱的电场强度的通量.图12-6题解:三棱柱的闭合曲面有五个面组成：S：abcda ， S :abea ， S :dcfd ， S :adfea ，234S5:befcb ，通过各个面的电场强度通量为S :abcda 面:1=ES cos 兀=ES1 1 1S :abea 面:2=ES cos 兀 / 2 = 0 22S：3dcfd 面：S ： adfea 面S ： befcb 面：=ES cos 兀 / 2 = 033=ES cos 兀 / 2 = 044=ES cos 0 = ES5 5 1因而通过闭合三棱

12、柱的电场强度的通量为0 = 0 +0 +0+0 +0 = _ES +ES =0即，在均匀电场中，穿入三棱柱的电场1 2 3 4 5 1 1线与穿出三棱柱的电场线相等，故通过闭合三棱柱的电场强度的通量为零.12-7.带电细线弯成半径为R的半圆形，其电荷线密度为久sinO,式中0为半径R与 x轴所成的夹角，久0为一常数，如图127所示，试求环心O处的电场强度.解： 在 0处取电荷元，其电量为dq = x odl = xo Rsin 0d0它在 O 点处产生的场强为,dq九 sin 0d0dE = o4宓 R 24k8 R00在 x 、y 轴上的两个分量dE = -dE cos 0 ，xdE = -

13、dE sin 0yE = - o J 兀 sin 0 cos 0d0 = 0x4K8 R 00所以九04K8 R0J 兀 sin 2 OdO 二一0九08e R00E = E i + E j = o jx /8s R012-13.半径为R、长为t的均匀带电圆柱体，电荷体密度为p0,求圆柱体轴线上O点的 场强设O点离圆柱体近端的距离为b如图1213所示.Y图12-13题解：用积分法求解这题目时，如取点电荷为积分元，则要用三重积分.但是我们取圆盘为积分元，用圆盘在轴线上一点产生的场强的公式，只要计算定积分就可以求得圆柱体轴线上 一点的场强.如图12-13取坐标，距O点的距离y处，一厚度为dy的圆盘

14、在O点产生的场强的大小dE =1 乙2乙0xR2 + y2方向与Y轴相反，式中b是厚度为dy的圆盘上的电荷面密度,b和圆柱体的电荷密度p0 的关系所以有dEdE = 晒1- . Jb2 0+R2 + y 2=j b +T P0dy 一 j b +TP0 ydyb2b2R 2 + y0 0e - R 2 +（T + b）2 + R 2 + b 2 2 012-14.如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，求此 过程中电场力所作的功图12-14题解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电

15、势V = p r / C 兀 r 3）0式中 r 为从电偶极子中心到场点的矢径于是知： A、B 两点电势分别为V - - p / 6兀 R 2)A0V = p / 6兀 R 2) C = p )q从A移到B电场力作功（与路径无关）为A - q(V 一 V )= -qp /C兀 R2)A B012-17.图中所示为一沿x轴放置的长度为1的不均匀带电细棒，其电荷线密度为久二A0（x-a），州为一常量.取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势.图12-17题解：在任意位置x处取长度元dx,其上带有电荷dq=4（xa）dx,它在 O 点产生的电势dV九(x 一 a )d x=o4兀s x0O 点总电

16、势九o4兀s0l 一 aln九V 二 J dV 二4兀s0Ja+l d x - a Ja+l 空aa x12-18.两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R = 0.03 m和R2=0.10 m.已知两者的电势差为450 V,求内球面上所带的电荷.解：设内球上所带电荷为Q,则两球间的电场强度的大小为(R1rR2)两球的电势差U12=J R2 E d r =R1Q Jr drJ 2 4 兀sR r 201RR12八 4兀s RRUQ = o 1 2 12 =2.14X10-9 CR 一 R2112-20、如图所示，半径为R1和R2的两个同心球面均匀带电，电量分别为Q1和Q2.（1）试求

17、区域1, 2, 3中的电势；（2）讨论Q1=-Q2和Q2=-Q1R2/R1两种情况下各区域中的电势,并画出 V-r 曲线.电势分布：=0(r解：（1）利用高斯定理求出：= JsR2当 Q2=-Q1 时：当 q2=-4k8 r 2r (R4k8 r 2= Js-dZ =-dZ +V3=0；Q时:4k8 r 24k8 r4k8 r4k8 RJ R2R1E - dZ +JR1-dZ 二Q144兀&(R4k8 R r;V;V4兀&在此两种情况下的U-r曲线如图4兀&F;Vax12-21.在一个平面上各点的电势满足下式：V二+(x2 + y2 ) (x2 + y2)b，x和y为这12点的直角坐标，a和b

18、为常数求任一点电场强度的Ex和Ey两个分量.解：根据E = -VV，知:E =x dxdUa(x2 一 y2) + bx(x2 + y2)-2 ；9(x2 + y2 )2dU y2 ax + b( x 2 + y 2)1?E =y dy( x2 + y2 )212-22、一高为h的直解形光滑斜面，斜面倾角为a 在直角顶点A处有一电量为-q的点电荷，另有一质量为m带电量+q的小球在斜面的顶点B由静止下滑设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部C点时的速率.解：因重力和电场力都是保守力，小球从顶点B到达C点过程中能量守恒q21q2+ mgh = mu 2 4K8 h24K8 hctga00q 22k

19、8 mh0Cga -1)+ 2gh1-1 丄212-23.长l厘米的直导线AB均匀地分布着线密度为久的电荷.求:(1)在导线的延长线上与导线一端B相距R处P点的场强;（2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距R处Q点的场强.解：（1）如图12-23 （a）所示，取A点为坐标原点，向右为x轴正方向.直导线上任dx线元到A点距离为x,其电场强度为九dxdE =4K8 (l 一 x + R)20而各段在P处产生场强方向相同（沿x轴正方向），故总场强为=dE = 1九dx方向沿 x 轴正方向.=14K804K8 (l - x + R)2 002(l 一 x + R)2）若以导线 AB 中心为坐标原点，如

20、图 81（b）所示.dx线元在Q点产生的电场为九dx1dE =(方向如图所示)4K8 (x 2 + R 2)0由于对称性，其叠加场强沿y正方向，水平方向相互抵消在Q点的场强为E = J dE cos 0 =1Qlf九 dx(x 2 + R2)-l 2R(x 2 + Rf 2) 12dx丄R 2( R 2 + x 2)=2 九R f4兀S0 0(x2 + R2)322兀匕0方向沿 y 轴正方向.当导线1为无限长时，由上式可求得场强为E = X/(2兀0R).12-24.如图题12-4所示，一厚为a的无限大带电平板，电荷体密度p kx (OWxWa), k为一正值常数.求：(1) 板外两侧任一点M

21、、M2的电场强度大小;(2) 板内任一点M的电场强度；3)场强最小的点在何处.解：(1)在x处取厚为dx的平板，此平板带电量dq 二 p dx - Sdq电荷面密度为二 =pdxS则cpdxkxdxdE =2e2e2s0 0 0E = 。竺 dx = ka 20 2s4s00(2)板内任一点M左侧产生的场强方向沿x轴正向E = aJkxdx =皂102s04s0M 右侧产生的场强方向沿 x 轴负向=j aJkdxk a 2 - x 2)x2s04s0所以kx2E =4s0k a 2 - x 2)4s0L2x2 -a2)4s0(3) E = 0时场强最小，即2x2 -a2二012-25. 如图所

22、示，圆锥体底面半径为 R，高为H,均匀带电，电荷体密度为,求顶点A 处的场强.图12-25题解：在离顶点A为x处选厚为dx的薄圆盘，此圆盘半径为r.由图知xH rR此薄圆盘的带电量dq = pdV = p兀r 2dx电荷面密度,p兀r 2dx电量/面积=pdx利用均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强结果ox (1E =2s01 、x vx2 +R2 丿dE _ 2&0可得此薄圆盘在A点的场强1 -(j r2 + R2 丿_1 - H; H2 + R2 lx2s0dxE十卫0 2s0_H2s01- j VR2 + H2 丿此题也可以在柱面坐标系中用三重积分来计算.12-26.根长为L的细棒，弯成半圆

23、形,其上均匀带电，电荷线密度为 +九，试求在圆心O 点的电势.解：半圆形导线半径：R _ 兀O 点电势由电势迭加原理求解.dV _ A0dq = X dl所以V _ JdV _ JLo 4兀s R 4兀s R00Xdl XL_ X4s012-27.如图12-27所示，在XY平面内有与Y轴平行、位于x= a/2和x= -a/2处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷密度分别为久和丿，求Z轴上任一点的电场强度.解：过Z轴上任一点(0, 0, z)分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如下图所示，按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为7十一0式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外和

24、朝里,如图所示,按场强叠加原理,该处合 场强的大小为E = 2E cos9 二九.a/2 +K &r2akK (a2 + 4z2)0方向如图所示或用矢量表示2aXE = -iK (a2 + 4z2) 012-28.真空中有一咼h_20cm、底面半径R_10cm的圆锥体.在其顶点与底面中心的中点置一 q =10-6C 的点电荷,求通过该圆锥体侧面的电场强度通量.解：以顶点与底面圆心的中点为球心，r = R2 + (H/2)2为半径做一球面如下图所示可以看出，通过圆锥侧面的电通量等于通过整个球面的电通量减去通过以圆锥底面为底的球冠面的电通量.整个球面的电通量为=Q / 00通过球冠面的电通量1h

25、/2VR 2 + (h / 2)2式中S为球冠面面积S = 2兀r(r -)，S0为整球面积. r0通过圆锥侧面的电通量20qh4 R2 + (h/2)202. =0.6 x 104 N - m2/C,R 2 + (h/2)212-29.厚度为d的无限大平板，均匀带电，电荷体密度为p，求空间场强分布.解：由于电荷分布对无限大平板的中央平面(即图中在x = 0处)而言具有面对称性，因此电场分布对中央平面也具面对性，同时也不难得出在中央平面上各点的场强为零.作如图 所示的圆柱形高斯面：圆柱面侧面与中央面垂直，左底面左在中央面上，右底面&右与中央面平行，且距离为x,因电场强度的方向与x轴平行，所以通

26、过圆柱面的电通量为:d1X2oXJ E dS = J E dS + J E dS + J E dSSAS 左A S 侧A S 右=0 + 0 + EAS 右=EAS 右qi i i而圆柱面所包围的电荷Y q = pxAS右.根据咼斯定理得EAS= pxAS右 右0E = x0在无限大平板之外，同理可得! E dS = EASS1d=p AS右 2 右0P .xi0R di20di20综上所述，空间电场的分布为(-4 x 2)22(x M即 (r W -与)用高斯定理求电场的分布，分析电场分布的对称性是关键，但适当选取高斯面也重要， 须知，不是选取任意高斯面都能求出具有对称性分布的电场之场强.1

27、2-30.如图所示，AB=2R, Od是以B点为中心，R为半径的半圆，A点有正电荷+q, B 点有负电荷切(1) 将正电荷缩从O点沿OCd移到D点，电场力作功多少？(2) 将负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远点电场力作功多少？电势改变多少？图12-30题解：由静电场力作功与路径无关的性质， 根据静电场力作功与电势差的关系 A二q (U - U )计算之.ab 0 a b(1) 由点电荷的电势公式和电势迭加原理得O 点的电势：4k8 R4k8 RD点的电势:二 q - q =_ qD 4K8 3R 4K8 R6K8 R0 0 0将电荷q从D点沿ocd移到D点电场力所作的功为A 二 q (V -

28、 V )二-q0q-0 D0 O D6 耐 R0(2)同理可得将-q从D点沿AB的延长线移到无穷远点，电场力所作的功为A = q (V V )二q ( 0)二oOs0 D 80 6K8 R6K8 R00电势能的改变为AW 二 W W 二-A 二-qoq8 DD86兀 R012-31. 环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R,内半径为R/2,并有电荷Q均匀分 布在环面上.细绳长3R,也有电荷Q均匀分布在绳上，如图所示,试求圆环中心O处的电场强度(圆环中心在细绳延长线上)2图12-31题解：先计算细绳上的电荷在O点产生的场强.选细绳顶端作坐标原点O, x轴向下为正如下图所示.3RxdxE1x在 x

29、处取一电荷元dq =九 dx = Qdx/(3R)它在环心处的场强为dE1d q4ks （4R - x）20=Q d x12ks R（4R - x）2 0整个细绳上的电荷在环心处的场强Qj 3 Rdx_ Q12 兀 w R o （4 R 一 x ）2 16 兀 w R 200圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强E2=0由此，合场强E_Ei_1Q16 兀w R 20方向竖直向下12-32一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体，球心为O，两球心间距离OO_ d，如图所示.求:在球形空腔内，球 心0处的电场强度左。.在球体内P点处的电场

30、强度E .设o、O、P三点在同一直径上，且 OP _ d.图12-32题解：挖去电荷体密度为p的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场E， 而另在挖去处放上电荷体密度为-p的同样大小的球体，求出电场e2,并令任意点的场强为此 二者的叠加，即可得：E = E + E012在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S,可求出O与P处场强的大小.-d S = E - 4 兀 d 2 =-乜 d 3 p1有：Eio=Eip= Eid30方向分别如图所示.1O2O=0图(a)图(d)图(c)在图(b)中，以O点为小球体的球心，可知在O点E2=0.又以O为心，2d为半径作球面为高斯面s

31、可求得p点场强e2p-4兀(2d)2=4 兀 r 3 (-P )/(3 )0E2P-r 3 p12 d 20(1)求O点的场强EO，,由图(a)、(b)可得pdE = E =O= 1O- 30方向如图(c)所示.求P点的场强Ep.由图(a)、(b)可得E 二 E + EP1P2 PP3804d 2丿方向如(d )图所示.12-33.如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q.沿某一半径方向上有一均匀 带电细线，电荷线密度为久，长度为1,细线左端离球心距离为r0.设球和线上的电荷分布 不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零).解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx,其上电荷为dq = h dx，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：整个细线所受电场力为：+f)q九 J r+1 dx4 兀8rx 200方向沿x正方向.电荷元在球面电荷电场中具有电势能：dW =qkdx沁ox整个线电荷在电场中具有电势能：r +1dxr0ln0