矩阵可逆的充分必要条件

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1、方阵可逆的充分必要条件整理一个一个 n 阶方阵阶方阵 A 可逆可逆有以下充分必有以下充分必要条件：要条件：A 的行列式的行列式 不等于不等于 0 。用行列式符号表示为用行列式符号表示为|A|0 或或 det(A)0 ；或说或说 A 是非奇异矩阵。是非奇异矩阵。课本课本 p 40A 可写成有限个初等矩阵的乘积可写成有限个初等矩阵的乘积。p 62 性质性质 1 A 和和 n 阶单位矩阵行等价阶单位矩阵行等价。A E，也就是说，也就是说 A 对应的行最简形矩阵为对应的行最简形矩阵为 n 阶单位阵阶单位阵 E。p 63A 的秩为的秩为 n 。符号表示为符号表示为 R(A)=n p 6768r一个一个

2、n 阶方阵阶方阵 A 可逆可逆有以下充分必有以下充分必要条件要条件 (续前页续前页)：以以 A 为系数矩阵的为系数矩阵的 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 只有零解只有零解。可从可从 p 72 定理定理 3(ii)推得推得以以 A 为系数矩阵的为系数矩阵的 n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解有唯一解。可从可从 p 72 定理定理 3(ii)可得可得A 的行的行(列列)向量组线性无关向量组线性无关。可从可从 p 88 定理定理 4 推得推得A 的列的列 (行行)向量组的秩为向量组的秩为 n。符号表示为符号表示为 R(A)=n 可从可从 p 93 定理定理 6 推得推得 A 不具有特征值不具有特征值 0。p 120