刚体的平动、定轴转动与平面运动

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1、特征：特征：如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平动或移动。简称平动或移动。曲线平动：曲线平动：如果刚体上如果刚体上各点的运动各点的运动轨迹为曲线轨迹为曲线直线平动：直线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为直线如果刚体上各点的运动轨迹为直线MOO Mrrr常常矢矢量量O Mr 刚体平动时，其上各点的轨刚体平动时，其上各点的轨迹的形状完全一样。迹的形状完全一样。OMaa 刚体平动时，其上各点的轨迹的形状相同；在每一瞬时，刚体平动时，其上各点的轨迹的形状相

2、同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。各点的速度相同，加速度也相同。此图中的此图中的 均为零均为零,OMvvOABCtllxMsinsintldtdxvMMcostldtdvaMMsin2xM42 l22)()(nCCACaaaa22)()(nAAaa222)()(ll定轴转动实例定轴转动实例特征：特征：如刚体在运动时，其上有两点保持不动。如刚体在运动时，其上有两点保持不动。6.2 转动方程、角速度与角加速度转动方程、角速度与角加速度特征：特征：如刚体在运动时，如刚体在运动时，其上有两点保持不动。其上有两点保持不动。刚体转动的运动方程刚体转动的运动方程刚体转动的角速度刚体转动的角速度刚

3、体转动的角加速度刚体转动的角加速度dtd22dtddtd30602nn221202200tttn n为转速，为转速，r/minr/min6.3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度M0MORdSdRRdtdtv 转动刚体内任转动刚体内任一点的速度的大小，一点的速度的大小，等于刚体的角速度等于刚体的角速度与该点到轴线的垂与该点到轴线的垂直距离的乘积，它直距离的乘积，它的方向沿圆周的切的方向沿圆周的切线而指向转动的一线而指向转动的一方。方。定轴转动刚体内各点速度分布情况实例定轴转动刚体内各点速度分布情况实例RdtdRdtSda2222222)(RRvan22242tannnaa

4、aRaaMOaanav（1）每一瞬时，刚体内所有各点的速度和加速度的大每一瞬时，刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。（2）每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间的每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间的夹角都有相同的值。夹角都有相同的值。试计算杆端试计算杆端A点和点和C点的点的速度、加速度，并画出其速度、加速度，并画出其方向。方向。OABCaab ana)arctan(tan00htvhtvhx222023022020)(2tvhthvdtdtvhhvdtdxv0OAhxy杆的角速度和角加杆的角速度和角加速度速度B

5、点的加速度。点的加速度。r2=200mm,R=450mm 60o，A点的全加速度点的全加速度aA=1.2m/s2。r1r2ABORaA解：解：由于由于A,B两点到固定点两点到固定点O的的距离保持不变，因此，距离保持不变，因此，ABAB杆的杆的运动为绕运动为绕O轴的定轴转动。轴的定轴转动。将将A A点的加速度在切向和法向投影点的加速度在切向和法向投影aAnaA Aa2o1o1cos60cos601.20.51 rad s0.150.45AnABAAABarRaarRo1o1sin60sin601.732 rad sAABAAABarRaarRB B点的加速度点的加速度2220.65 m sBnA

6、BarR221.13 m sBABarRB B点的全加速度点的全加速度2221.3 m sBBnBaaao6050 .aacosBBnr1r2ABORaAaBnaB BaaAnaA Aa设两个齿轮各绕定轴设两个齿轮各绕定轴O1和和O2转动。其啮合圆半转动。其啮合圆半径各为径各为R1和和R2,齿数各为齿数各为z1和和z2,角速度各为角速度各为1和和2,A和和B分别为两个齿轮的啮合圆的接触点分别为两个齿轮的啮合圆的接触点,两两个齿轮之间没有相对滑动。个齿轮之间没有相对滑动。R R1 11R R2 22vAvBAB1R R1 1R22vAvBABO1O2O1O2所以所以 vA=vB，并且方向相同，并

7、且方向相同 vA=1R1；vB=2R2122121RR 由于齿轮在啮合圆上的齿由于齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半距相等，它们的齿数与半径成正比，则径成正比，则11222211RzRz主动轮和从动轮的两个角速度的比值称为传动比主动轮和从动轮的两个角速度的比值称为传动比2112 i所以得到计算传动比的基本公式所以得到计算传动比的基本公式1122122211RziRz 1R1 2R2求两个齿轮的传动比。求两个齿轮的传动比。OAaACBO11CaC1vO1nC1aC1AanAacos,sinAnAAAaaaacos21AnAACCraalvvvsin1AACCaaaasin,cos211ra

8、rararvACACOrvrv dtdrrdtddtdrrdtd0222dtdrrro322rv6-4 6-46-4 A1A2SAzxyA1A2 A刚刚 体体平面图形平面图形 SAB)()()(321tftfytfxAA 平移和转动与平移和转动与 基点之间的关系基点之间的关系 平移和转动与平移和转动与 基点之间的关系基点之间的关系dtdtttttddlimlim2010yxABvAvAvBAvBvAvBAyxOvAvAS一一.求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法其投影式为其投影式为BxAxBAxByAyBAy上式中上式中6 6个量中，应已知个量中，应已知4 4个，此个，此两

9、投影式只能求解两投影式只能求解2 2个未知量。个未知量。vAAB=l=2 m;vA=2m/svBBAABvvvvBvAvBAs/m3230 cotAvvBs/m430 sin/AvvBA2rad/sABvBAABvAABBAvvvs/mm320030cotAvvB2rad/sABvABABs/mm40030sin/AvvABvBvABAB=l=200mm;vA=200mm/svBvB ，；，000coscosrvvAB00tanlrlvBAABBAABvvv0rv A000 tantanrvvABAO OO ABvAvAvBAvBAB，O OO ABvAAB MvAvMAvM00tanlrAB

10、MAAMvvv00tan21rMAvABMA4tan102022rvvvMAAM，BC=2r，OAB=45O1OBCAvAvBvBAvABAABvvv02245cosrvvvABAB0rv A021ABvBAABCO1OBCAvAvBCBBCvvv0rBCvABCCB022rv B02221045cos2rvvvvvCBBCBBCvCvBvCBBAvAvAvBvBABAABvvvcoscosABvvvAvB30cos60cosABvvs/mm320030cotAvvBAB=l=200mm;vA=200mm/svB000coscosrvvAB0A0Bcoscosvv 0rv A ，；，O OO

11、ABvAvB coscosABvvACvAvAvCANvMAMAvAC 令令0ACvvACACvAvAvCANvMAMCAvAACvvACABvBBCvvBCBvDDDCvvDCDSAB90o90oCvCSAB90o90oSAB90o90oCCSAB90o90oSAB90o90o0瞬时平动瞬时平动vAs/mm3200BCvABB2rad/sACvAABvBAB=l=200mm;vA=200mm/svBODCBvO由由RvO0022vvvvDC,020vvvBA,0000 tancotlrlrCAvAAB41020 tanrCMvABM00cos rBCvABBCvMO OO ABvAvBM ，

12、BC=2r，OAB=45O1OBCAvAvBvC22001rrAOvAABC01210rCOvABCC0122rBOvABCB2011BOvBBOrabRvAvBvCE0rvvBAcossinCBvvtantan0rvvBCtan0RrRvCCOBCAP确定瞬心确定瞬心ACEBDFHPACEDB(a)(b)(c)图图(b)、(c)两机构中两机构中CD杆的速度瞬心分别为杆的速度瞬心分别为 ()。(A)D、C (B)D、P (C)H、P (D)H、CDPvAvC解解:由由A、C点的速度确定点的速度确定P为为AC杆的速度瞬心。杆的速度瞬心。AC OAvAACAPAv 又30OACBDEr4rr34s

13、radAC1 smPCvACC4 由于轮由于轮C的速度瞬心在的速度瞬心在B点，则有点，则有CDErv 2rvrC2smvC82OABDErR 303 vBvAC解：解：在图示系统中，在图示系统中，OA杆作定轴转动，杆作定轴转动，AB杆和鼓轮作平面运动，两者的速度瞬杆和鼓轮作平面运动，两者的速度瞬心分别为心分别为C和和E点。点。AB ACvAAB rr22 rBCvB2BBrv 2BDE.vD 2 r4vDAaASBaAaBnBAaBAaaBAnBABAaaaaAB ABaBA2nBA ABaRaORaOvOaOnCOaCOaRvORaRvdtddtdOO)(nCOCOaaaaOCOCOOnCO

14、aRaRvRa22RvaaOnCOC2vARvBlvlvCAvAAAAB245sinAABBvCBvaAvARaBaAnBABAaaaaABlvlaAABnBA222xynBAaBAa45sin45sin45cos45cosABABnBAABaaaaaa2222,22AABAAABvlaavlaa2222AABAABvlalla解解:30OACBDEr4rr34Rad/s4;srad1C ACAaAaCanCAa CAanCACAACaaaaACnCAra 342sm342sm8AanCAACacosaa030 CAAasina03002Csm38a2sm4 CAa2Csm316 2aaDE2

15、sm33CAaCACA BCAO 已知：已知：ABAO2R；求；求AB杆中点杆中点C的加速度。的加速度。例题例题25AvBvAvCAvnAa AanAa AanCAa CAanCACAnAACaaaaa解：解：以以A点为基点点为基点求求B点的速度点的速度BAABvvv RvBA2 BA22 RanA RaA242 RanCABAO nAa AanAa AanBAa BAaBanBABAnAABaaaaa沿沿y轴投影轴投影22 RanA RaA2BA0nA0A60300asinasina RRaBA32nAa AaCxaCya CAanCAanCACAnAACaaaaa42 RanCA沿沿x、y

16、轴投影轴投影2 BACAaaBAnAAsinsinaaaaCy006030nBAnAAsinsinaaaaCx003060232 RRaCy RaCx3以以A点为基点，求点为基点，求C点地加速度点地加速度rabRaAaABAaaBBAABaaa20raAcossinABaacotcot20raaABrabRaAaBCBn CBBCaaaa22022cosbrBCaCBnCBnCBBCaaasincosRaCCnCBaCBaaBaC320220costantanbrraCCAO1OB3203vAvB0OAvAAB03rOBvABBAO1OB20215raBnAaAanBaBanAaAanBAaBAanBABAAnABnBaaaaaa200203,rraraAnA2022rABaABnBA201223rBOvaBnBnBAnAAnBBaaaaa60cos30cos30cos60coscoscosABvvnBABAaaaaAB