电磁场计算题

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1、半径为r、长为l的闭合面S，应用髙斯定律计算电场强度的通量。 由于导体内无电荷，因此有f EdS = 0，故有E= 0，导体内无电场。rS由于电场只在r方向有分量，电场在两个底面无通量，因此口P.r 2ks r0fEd- = f E a dS =f E dS = E 2兀rl =碎则有：SS r r r r S r r rs2、例2.2.6( p )圆柱坐标系中，在r = 2m与r = 4m之间的体积内均匀分布有电荷，其电荷密度为p /C m-3。利用高 39斯定律求各区域的电场强度。解：由于电荷分布具有轴对称性，因此电场分布也关于z轴对称，即电场强度在半径为r的同轴圆柱面上，其值相等，方向在

2、r 方向上。现作一半径为r，长度为L的同轴圆柱面。当 r 4m时，有f Ed S = E - 2兀rL =兀pL，即ESrsr0当 2m r 4m 时,6 Psr0Er =龙(r 2 - 4)；0r23、例2.3.1( p41)真空中，电荷按体密度p = p (1 )分布在半径为a的球形区域内，其中Pn为常数。试计算球内、 41o a 2o外的电场强度和电位函数。解：(1)求场强：当 r a 时，由高斯定律得f E dS = 4兀r2E = QS 22 s而Q为球面S包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。Q = fa p(r)4冗r2dr = 4冗p fa (r2 )dr =冗p a3oo oa

3、 215 o因此-2 p a3E = a io2r 15s r 20因此当 r 0)。试求此介质球束缚体电荷密度和球表 面束缚面电荷密度。解：在球坐标系中，由于极化强度中与有关，具有球对称性，故1 力当 r R 时，p = V - P = (r2rm) = (m + 2)rm-1pr 2 Qr重要习题例题归纳第二章 静电场和恒定电场一、例题：1、例2.2.4 ( p )半径为r0的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为p。试计算空间中各点的电场强度。38 0 l解：作一与导体柱面同轴、半径为r、长为l的闭合面S，应用高斯定律计算电场强度的通量。当r r时,0当rr时，0当 r = R

4、时，p = P = a - a Rm = Rm。pSr r5、例242 （ P49 ）有一介质同轴传输线，内导体半径为r = 1cm，外导体半径r = 1.8cm。两导体间充满两层均匀介质， 49 1 3它们分界面的半径为 = l5cm，已知内、外两层介质的介电常数为 = 4 , = 7 ；击穿电场强度分别为2 1 0 2 0E = 120kV/cm,E = lOOkV/cm.问： 内、外导体间的电压U逐渐升高时，哪层介质被先击穿？ （2）此传输线能耐 1m2 m的最高电压是多少伏？解：当内、外导体上加上电压U，则内外导体上将分布+pl和-P/的电荷密度。由于电场分布具有轴对称性，在与传输线同

5、 轴的半径为r的柱面上，场的大小相等，方向在a方向。选同轴的柱面作为高斯面，根据高斯定律可得r当 r r 时，e = D = 0 ；P,P,l =l2兀 r 8兀 r1010 r 0 r当 r r r 时，d =-pr 或e12Ir 2兀 r1r当r2 r ，E = i = i ，m1r 2n r 8n r11 0 1r =勺处场强最大为E = i = i m2r 2n r14n r22 02显然E E，在两种介质中最大场强的差值为：7 r L 1)4r12 r1rE - Em1rm 2 r PP/ / = / 8n r14n r 14n r01 0 2 0 2=E圧1) = 1.625 Em

6、2r 4rm2r1E - Em1rm 2 r代入r和r2的值得 当介质2内表面上达到100kV/cm的电场强度时，介质1内表面已达到162.5kV/cm的电场强度，因此，介质1在介质2被 击穿前早已被击穿。而当介质1 内表面上达到击穿电场强度时PPE = L =L = 120k V / cmm1r 2n r 8n r11 0 1E = 4 x 120r2n10因此，介质1和介质2内的电场分布为PP = Pi = 120rrkV / cm2n r 8n r r10PP4 x 120 r 1 “ /r- = r =k V / cm2n r 14n r7 r20 故，传输线上的最大电压不能超过E1r

7、E2rU =Jr2 E dr + Jr3E dr = Jr2120r1 dr 十匸480!drm1r2 rr7rr1r2r1 rr2 7rr 480 r=120r ln-r + 一 r ln p = 61.16kV1 r 71 r126、例2.7.1（ p59）半径为R的导体球上带电量为q,试计算空间中的电场分布、电位分布和静电能量。解：当r R时，利用高斯定律，电场强度为电位分布为4n r20=球面上的电位为丄 Q4n0 r1=R 4n 0 此导电球储存的静电能为W= 2 妙 R而空间任一点的能量密度为1Q 2w = E 2 =e 2 032k 2 r40静电场储存的静电能为W = f R4

8、nr 2 w dr =、习题Q 28k R02.20 (本题与例2.3.1同类型)半径为a的带点球，其体电荷密度为p = p rn(n 0),0 电场强度。解：(1)求场强，利用高斯定律当r a时,S S P rn+1E = a o1 r ( n + 3)0所以，(2)求电位，当r a时f E dS = 4Kr2E =丄fS 22 T0S S p an+3 E = a 02 r (n + 3) r20 取无穷远处的电位为零，则pdT =丄 fa drd0卜 p rnr2 sin0d = 4兀p()a 0000(n +3)00=fgEdr = faEdr + 卜E dr =1 rr 1pan+2

9、 _ rn+20(+ an+2)(n + 3)n + 20fp an+3=JsE dr =0- 2 r 2(n + 3) ra 0 b c2.23如图所示，内导体球半径为a，外导体球壳内半径为，外半径为C，如果内导体球带电量为Q，外导体球壳不带电。 求：(1)两导体上的电荷分布；(2)导体内外各处的电场强度；(3)导体内外各处的电位分布。解：(1)内导体球带电量为Q，由于静电感应，所以外导体球壳内表面带电量为-Q,外表面带电量为+Q。内导体球的电荷体密度为p = Q Qp1 = T = 4Ka 33为：p =_；外导体球壳外表面电荷面密度为：p =_L。24Kb23 4Kc 2(2)求场强，利

10、用高斯定律，0_ ；外导体球壳的内表面电荷面密度4ka3当r a时，球内无电场，即E = o ； 当a r b时，f E d S = 4 兀r 2 E =Q n E = a S 22 2 r 4k r 200题 2.23 图当b r c 时，(3)求电位， 当r a时，f E . d S = 4 兀r 2 E = n E = aS 444 r 4k r 200 取无穷远处得电位为零，当a r b时,=faEdr + fbE dr + fcEdr + 卜 E dr = Q (-丄 + -) r 1a 2b 3c 44冗8 a b c0=JbE dr + fcE dr + 卜E dr =r 2 b

11、 3c 4当 b r c时,Q4兀 c02.30（1）（2 解：（1）介质球内束缚电荷体密度为：p =-v*P = - 1 dp束缚电荷面密度为其极化强度P = a arn （n 0）。试求r(r 2 arn) = -(n + 2)ar m-1 r 2 drp= 7n* P7 = a7 * a7 a * a n = a n+1pSr r2)先求介质球内自由电荷的体密度：p = v - D = v -(8 E + P) = 8 v* E + v - P = o v - D+ v - P80078a(n + 2)a p = v D =- rn-18 - 80然后求球内外各点的场强：当 r a 时,

12、由于 D7 = 8 E7 + 7P 且 D7 = 8 E7 ,所以0 1 1arn亠8an+3rr 8 (8 - 8 )r 200000再求球内外各点的电位当 r a时,fa(an+i rn+i)Edr + JE dr =亠-丄 +1 a 2(n+1)(8 -8 ) 8 (8 -8 )0 0 02.31（略）9 =1rEdr =2an+38 (s -8 ) - r00当 r a 时，由高斯定律有：f E7-d7 = 4兀r2E = QS 2 2 80而 Q = fpdfafj 2” Q8-rn-1 - r 2sin 0drd0d9 =所以：芦=at0 0 08 -88 -82 f00第四章 恒

13、定磁场Pl05一、例题）计算真空中半径为R的长直圆柱形载流铜导线的磁场。1、例 4.2.1解：由真空中安培环路定律在r R处,加d7 = 2兀rB =U I a B =UoIc909 2兀r2、例 4.2.2Pl06）在无限长柱形区域lm r 3m中，沿纵向流动的电流,其电流密度为7 = az，其他地方电流密度 7J = 0。求各区域中的磁感应强度。 解：利用安培环路定律,有：f B d 7 = 2KrB =U I （其中1为回路C围成的面积上穿过的电流强度）C 790当 r 1m 时，I = 0，则 7 0当 1m r 3m时，I =W3 7- d 7 = 35 ue-6 +15 Ke-2

14、A，Be = 2r I =竽 e -6 + 爭 e 江 0 122屮 2ur4r4r3、例4.5.1 (Pii7)同轴线的内导体半径为a，外导体的半径为b，夕卜导体的厚度忽略不计。并设导体的磁导率是比，内、外 导体间充满磁导率为卩的均匀介质，内、外导体分别通以大小都等于I但方向相反的电流，求各处的片和B。解：由安培环路定律：J片.d7 = f7 dS可知当0 r a时，lS52,即丄和p 皿。Hs=r B = 0 r2Ka 22Ka 2当a r b时,J 7 d 7 = H2W = 0,由对称性可知，B =片=0.4、例 452(Pn7，求管壁中和管内、/)无限长铁质圆管中通过电流I，管的内、

15、外半径分别为a和b。已知铁的磁导率为外中的7，并计算铁中的磁化强度质和磁化电流分布。 解：(1)求 7B ：当a r b时，J H-d 7 = Hr2nr -兀(r2 - a2)10兀(b2 - a2)则有：当b r g时,则有：、r 2 a 2h=a:b2 - a2J H-d 7l盍和b=“h=副=H 2兀 r = Ipr 2 a 2b2 - a 2H = a -7-和 B = m H =2nr()当 0 r a 时，JH-d7 = H 2d = 0,由对称性可知，B = H = 0- (2)求铁中的磁化强度：在a r h 和铁心的磁导率卩 卩0,磁环上绕有N匝线圈，通以电流为1。试计算环中

16、的B、h和。图 4.6.3解：在忽略环外漏磁的条件下，环内H的环积分为f H d 7 = H 2 兀r = NI n H =皿,B =阳=UNL i甲 0甲 2兀r 甲甲 2兀rl 0 0 铁心环内的磁通为= dh =- S2nr2nr00当磁环上开一很小切口，即在磁路上有一个小空气隙时，根据磁通连续性方程，我们近似地认为磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上。由磁场边界条件可知：铁心内的磁感应强度与空气中的磁感应强度相等，即B = B，当两个区域中的磁场强度 0不同，于是f H- d 7 = H （2兀r -1） + H t = NIl申0申0这里t为空气隙的宽度，且t 2帀0，在磁环内，H

17、 = B，在空气隙中，百=B，代入上式得0= R0 = R0BBr （2兀r 一 t） + 丁 t = NIy 0 y0将上式中左边分子分母同乘以面积S，则上式又可改写为2兀 r tt（0 + 一） = NI n =NI ySy S0铁心和空气隙中的磁感应强度为7iySt、 +y s丿0一1/ 2兀 r -1 t、0+ I y y丿0一1而磁路中 H 和 H 分别为 H r H r0HrHr0B=f = NIyy= r = NIy2nr y +1(y-y )1】 y0 000二、习题4.10 一根通有电流/的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中,求岀片、b、m及磁化电流分布。解：利用安培环路定律

18、：所以：所以磁化电流密度：yy申2兀y r000ar aHahH = VxMH1d=0mrdrdz0M0r応B -片=叫=a归驿h = mHxH=-a（旷叫mz 2兀y r04.11（略）4.17本题与例4.6.1解法完全相同，故省略。第五章 时变电磁场一、例题1、例题5.4.1 （P4 o已知自由空间中E = a E sint 卩z），求时变电磁场的磁场分量H，并说明场E和H构成了一个 y0沿Z方向传播的行波。解：由麦克斯韦方程VxE = -b可得dta aax ay0 Eya Bdta B即 a E cost -卩z)=- x 0at对时间积分可得B = asin(et - Pz)x e这

19、里积分常数忽略不计，于是H = a PE0 sin(et Pz) x y e0由此可见，场E和H相互垂直，它们随时间和空间是按正弦波的方式传播的，它是一个行波。2、例5.5.1 (P44在两导体平板(Z = 0,Z = d )限定的空气中传播的电磁波，已知波的电场分量为 E = a E cos(互)cos(t-kx)式中，仪为常数。x 0 dxx1)解：(1)由麦克斯韦第二方程vx E =aH可得x =M0 at汇 T迟)_ T z a z I = ax ayy ax 丿 y于是aH丄t= a aty0k兀z-T E cos() singt - k x)卩0 dx0H = a J E J co

20、s(2z)sin(wt k x)dt y y0dx0t -kuz=a x E cos( )cos(et k x) y ye0dx由导体与空气的边界条件可知，在z = 0和z = d的导体表面上应该有电场强度的切向分量E和磁感应强度的法向分 量 B = 0 。而当 z = 0和 z = d 时， E = E = E = 0和 B = B = 0，可见电磁波的场分量自然满足边界条件。nx y tz n(3)由导体与空气的边界条件可知，在导体的表面上有p =e e 和j = nxhS 0 n S在z = 0的表面上，n=a。于是p =8 E 1S0j = a x hS2)z iz =0二、习题在z

21、= d的表面上,zz=0n = a。= E= E cost k x)0 0xTT kk=a x ( a ) x E cos(wt 一 k x) = a x E cos(wt 一 k x) 卩 0xx 卩 0x00=az于是pSJ = (a ) x HSz0 z z=d=- E cost k x)00xkk=(a ) x a x E cos(wt 一 k x) = a x E cos(wt 一 k x) zy 卩 0xx 卩 0xz =d00试求波的磁场分量；(2)验证波的各场分量满足边界条件；(3)求两导体表面上的面电荷和面电流密度。5.1有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时

22、变磁场B = a 5coset(mT)，滑片的位置由 x = t).35(l coset)确定，轨道终端接有电阻R = 0.20，试求i。解：磁通量为：Q = B- S=5cosetx0.2x(0.7 x)= coset x0.7 0.35(lcoset)=0.35 cos et (1 + cos et)所以，感应电动势为：故：du =dti = = 1.75(cos et + cos2et)RR dtdt=1.75e sin et (1 + 2 cos et)(mA)5.2(略)。5.15(略)。5.16 本题与例5.5.1 解答过程完全相同，故略。 5.17(略)。5.22在卩=1和e =

23、 50的均匀区域中，有rE = a 20ae j(3t Pz)V / m, B = a H e j (3t Pz)T zy 0 m如果波长为A= 1-78m，求3和Hm。解：由由麦克斯韦方程Vxa = _aB可得 ataA.dx0a BdtaB二h = ?(自己求哈)atm即S追S迟a z azx ayy ax如2 2a如(自己求哈)A = 1.78 n= ?3卩 kA第六章 平面电磁波例题6.2.1频率为100MHz的正弦均匀平面电磁波在各向同性的均匀理想介质中沿(+z)方向传播，介质的特性参数为& = 4 ,=1。设电场只有x方向的分量，即E = a E ;当t = 0z =丄m时，电场等

24、于其振幅10+V/m,试求:8xx1)23解：该正弦电磁波的E(z, t)和H(z, t)； 该正弦电磁波的传播速度; 该正弦电磁波的平均坡印廷矢量。各向同性的均匀理想介质中沿(+z)方向传播的正弦均匀平面电磁波可由标准的余弦函数来表示，即E(z,t) = E cost 卩z +Q)m而波的电场分量是沿x方向的，因此，波的电场分量可写成E(z, t) = a E cos(3t 卩z + 0 )式中 E = 10-4V / m。x mxm| 4 兀卩=k =3 卩 = 2吋 t 4 卩 & = rad / m再由 t = 0, z =1 m 时，E (丄,0) = E = 104V/m得8x 8

25、 m3t 卩z +0 = 0x1)E(z, t) = a 10-4 cos(2兀 x1081 z + a)(V / m)x3614冗a=a10-4 cos(2a x 1081 -z + )(A / m)y 60a36Ha (z, t) = aa H = aa y2)yy波的传播速度为1V =1.5 x 108 m / s=k. 4y &0 0波的电场和磁场分量的复矢量可写成E =a 10-4ej碍z6)，h = a10-1 e-j(?z-7)xy 60 兀故波的平均坡印廷矢量为a 1 a a 丄 a軌乞)a 10-4 布-)a 10-8S = Re(Ex H*) = Re(a 10-4e j(

26、3z 6)x aej(3 6) = aW /m222xy 60兀z 120兀习题部分；由于本章习题与上题解法基本相似，故不再赘述。3)1. 真空中，有一导线上电荷均匀分布且电荷密度为Pp形状为半圆、半径为a,求在圆心处电场的大小和方向。建立坐标系统，半圆轴线为X,半圆中间为y(sin + cos e)de e pl“ e = e 0 y =- y 2兀P1=-4兀0 a2.在自由空间中，沿+y方向传播的平面波，它的磁场强度为F F兀H e= y 4X 10-6cos(107 n t-ky+ 4 )(A/m)eE求：(1)波数k(2)的大小和方向。107 K(1)k= 3/c= 3 x 108

27、= n /30 (rad/m)e e兀兀(2)E e -nx4x 10-6 cos(107Kt 一一y + ) =-X 14304 丿=-V508 810 -3 cos(107 Kt - 30y + 4)1. 半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电、电荷的体密度p,求场强分布，并画出E-r曲线。（示意图）1，井别在圆柱內外各作一平行于轴心的圆枉面，由高斯定理得；ff E .x - ds = rlE= pur2 -1艮时-ds= 27trlE =p.jiR3 -1pRJ亠 2ear2.在自由空间中，已知电场（z,t）= （9nxl08tkz） （V/m）求：（1）波数 磁场强度。2A鼎1刊窗净P)H =-ek x 凹二曲硏五 x 1 0s t - 3ji zj= -165 迪如沁IClt - 3jrz)e.