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1、知识点一：知识点一：抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：开口向上开口向上a0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0,b0,0.练习练习2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：的符号：xyo a0,b0,c=0,0.练习练习3、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：的符号：xyo a0,b0,0.练习练习4、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的
2、符号：的符号：xyo a0,b=0,c0,=0.练习练习5、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：的符号：xyo a0,b=0,c=0,=0.练习练习6、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：的符号：xyo a0,c0,0.练习练习7、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示，则点示，则点M（，a）在）在 （）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 cbxoy a0,c0,D练习练习8、已知：一次函数、已知：
3、一次函数y=ax+c与二次函数与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（象是图中的（）xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）C练习练习9、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示，下列结论中：示，下列结论中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0;a-b+c0正确的正确的个数是个数是 （）A、2个个 B、3个个C、4个个 D、5个个xoy-11C练习练习11、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示，下列结论中下不正确的是示，下列结论中下不正确的是
4、（）A、abc0 B、b2-4ac0C、2a+b0 D、4a-2b+c0 xoy-1-11 1D练习练习1.抛物线抛物线y=ax2+bx+c在在x轴轴上方的条件是什么？上方的条件是什么？x0402acba变式：变式：不论不论x取何值时，函数取何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远是正值的条件是什么？的值永远是正值的条件是什么？你知道吗？你知道吗？不论不论x x取何值时，函数取何值时，函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的值永远是非）的值永远是非负数的条件是什么？负数的条件是什么？知识点二：知识点二：x知识点二：知识点二：2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c在在
5、x轴下方的条轴下方的条 件是什么？件是什么？0402acba变式：变式：不论不论x取何值时，函数取何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远是负值的条件是什么？的值永远是负值的条件是什么？你知道吗？你知道吗？不论不论x x取何值时，函数取何值时，函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的值永远是非）的值永远是非正数的条件是什么？正数的条件是什么？（三）知识升华（三）知识升华抛物线位置与系数抛物线位置与系数a，b，c的关系：的关系：a决定抛物线的开口方向：a0 开口向上 a0 开口向下 c决定抛物线与y轴交点的位置：c0 图象与y轴交点在x轴上方；c=0 图象过原点；c0
6、 图象与y轴交点在x轴下方。a，b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x=）ab2 a，b同号对称轴在y轴左侧；b=0 对称轴是y轴；a，b异号对称轴在y轴右侧 顶点坐标是（，）。ab2abac442=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：0抛物线与x轴有两个交点；0抛物线与x轴有唯一的公式点；0抛物线与x轴无交点。二次函数的最大、最小值由a决定。例2、已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，x=为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？-1 0 1 x31 y 31【分析与参考答案【分析与参考答案】首先观察到二次函数的图象为抛物线，其对称轴为直线x=，抛
7、物线与x轴有两个交点，交点的横坐标其一大于1，另一个介于-1与0之间，抛物线开口向上，顶点的纵坐标及抛物线与y轴的交点的纵坐标均介于-1与0之间，由此可得如下结论：a0;-1c0;b2-4ac0;,2a=-3b;312ab由，(4)得b0;由,得abc0;考虑x=1时y0，所以有a+b+c0;又x=-1时y0，所以有a-b+c0;考虑顶点的纵坐标，有0c-1。ab4231-11.(天津天津)已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c，且且a0,a-b+c0,则一定有则一定有()A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac0 D.b2-4ac0二、典型例题分析二、典型例题分析A
8、A2.(2.(重庆重庆)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图的图 像如图所示，则点像如图所示，则点M M（b,c/a)b,c/a)在在 ()()A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限D D-1a 0,c 03.(河北省河北省)在同一直角坐标系中，一次函数在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的图像大致为的图像大致为()B4.(山西省山西省)二次函数二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值的图像如图所示，则函数值 y0时，对应的时，对应的x取值范围取值范围 是
9、是 .-3x1.-3-3-3-35、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的的 图像如图所示，下列结论：图像如图所示，下列结论：a+b+c0，a-b+c0；abc0；b=2a 中正确个数为中正确个数为 ()A.4个个 B.3个个 C.2个个 D.1个个A6、无论、无论m为任何实数，二次函数为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点的图像总是过点 ()A.(1，3)B.(1，0)C.(-1，3)D.(-1，0)C当当x=1x=1时时,y=a+b+c,y=a+b+c当当x=-1x=-1时时,y=a-b+c,y=a-b+ca 0,b 0 x=-b/2a=-1D7.(7.(
10、安徽安徽)二次函数二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列的图像如图，则下列a、b、c间的关系判断正确的是间的关系判断正确的是()A.ab 0 B.bc 0 D.a-b+c 00的的 解为解为 ()()A.x a/b B.x -a/b A.x a/b B.x -a/b C.x a/b D.x -a/b C.x a/b D.x -a/b Da 0,b 0,c 0a 0,b 09.9.已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图像如图所示，的图像如图所示，那么下列判断不正确的有那么下列判断不正确的有()()A.abc A.abc0 B.b0 B.b2 2-4ac-
11、4ac0 0 C.2a+b C.2a+b0 D.4a-2b+c0 D.4a-2b+c0 0DX=-b/2a1X=-b/2a1-b2a-b2a2a+b2a+b0 0 当当x=-2x=-2时时,y=4a-2b+cy=4a-2b+c0 0D10、若抛物线、若抛物线y=ax2+3x+1与与x轴有两轴有两 个交点，则个交点，则a的取值范围是的取值范围是()A.a0 B.a-4/9 C.a 9/4 D.a9/4且且a011.某幢建筑物，从某幢建筑物，从10米高的窗口米高的窗口A用水管向用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示与墙面垂直，
12、如图所示).如果抛物线的最高点如果抛物线的最高点M离墙离墙1米，离地面米，离地面40/3米，则水流落地点米，则水流落地点B离墙离墙的距离的距离OB是是 ()A.2米米 B.3米米 C.4米米 D.5米米BO抛物线顶点抛物线顶点M（1,40/3)与与y轴交点轴交点A(0.10)求得抛物线解析式求得抛物线解析式;求出抛物线与求出抛物线与x轴的交点轴的交点;1、(青海省青海省)如图所示，已知抛物线如图所示，已知抛物线 y=-x2+bx+c与与x轴的两个交点分别为轴的两个交点分别为A(x1,0)，B(x2，0)，且，且x1+x2=4，x1x2=3，(1)求此抛物线的解析式；求此抛物线的解析式；(2)设
13、此抛物线与设此抛物线与y轴的交点为轴的交点为C，过点，过点B、C作作直线，求此直线的解析式；直线，求此直线的解析式；(3)求求ABC的面积的面积.(1)y=-x2+4x-3(2)y=x-3(3)3 三、综合应用三、综合应用 能力提升能力提升2、已知、已知;二次函数二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).(1)求证求证:不论不论m为何值时为何值时,函数的图像与函数的图像与x轴总轴总有交点有交点,并指出并指出m为何值时为何值时,只有一个交点；只有一个交点；(2)当当m为何值时为何值时,函数图像过原点函数图像过原点,并指出此时并指出此时函数图像与函数图像与x轴的另一个交点；轴的另一个交点；(3
14、)若函数图像的顶点在第四象限若函数图像的顶点在第四象限,求求m的取值的取值范围范围.(2)另一个交点坐标为另一个交点坐标为(1，0)(3)当当m-1且且m3时时,抛物线的顶点在第四象限抛物线的顶点在第四象限.30.0,)3()1(24)1()1(22轴只有一个交点抛物线与时，时，即轴总有交点，且当抛物线与为何值时，无论xmxmmmm抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：（1）a的符号：的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线的开口方向确定（2）C的符号：的符号：由抛物线与由抛物线与y轴的交点位置确定轴的交点位置确定（4）b2-4ac的符号：的符号：由抛物线与由抛物线与x轴的交点个数确定轴的交点个数确定（3）b的符号：的符号：由对称轴的位置确定由对称轴的位置确定（5）a+b+c的符号：的符号：由由x=1时抛物线上的点的位置确定时抛物线上的点的位置确定（6）a-b+c的符号：的符号：由由x=-1时抛物线上的点的位置确定时抛物线上的点的位置确定（7）2ab的符号：的符号：对称轴与直线对称轴与直线x=1 或或x=-1的位置确定的位置确定小结小结
九年级数学下册 二次函数的符号问题课件 人教新课标版
