211二次函数的图象与性质复习课2

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1、a2b)a4b2ac4,a2b()0,a2ac4b2b(a2b a2b a4b2ac4 a4b2ac4)0，a2b(6245392cbacbacba分析：函数的顶点坐标是（分析：函数的顶点坐标是（h h，k)k)，所，所以以h h=-4=-4，k k=8=8，即得，即得y=a(x+4)y=a(x+4)2 2+8+82、抛物线、抛物线y=x22x3的开口向的开口向 ，对称轴对称轴 ,顶点坐标顶点坐标 ;当当x 时时,y最最_值值=,与与x轴交点轴交点 ,与与y轴交点轴交点 。1、二次函数、二次函数y=0.5xy=0.5x2 2-x-3-x-3写成写成y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k

2、的形式后的形式后,h=_,k=_,h=_,k=_一、复习：一、复习：3、二次函数、二次函数y=xy=x2 22x2xk k的最小值为的最小值为5，则解析式为则解析式为 。4、已知抛物线、已知抛物线y=x2+4x+c的的顶点在的的顶点在x轴上，轴上，求求c的值？的值？例例1、已知二次函数的图象经过已知二次函数的图象经过(0,1),(2,4)，(3,10)三点三点,请请你用待定系数法求这个函数你用待定系数法求这个函数的解析式。的解析式。二、用待定系数法求抛物线解析式二、用待定系数法求抛物线解析式 例例2、已知二次函数的图象经过、已知二次函数的图象经过(0,1),它它 的顶点坐标是的顶点坐标是(8,

3、9),求这个函数的解析式。求这个函数的解析式。例例3、已知抛物线的顶点在原点、已知抛物线的顶点在原点,且过且过(2,8),求这个函数的解析式。求这个函数的解析式。(2)抛物线顶点为抛物线顶点为M(1,2)且过点且过点N(2,1)根据下列已知条件，求二次函数的解析式：根据下列已知条件，求二次函数的解析式：(1)抛物线过点抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)(3)抛物线过原点，且过点抛物线过原点，且过点(3,27)(4)已知二次函数的图象经过点（已知二次函数的图象经过点（1，0），），(3，0),(0),(0，6)6)求二次函数的解析式。求二次函数的解析式。(5)抛物线抛物线y=ax2+b

4、x+c经过经过(0，0)与（与（12，0），），最高点的纵坐标是最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式，求这条抛物线的解析式综合例题：综合例题：例例1：已知二次函函数图像经过点：已知二次函函数图像经过点A（-1，0），），B（3，0），与），与y轴的交点轴的交点C，且三角形，且三角形ABC的的面积为面积为63B-1ACC例例2：当：当x=-1，y有最大值有最大值4，抛物线与，抛物线与x轴轴的交点的横坐标为的交点的横坐标为x1 ，x2，且，且x12+x22=10练习：练习：1、已知二次函数的图像经过点、已知二次函数的图像经过点A（-1，12），），B（2，-3）（1）求该二次函数的解析式）求该

5、二次函数的解析式 （2）用配方法把由（）用配方法把由（1）得到的解析式化为的）得到的解析式化为的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）求抛物线与）求抛物线与x轴的两个交点轴的两个交点C，D的坐标及的坐标及三角形三角形ACD的面积的面积2、已知的图像与、已知的图像与x轴只有一个公共交点轴只有一个公共交点(-1，0)，要求至少用三种方法求要求至少用三种方法求p，q的值的值小结：小结：在选用二次函数的解析式时应根据实际条在选用二次函数的解析式时应根据实际条件进行选用，它们一般满足以下规律：件进行选用，它们一般满足以下规律：已知三点坐标或三对已知三点坐标

6、或三对x，y值时值时已知顶点坐标或对称轴与函数最大（小）已知顶点坐标或对称轴与函数最大（小）值时值时 已知图象与已知图象与x轴交点的坐标轴交点的坐标一、复习：一、复习：2、抛物线、抛物线 的顶点是的顶点是(2,3)，则则m=,n=;当当x 时时,y随随x的增大而增大。的增大而增大。nmxy2)(23、已知二次函数、已知二次函数 的最小值的最小值为为1，则，则m=。mxxy621、抛物线、抛物线y=x2+2x 3的开口向的开口向 ，对称轴对称轴 ,顶点坐标顶点坐标 ;当当x 时时,y最最_值值=,与与x轴交点轴交点 ,与与y轴交点轴交点 。5、已知一个二次函数的图象经过、已知一个二次函数的图象经

7、过(1,10)，(1,4),(2,7)三点三点,求这个函数的解析式。求这个函数的解析式。6 6、已知一个二次函数的图象经过点、已知一个二次函数的图象经过点(6,0),),且抛物线的顶点是且抛物线的顶点是(4,8)，求它的解析式。，求它的解析式。4、m为为 时，抛物线时，抛物线的顶点在的顶点在x轴上。轴上。422mxxy例例1 1、如图，二次函数、如图，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c则则a 0,b 0,c 0,二、判断正负性二、判断正负性a+b+c 0,ab+c 0,b2-4ac 01111练习：判断下列抛物线中练习：判断下列抛物线中a,b,c的符号的符号xy0 xy0 xy

8、0练习：抛物线练习：抛物线yax2bxc的顶点在第一象的顶点在第一象限，且与限，且与x轴交于点轴交于点A，且与，且与y轴交于点轴交于点C，点点C在线段在线段OB上。点上。点A、B的坐标为的坐标为(1，0),(0，1)。试确定下列代数式的符号？。试确定下列代数式的符号？(1)a，（，（2）b，（，（3）c，（4）abcxyB(0,1)A(1,0)C（5）abc（6）ab1 例例2、已知抛物线、已知抛物线 与与x轴交于轴交于A、B两点，且点两点，且点A在在B的右的右侧，侧，顶点为顶点为C，（1）求）求A、B、C的坐标；的坐标；（2）求）求SCAB 45x23x41y2 抛物线与抛物线与x轴的交点的

9、横坐标就是一元二轴的交点的横坐标就是一元二次方程的两个根，因而可将函数知识与方次方程的两个根，因而可将函数知识与方程中根的判别式、根与系数的关系联系起程中根的判别式、根与系数的关系联系起来。来。三、抛物线与三、抛物线与x轴的交点问题轴的交点问题令令y=0，则，则02cbxaxcbxaxy2对于函数对于函数 b2-4ac0 抛物线与抛物线与x轴有两个交点轴有两个交点 b2-4ac0 抛物线与抛物线与x轴有一个交点轴有一个交点 b2-4ac0 抛物线与抛物线与x轴没有交点轴没有交点练习：抛物线练习：抛物线 与与x轴的关系是轴的关系是 。mxmxy4)1(22则则A()，B(）0,242aacbb0

10、,242aacbb若若抛物线与抛物线与x轴有两个交点轴有两个交点A、B因此因此AB=|a已知抛物线已知抛物线 在在x轴上轴上截得的线段长是截得的线段长是6，求，求a的值。的值。9)2(2xay25例例1.若函数若函数y=-mxm+1+2mx+3的图象是的图象是抛物线，求抛物线，求m的值及函数解析式的值及函数解析式.解：由题意得解：由题意得 m+1=2-m0 m=1 解析式为：解析式为：y=-x2+2x+3二次函数定义：二次函数定义：如果如果y=ax2+bx+c(a 0，a、b、c是常数是常数)，那么那么y叫做叫做x的二次函数的二次函数 特殊形式特殊形式：y=ax2(a 0，b=c=0)y=ax

11、2+c(a 0，b=0，c 0,)y=ax2+bx(a 0，b 0,c=0)x0 yx0 y0 yy=ax2y=ax2+cy=ax2+bx 与与x x 轴的交点轴的交点：y=0,-x2+2x+3=0，x1=3,x2=_1 A(3,0),B(_1,0)与与y y轴的交点轴的交点：x=0,y=3,y=3,C(0,3)C(0,3)xy01 x=1M(1,4)3A-1B3C1、画出、画出y=-x2+2x+3的图象，并分析它的性质的图象，并分析它的性质H y=_（x2_2x）+3 =_（x2_2x+1）+3+1 =_（x_1)2+4 对称轴是直线对称轴是直线x=1顶点坐标是顶点坐标是M（1 1，4 4）

12、29 a=10，开口开口向下向下 当当x=1时，时，y有最大值有最大值4xyM(1,4)x=101 x1y1(x1,y1)(x2,y2)x2y2-133当当x 1时，时，y随随x的增大的增大而增大，当而增大，当x1时，时，y随随 x增大而减小增大而减小面积面积：SABC=ABOC/2=43/2=6SABM=ABMH/2=44/2=8x01 x=1M(1,4)3A-1B3CH 从图象上观察：当从图象上观察：当x为为何值时，何值时，y=0?y0?y0?y=_（x_1)2 y=-x2 y=_（x_1)2+4 y=-x2+4 xyM(1,4)x=101-133当当x=1或或3时，时，y=0；当当1x0

13、；当当x3 或或x1时，时，y0 平移平移:y=x2+2x+3 =（x_1)2+4,y=-x2+2x+3小结小结：二次函数：二次函数y=ax2+bx+c(a 0）性质性质 开口方向由开口方向由a决定，决定，a0，开口向上；，开口向上；a0，开口向下。，开口向下。对称轴是直线对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标（，顶点坐标（-b/2a，4ac-b2/4a)。图象是抛物线。图象是抛物线。当当a 0，y有最小值是有最小值是4ac-b2/4a。当当x-b/2a时，时，y随随x的增大而减小，的增大而减小，当当x-b/2a时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大 当当a 0，y有最大值是有最大值是4ac-

14、b2/4a 当当x-b/2a时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大，当当x-b/2a时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 33(1)在抛物线在抛物线y=-x2+2x+3上是否存在点上是否存在点P（点（点C除外），使除外），使ABP面积等于面积等于ABC面积面积?解：假设存在满足条件的点解：假设存在满足条件的点P，则作则作PQx轴轴 SABp=SABC,ABPQ/2=ABOC/2,PQ=CO=3,|y|=3，3=-x2+2x+3,x1=0,x2=2。p(2,3)或或-3=-x2+2x+3，x2_2x-6=0 x=17，p(1+7,-3),p(1-7,-3)xy03B-1C3PQA(2)二

15、次函数二次函数y=-x2+2x+3的顶点为的顶点为M，当，当M在对称轴上移动时，抛物线与在对称轴上移动时，抛物线与 x轴有两轴有两个交点个交点E(x1,0),F(x2,0)(x1x2)y01 x=1M(1,4)3A-1B3C问点问点M移动到什么移动到什么位置时，位置时，EF=6?x解：设解：设M(1,k)，设抛物线解析式为设抛物线解析式为 y=-(x-1)2+k=-x2+2x+k-1，y01 x=1FEM(1,k)H抛物线是轴对称图抛物线是轴对称图形，形，ME=MF,当当MEF=60时，时，MEF是等边三角形是等边三角形。tanMEF=MH/EH，EF=/lal=2k，EH=k tan 60=

16、k/k，k=3，M(1,3)MEF是等边三角形是等边三角形？x60M(1,4)y=-x2+2x+3y=-（x-1）2+k MEF是直角三角形是直角三角形？y01 x=1FEM(1,k)Hxy=-x2+2x+3M(1,4)小结：小结：1、二次函数的定义、二次函数的定义2、二次函数的性质、二次函数的性质3、数学思想方法的应用，如数、数学思想方法的应用，如数形结合、分类讨论、运动变化等形结合、分类讨论、运动变化等（1）如果一个）如果一个二次函数经过二次函数经过y=-x2+2x+3与与x轴的两个交点轴的两个交点A、B，它与，它与y轴的交点为轴的交点为C，xy0A3-1BC当当ABC是直角三角是直角三角

17、形时，求它的解析式。形时，求它的解析式。分析：分析：OC2=OBOA=3，OC=3，C(0,3)或或C(0,-3)。再由再由A（3，0），），B（-1，0），），C(0,3)或或C(0,-3)确定解析式。确定解析式。C（2）二次函数二次函数y=-x2+2x+3与与x轴的交点轴的交点为为A(3，0)，B(-1，0),是否存在过是否存在过A、B 两点两点且与且与y轴相切的圆？若轴相切的圆？若不存在，说明理由。不存在，说明理由。若存在，求出圆心坐若存在，求出圆心坐标和半径。标和半径。y01 x=1M(1,4)3AB3C-1x（3）若二次函数变为）若二次函数变为y=-x2+3x-2，情况怎情况怎样？即

18、设它与样？即设它与x轴的交轴的交点是点是A、B,否存在过否存在过A、B 两点且与两点且与y轴相切的轴相切的圆？若不存在，说明圆？若不存在，说明理由。若存在，求出理由。若存在，求出圆心坐标和半径。圆心坐标和半径。xy012ABCX=1.5P答案：答案：P(1.5,2),半径半径1.5。CP 或或P(1.5,-2),半径半径1.5设二次函数设二次函数 y=-x2+3x-2与与y轴交轴交于于G点，则过点，则过A、B、G可确定一个圆，说可确定一个圆，说明此圆与抛物线有明此圆与抛物线有没有除没有除A、B、G以以外的第四个公共点，外的第四个公共点，若有，求出点的坐若有，求出点的坐标，若没有，说明标，若没有，说明理由。理由。