土体中的应力计算

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1、第五章 土体中的应力计算第一节 概述大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。由天然土 层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相 接触的建筑物底部称为基础。地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变 形问题。如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之， 土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。地基中 的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。一般而言，土体在自重作 用下，在漫长的

2、地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除 外）。附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地 基失去稳定和产生变形的主要原因。附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况一、应力应变关系的假定真实土的应力应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当 成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理 论得出应力的解析解。1、关于连续介质问题 弹性理论要求：受力体是连续介质。而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出

3、发，用一般材料力学的方法来定义土中 的应力。2、关于线弹性体问题 理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。 土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应 力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。3、关于均质、等向问题 理想弹性体应是均质的各向同性体。 而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。 为此进行假设，天然地基作为均质的各向同性体。二、地基中的几种应力状态 计算地基应力时，一般将地基当作半无限空间弹性体来考虑；即把地基看作是一个具

4、有水平界面、深度和广度都无限大的空间弹性体。（见教材P66图32）常见的地基中的应力状态有如下三种：1、三维应力状态荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。每一点的应力都是x、y、z的函数,每一点的应力状态都有9个应力分量。,T ,T ,T ,T ,T ，写成矩阵形xx yy zz xy yx yz zy xz zxcxxTxyTxzc =TcTijyxyyyzTTczxzyzz式则为：根据剪应力互等原理，有xy= yx，yz= zy，xz= zx，因此，该单元体只有6个应力分量，即xx yy zz xy， xz， yz2、二维应变状态（平面应变状态）二维应变状态是指地基中的每一点应力分

5、量只是两个坐标（x,z）的函数，因为天克地面可看作一个平面，并且沿y方向的应变二0，由于对称性，T =x = 0，这时，每 y yx yz一点的应力状态有5个应力分量：,T ,T。应力矩阵可表示为：xx yy zz xz zxG 0 T xx xz =0 c 0ijyyT 0 Czx zz3、侧限应力状态 侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态；土体只发生竖直向的变形。由于任何竖直面都是对称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，（图 35）,即工=T =T = 0，应力矩阵为：xy yz zx0 0 _xxc =0 c 0ijyy00 czz由 =二0 3C =C，并与c成正比。

6、x yx yz三、土力学中应力符号的规定在进行土中应力计算时：应力符号的规定法则与弹性力学相同，但正负与弹性力学 相反；即当某一截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面称正面；正面上的应力分 量以沿坐标轴正方向为负，沿负方向为正。用摩尔圆进行应力状态分析时，法向应力仍以 压应力为正，剪应力方向以逆时针方向为正。 （图36）第二节 地基中的自重应力计算在计算地基中的自重应力时，一般将地基作为半无限弹性体来考虑。由半无限弹性体的边界条件可知，其内部任一与地面平行的平面或垂直的平面上，仅作用着竖向应加和sz 水平向应力 =，而剪应力e = 0。sx sy1、竖直自重应力bsz设地基中某单元体离地

7、面的距离Z, 土的容重为丫，则单元体上竖直向自重应力等于单 位面积上的土柱有效重量，即b =y -z (3-1)sz可见，土的竖向自重应力随着深度直线增大，呈三角形分布。注：(1) 若计算点在地下水为以下，由于水对土体有浮力作用，则水下部分土柱的有效重量应采用土的浮容重丫 或饱和容重丫 计算；a：当位于地下水位以下的土为砂土时，土中 sat水为自由水，计算时用丫。b：当位于地下水位以下的土为坚硬粘土时，在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算自重应力时应采用饱和容重c：水下粘土，当Ic21时，用丫 。d：如果是介乎砂土和坚硬粘土之间的土，则要按具体情况分析选用适当的容重。例如图37 (a)中的B点，

8、其竖向自重应力为b =yh +yh =yh + ( -y )hsz 121 sat w 2(2) 自重应力是由多层土组成，如图37 (a)(见教材P68),设各土层的厚度为H h2、Hn，相应的容重分别为y ,y ,y，则地基中的第n层底面处的竖向自重应力2 1 2 n为：b =y H +y H +y H + y Hsz 112233n n= y h (32)iii=12、水平向自重应力,bsx sy在半无限体内，由侧限条件可知，土不可能发生侧向变形(* = = 0 )，因此，该xy单元体上两个水平向应力相等并按下式计算：b =b = K b = K yz (33)sx sy 0 sz 0式中

9、K0土的侧压力系，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直有效应力之比，U可由试验测定，Ko = ，u是土的泊松比。01 -u第三节 地基中的附加应力在求解地基中的附加应力时，一般假定地基土是连续、均匀、各向同性的弹性体，然 后根据弹性理论的基本公式进行计算。另外，按照问题的性质，将应力划分为空间（三维） 问题和平面问题两大类型。矩形、圆形等基础（L/BvlO）下的附加应力计算即属空间问题 （其应力是x,y,z的函数）；条形基础（L/B210）下的附加应力计算即属于平面问题（其应 力是 x,z 的函数），坝、挡土墙等大多属于条形基础。一、空间问题条件下的附加应力（一）竖直集中力作用下的附加应力如

10、图P71图3 10所示，当半极限弹性体表面上作用着竖直集中力p时，弹性体内部 任意点M的六个应力分量,T,T,T，由弹性理论求出的表x y z xy yx yz zy xz zx达式为：3p Z 3C =-z2 兀 R 51- (2R + Z) y 2 - zR( R + Z) (R + Z )2 R 3 R3p Y2Z1 - 2uc =+y2兀R 533 6)八也品+ x 2兀R 531 (2 R + Z) x 2R (R + Z) (R + Z )2 R 3TxyTzyyz2Tzxxz 2(2 R + z) xy(R + z )2 R 3式中：c Q Qx,y,z方向的法向应力xyzT,T

11、,T剪应力xy xz zyu土的泊松比RM点至坐标原点o的距离R二x2 + y2 + z2 = ,r2 + z20 直角三角形OMM中OM与MM的夹角上式为著名的布幸内斯克（Boussinesq）解答，它是求解地基中附加应力的基本公 式。对于土力学来说， c 具有特别重要的意义，它是使地基土产生压缩变形的原因。z由几何关系：R2 = r2 + z2 ； （36a）可以写为：3 p2兀 z 211 + ( r )2z38）5/2z231式中：K =亍2 兀r 5/21 + ()2z竖直集中力作用下的竖向应力分布函数，它r是一的函数；可由图3 11和表3 1中查得。z从式 38 可知33 p（1）

12、在集中力作用线上（即r二0, K = - Q =-）,附加应力a随着深度z2兀 z 2兀 z 2z的增加而递减（见教材P73图3-12）；（2）当离集中力作用线某一距离r时，（由36a可知）在地表处的附加应力a =0,z随着深度的增加，a逐渐递增，但到一定深度后，a又随着深度z的增加而减小（见教材zzP73 图 3-12）。（3）当z 一定时，即在同一水平面上，附加应力a随着r的增大而减小（见教材P73z图 3-12）。注：如果的地面上有几个集中力作用时（见教材P73图3-14），则地基中任意点M处 的附加应力a可以利用式（3 8）分别求出各集中力对该点所引起的附加应力，然后进行z叠加，即：+

13、Knpnz2式中：K ,K ,K分别为集中力p ,p ,p作用下的竖向应力分布函数。12n12n（二）矩形基底受竖直均布荷载作用时角点下的竖向附加应力矩形基础当底面受到竖直均布荷载（此处指均布压力）作用时，基础角点下任意点深 度处的竖向附加应力，可以利用基本公式（38）沿着整个矩形面积进行积分求得。P74如图3 16，若设基础面上作用着强度为p的竖直均布荷载，则微小面积dxdy上 的作用力dp=pdxdy可作为集中力来看待，于是，由该集中力在基础角点o以下深度为z 处的M点所引起的竖向附加应力为：3 p 1 dxdyda =子 （3 10）z 2 兀r 5/2 z 21 + （）2z将r2 =

14、 x2 + y2代入上式并沿整个基底面积积分，即可得到矩形基底竖直均布荷载对角点o以下深度为z处所引起的附加应力为:Q bJl 3 p . Z3 dxdy z o O 2兀（斗 x2 + y 2 + Z2 ）5m n 1 1 m-(+) + arctan()1 + m 2 + n 2 m 2 + n 21 + n 21 + m2 + n 2=KsP311）式中：K 矩形基础，底面受竖直局部荷载作用时，焦点以下的竖直附加应力分 s布系数，K二f （m,n）可以从P75表32中查得m二:,n二sB BL：为基础底面的长边，B：为基础底面的短边，且L三B。注：对于在基底范围以内或以外任意点下的竖向附

15、加应力，可利用式（3 11）并按 叠加原理进行计算，这种方法称之为“角点法”对矩形基底竖直均布荷载，在应用“角点法”时。L始终时基底长边的长度，B 为短边的长度。（三）矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时角点以下的竖向附加应力矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时，把荷载强度为零的角点 o 作为坐标原点，同3 p Z 3样可利用公式=产一沿着整个面积积分来求得。如图320所示（教材P79）。若矩z 2 兀 R 5形基底上三角形荷载的最大强度为Pt，则微分面积dxdy上的作用力dp = pTdxdy可作为集中力看待，于是角点o以下任意深度z处，由于该集中力所引起的竖向附加应力为:de = tz2兀B1

16、 xdxdyr1 + ( )25/2z211将r2 = x2 + y2代入上式并沿整个底面积积分，即可得到矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时角点下的附加应力为：315)式中 KTmn2n1n 2：m 2 + n 2(1 + n 2)1 + m 2 + n 2为矩形基底受竖直三角形分布荷LZ载作用时的竖向附加应力分布系数，可查表33 （教材P78），m二,n二。BBL：沿荷载变化方向矩形基底的长度，B：矩形基底另一边的长度对于基底范围内（或外）任意点下的竖向附加应力，仍然可以利用“角点法”和叠加原理进行计算。 但任意两点：（1）计算点应落在三角形分布荷载强度为零的一点垂线上。（2）B 点始终指荷

17、载变化方向矩形基底的长度。（四）矩形基底受水平均布荷载作用时角点下的竖向附加应力如图321所示（教材P79）,当矩形基底受到水平均布荷载P作用时，角点下任意深h3 p z3度z处的竖直附加应力可以利用公式=- 求得：z2 兀 R 5317)式中：2n1n 2tIv m 2 + n 2(1 + n 2 )*1 + m 2 + n 2矩形基底受水平均布荷载作用LZ时的竖向附加应力分布系数，可查表34 （教材P80），m二,n二。 BBB：平行于水平荷载作用方向的矩形基底的长度，L：矩形基底另一边的长度。“ + ”：当计算点在水平均布荷载作用方向的终止端以下时；（b,d点下）“ ”：当计算点在水平均

18、布荷载作用方向的起始端以下时；（c,d点下） 当计算点在基底范围内（或外）任一位置，同一可以利用“角点法”和叠加原理来进 行计算。二、平面问题条件下的附加应力理论上，当基础长度L与宽度B之比，L/B = -时，地基内部的应力状态属于平面问题。 实际工程实践中，当L/B210时，平面问题。例如：水力工程中的土坝、土堤、水闸、挡土墙、码头、船闸等等。 （一）竖直线荷载作用下的附加应力沿无限长直线上作用的竖直均布荷载称为竖直线荷载，如图322所示（见教材P80）， 当地面上作用竖直荷载时，地基内部任一深度z处的附加应力为：319)320)321)b 二2 族3z兀(x2 + z2)2b 二2 pxz

19、 2x 兀(x2 + z2)2T K 二 g zx xz 兀(x2 + z2)2式中：P单位长度上的线荷载（KN/m2）x,z计算点的坐标讨论：（1）在荷载作用点处，即x=z=o点，应力值中无穷大，（x，z，zxfg）f应力集中f EzEx；（2）当 x=0 时，Zx=nzx=0,而 Zz=Zzmaxf 应力集中fEzEx；（3）Zz值离Z轴愈远，其值越小；水平位置越深，应力也愈小地基土中应力的扩散现 象。（二）条形基底受竖直均布荷载作用时的附加应力如图323所示（教材P81）,当基底上作用着强度为p的数值均布荷载时，首先利用 公式（3 19）求出微分宽度dg上作用着的线均布荷载dp二pdg在

20、任意点M所引起的竖向附加应力doz2 p .z3 dg3 23)冗x)2 + z 2再将上式沿宽度B积分，即可得到条形基底受均布荷载作用时的竖向附加应力为: o y B 2pz 3此z 0 兀（x-g）2 + z2 丄pzm-1、 mnn(m -1) arctan(一) arctan() +兀nn n 2 + m 2n 2 + (m 1)2sp z324)式中：Ks 条形基底受竖直均布荷载作用时的竖向附加应力分别系数，由表35 zxz查，m二,n二，B为基底的宽度。BB条形均布荷载在地基内部引起的水平向应力0和剪应力P也可以根据式（320）和xxz式(321)积分求得，并简化为o 二 Ksp

21、(325)xxt 二 Ksp (326)xz xz式中：Ks条形面积受竖直均布荷载作用时的水平向应力分布系数xK s 条形面积受竖直均布荷载作用时的剪应力分布系数xzKs， Ks 也可由表35查得。x xz三）条形基底受竖直三角形分布荷载作用时的附加应力如图36 （教材P85）所示，当条形基底上受最大强度为pt的三角形分布荷载作用时,同样可利用基本公式Gz2 pz3 . 兀(x 2 + z 2)2先求出微分宽 dg上作用的线荷载dp =与旺，再计算的M所引起的竖向附加应力，然后沿宽度B积分，即可得到整个三B角形分布荷载对M点引起的竖向附加应力为:t f ml arctan 兀丨(m) - ar

22、ctanU)nn _n(m -1)n 2 + (m 1)2 =Kt pZT式中: KZT 条形基底受三角形分布荷载作用时的竖向附加应力分布系数，按zB查表 37。四）条形基底受水平均布荷载作用时的附加应力图36（教材P85）所示，当基底作用着强度为P的水平均布荷载时，同一可以利用 h弹性理论求水平线荷载对任意点 M 所引起的竖向附加应力为:a二仝z兀n 2n 2(m -1)2 + n 2m 2 + n 2二 Khpz式中: Kh 条形基底受水平均 布荷载作用 时 的竖向 应力 分布系数， 可由 zxzm =, n 二，查表 38。BB注意:1、在条形基础下求地基内的附加应力时，坐标系统的选择应

23、分别符合图323， 表 36 所示图要求。2、倾斜偏心荷载时的基底压力 合力既倾斜又偏心 其底底竖直压力呈梯形分布，而水平荷载一般假定均匀分布。 求解方法:应将梯形分布底竖直荷载分解成均布荷载和三角形分布荷载，然后分别求出由于竖直荷载、竖直三角形分别荷载以及水平均布荷载所引起底附加应力，再进行叠加。3、基础有埋深时的基底压力分布基底尽压力（或沉降计算压力）P = P -YD式中：r土的容重D基础埋置深度P建筑物荷载（包括基础自重在内）在基底产生的压力RD基坑开挖，在基础底面处减少的压力。因为未修建基础以前，土体中已有自重压力丫 D，修建基础时将这部分土挖除后再建 造基础，再基底增加的压力实际为

24、p-YD。三、土坝（堤）坝身的自重应力和坝基中的附加应力1、土坝的自重压力不论是均质的或是非均质的土坝，其坝身任意点的自重应力，均假定等于单位面积上该 点以上土柱的有效重量，仍可按公式（32）g 二Y H +Y H +Y H +Y Hsz 1 1 2 2 3 3 n n 此时，均质坝坝身的自重应力为三角形分布。2、坝基中的附加应力：因为，土坝坝身能够适应坝基的变形，属柔性基础，故其基底压力为梯形分布。 土坝对地基中任意一点引起的附加应力，可将梯形分布压力分解为两个三角形分布压力和一个均布压力，利用公式：g = Ksp （均布压力），g = Ktp （三角形）来计算。zzzZ T然后再进行叠加：

25、g = Q ） + Q ） + Q ）z z I z II z III对于图326 （P84）中所示的梯形分布压力下任意点的竖向附加应力，可按g二KLpzz计算。式中：Kl竖向附加应力分布系数，是a/z和b/z的函数，可从（P68图330）z中查取。a，b分别为三角形分别压力和均布压力的特征尺寸z为计算点至压力作用面的垂直距离p为梯形分布压力的最大强度四、感应图法求附加应力 当遇到不规则的基础形状，而又无法划分成矩形面积时，“角点法”的应用就受到限制。这时若利用感应图法来求解是比较方便的。 感应图法是以圆形基础竖直均布压力作用时，其中心点下竖向附加应力计算为基础的1、圆形基底受均布压力作用时其

26、中心点下的竖向附加应力如图328所示（教材P87）,当 圆形基底受到均布压力作用时，其中心点下任意深度处 M 点的竖向附加应力，可由公式3 p z 3g =- （空间）求出微分面积dA = pdpd0上的集中力dp = ppdpdO在该点（M）z 2 兀 R 5所引起的附加应力为：dG _ 3 z 3 ppdpdOz2 兀R 5将R 2 _p 2 + z 2代入，并沿整个圆形面积积分，可得M点的竖向附加应力为：g _ jf r 3 pz 3pdpd002兀（p 2 + z2）5/2012328）二 K pz0式中：Kz0圆形基底受均布压力作用时的应力分布系数，可察表2339 得；r圆形基础得半

27、径p均质荷载强度2、感应图的原理及应用感应图是N.M.Newmark首先提出得，如图329所示（）教材P89，它由9个同心圆和十二根等分得径向射线组成。设9个同心圆得半径分别为r , r，r ,它们与某一长度AB成下列关系1 29r = 0.268AB, r = 0.400AB, r = 0.518AB,r = 1.908AB,1239若选取AB恰好等于计算点得深度z,则从式（328）b = K p或表39可知：zz 0b = 0.1 p , b = 0.2p , b= 0.3p , b = 0.9p （第一个园上的均布压力z1z 2z3z9p在圆心以下z处的附加应力b 1） 任意相邻两园之间

28、的均布压力p对圆心以下z深处所引起的附加应力是相同的，均为Ab = 0.1 p。z每一个园环又被20 根径向射线划分为二十个面积相等的小块；显然每一小块的压力对 圆心以下z深处所引起的附加压力也是相等的，均为0.1p/20=0.005p。称这一小块为“感应面积”,“0.005”称之为“感应应量”。因此，如果有N块“感应面积”其上作用着相同的均布压力p,则在圆心下z深处将 引起0.005Np的附加应力。3、应用要点：以AB =z （题所要求的深度）作为比例尺，在透明纸上绘制基础平面图； 将所求点 D 移在感应图上与圆心重合 数“感应面积”的块数N 得到z处深D点的附加应力为（b ） = 0.00

29、5Np （均布压力）zD第四节 基底压力计算 建筑物的荷载是通过它的基础传给地基的。因此，基底压力的大小和分布状况，將对地 基内部的附加应力有着十分重要的影响；而基底压力的大小和分布状况，又与荷载的大小和 分布，基础的刚度，基础的埋置深度以及土的性质等多种因素有关。 对于刚性很小的基础和柔性基础，其基底压力大小和分布状况与作用在基础上的荷 载大小和分布状况相同。（因为刚度很小，在垂直荷载作用下几乎无抗弯能力，而随地基一 起变形）。 对于刚性基础：其基底压力分布將随上部荷载的大小，基础的埋置深度和土的性质 而异。如：砂土地基表面上的条形刚性基础，由于受到中心荷载作用时，基底压力分布呈抛物 线（如

30、图见教材P93）,随着荷载增加，基底压力分布的抛物线的曲率增大。这主要是散状 砂土颗粒的侧向移动导致边缘的压力向中部转移而形成的。又如粘性土表面上的条形基础，其基底压力分布呈中间小边缘大的马鞍形（如图），随 荷载增加，基底压力分布变化呈中间大边缘小的形状。根据经验，当基础的宽度不太大，而荷载较小的情况下，基底压力分布近似地按直线变 化的假定（弹性理论中圣维达原理），所引起地误差是允许地，也是工程中经常采用地简化 计算方法。一. 竖直中心荷载作用下的基底压力如图所示（教材P94图3-38）,若矩形基础地长度为L,宽度为B,其上作用着竖直中 心荷载P，当假定基底压力为均匀分布时，其值为：PPp =

31、A Ax B若基础为长条形（L/B三10）,则在长度方向截取1m进行计算，此时基底压力为：P二. 竖直偏心荷载作用下的基底压力如图所示（教材P95图3-40）:当矩形基础上作用着竖直偏心荷载P时，则任意点的基底压力，可按材料力学偏心受压 的公式进行计算：P MxMyp （x. y） =+- y +- x（3-32）AIxIy式中：p（x.y）任意点（坐标为x.y）的基底压力Mx=p.e 偏心荷载对xx轴的力矩（e为偏心荷载对xx轴的力臂）yyMy=p.e 偏心荷载对yy轴的力矩（e为偏心荷载对yy轴的力臂）yyIx =基础底面积对XX轴底惯距JL厶Iy =基础底面积对yy轴底惯距若荷载作用在主

32、轴上，例如xx轴上，如图（b），此时e =0，则Mx=0，令e =e，并 yx将Iy =LB 312x = *B 代入（3-32）,得:12e I1 +x I，即可得到矩形基础，在B 2 I竖直偏心荷载作用下，基底两侧得最大和最小压力得计算公式为：P beP =一（1 ）（3-33）max A B min对于条形基础，如图（c）,基底两侧最大和最小压力为：P beP = （1 一）（3-35）max B B min讨论：当e=0时，基底压力为矩形；B当合力偏力矩Ovev 时，基底压力呈梯形分布；bB当合力偏力矩e，P .=0基底压力呈三角形分布；b minB当e 时，则P .0,意味着基底一侧

33、出现拉应力。但基础与地基之间不能受拉, b m.n故该侧將出现基础与地基得脱离，接触面积有所减少，而出现应力重分布现象。此时不能再 按叠加原理，求最大应力值。其最大应力值为：P max =2P例如：高耸结构物下得基底压力）一般而言，工程上不允许基底出现拉力，因此，在设计基础尺寸时，应使合力偏心矩满B足e 的条件，以策安全。或：为了减少因地基应力不均匀而引起过大的不均匀沉降， bP max通常要求： 1.5 3.0 ；对压缩性大的粘性土应采取小值；对压缩性小的无粘性土， P m.n可用大值。三. 倾斜偏心荷载作用下的基底压力如图所示（教材P95图3-41）当基础受到倾斜荷载作用时，可先將偏心荷载

34、R分解为 竖向分量P和水平分量P，其中P =RcosB ,P =sinP，由公式（333）和公式（335）v h v h计算。由竖直偏心荷载P所引起的基底压力。VP beP = v（1 be ）（矩形）max A Bm.nP beP =i（1 ）（条形）max B Bm.n水平基底压力（假定为均匀分布）：hA（矩形）3 36)hB（条形）3 37)例题：有一档土墙，其基础宽度为6cm，埋置在地面下1.5m处，在离基础前缘A点3.2m 处作用这竖直线载荷P=2400KN/m。墙背受到水平推力H=400 KN/m,其作用点距基底面 为2.4m,如图所示（见教材）。设地基土的容量r=19 KN/m3

35、，试求：基础中心点下深度Z= 7.2m M 处点的附加应力（不考虑墙后填土引起的附加应力）解：（1）求偏心距e设合力作用点离基底前缘A点的水平距离为x,将合力及分力分别对A点求矩并令其 相等，即：2400x 二 2400 x 3.2 - 400 x 2.4得 x = 2.8m1合力偏心距 e = B 一 x = 3 一 2.8 = 0.2m2（ 2）求基底压力Pbe由公式：P）得基底竖直压力为max BBminKN / m22400bx 0.2480=(1 )=max b b 320 min基底水平荷载假定为均匀分布，由公式P =，得水平基底压力hBP = 400 = 66.7 KN / m

36、2 hb（ 3 ）求 M 点的附加应力首先将梯度分布的竖直荷载分解成强度为P0=32OKN/m2的竖直均布压力，和最大强度 为PT= 160 KN/m2的竖直三角形分布压力。由于基底埋置深度D = 1.5m，所以基底净压力为：P = P 一 r - D = 320 一 19 x 1.5 = 291.5KN/m2n0各种压力对M点所引起的附加应力系数由表（35），（37）和（38）查得，列于表压力形式x(m)z(m)B(m)x/Bz/B应力分布系数Kz竖直均匀分布3.07.26.00.51.20.478 (Ks)z竖直三角形分布3.07.26.00.51.20.239 (Kt)水平均匀分布3.0

37、7.26.00.51.20(Kh) z1于是M点得竖向附加应力为5 = KsP + KtP + KhP = 0.478 x 291.5 + 0.239 x 160 + 0 x 66.7 = 177.6 KN / m z z n z T z n2 第五节 有效应力原理 一、有效应力原理的基本概念 (一)有效应力和孔隙压力在土中某点任取一截面，截面体为A,截面上作用的法向应力称为总应力b，如图3 42 (教材P96图3-43)。总应力是土的重力、外荷载p所产生的压力以及静水压力组成， 是土体单位面积上的平均应力。截面总应力的一部分由土颗粒间的接触面承担和传递，称为有效应力；另一部分由孔隙中的水和气

38、体承担，称为孔隙压力卩(包括孔隙水压力卩与孔隙气压力卩) wa如图aa截面是沿土颗粒间接触面截取的微波状平面；截面上土颗粒间接触面积为 A，接触面平均法向应力为P,，孔隙水面积为，孔隙水压力为Uw气体面积为AA，孔隙气压为卩。a将P分解为竖直向和水平向两个分力，设竖直向分力为P，则aa截面的竖向力平 s sv衡为：bA = 丫 p十卩A十卩A，两边除以A得:w w a A工p A A(338)b =+ 口 w + LX AA w A a A1为有效应力定义(b)AAA式(338)变为b =b+X 亠 + X (338)w A a A1、对于非饱和土AA取x = w，Eishop与Eldin (

39、1950)根据粒状土的试验认为十很小(0后，由于活塞上下产生了水头差h,导致渗流发生。在渗流过程中，代表土骨 架的弹簧逐渐受力，且随时间延续，有效压力逐渐增加；相反，孔隙水压力则逐渐减小，即 测压管水位逐渐降低，直至超静水压力全部消散至n=0，而有效应力L =；渗流固结过 程结束，即土体已经固结。(如 3-51c)。几点认识：(1) 渗流固结过程中，u = f (t,x,y,z), 5 = f C),其物理实质就是两种应力的互相转化;即饱和土固结过程是一个孔隙水压力从产生到完全消失，有效应力逐渐大，达到最大的过程。(2) 所谓超静水压力是由外荷载引起的，超出静水位以上的那部分孔隙水压力。而饱水

40、土 层中任意时刻的总孔隙水压力应是静孔隙水压力与超静孔隙水压力之和。(3) 侧限条件下t=0时，u =5 (施加的外荷载强度一一总应力)，侧限条件下饱和土体0Au p的孔压系数为=1。A5(4) 土体固结稳定的时间长短，取决于孔隙水向外渗流的速度和土层的排水条件。2、轴对称三维应力状态 设三维应力是轴对称应力状态，在直角坐标系，作用于立方体土体上的应力如图 3-52(教材P104),其中5 =5 5。231 当求外加荷载在土体中所引起的超静水压力时，土体中的应力是在自重应力的基础上 增加了一个附加应力，常用增量表示。轴对称三维应力增量A5 ,A5 ,A5(A5 = A5)，可分解成等向压应力增

41、量A5和偏1 23233差应力增量(A5 A5 )，如图3-53 (教材P104)13(1)等向压缩应力状态一一孔压系数B设一立方体土体积为V，孔隙率为n, 土体为非饱和土。0该土体在不排气和不排水条件下，受到三向相等的正主应力增量 A5 的作用，土体内3产生了孔隙水和孔隙气的压力增量Au及Au，记作Au，现推导A5与Au的关系式。w aB3 B第一节：土骨架体积变化根据有效应力原理， 在周压力 A5 作用下， 土体中引起的有效应力为3A5 = A5 Au 。33 B设土骨架的体积应变为v ，则AVs=v V0 假设土体骨架为弹性体，由弹性理论可知： = + + 8(3-46)v123式中：

42、, , 分别为三个方向的骨架线应变，且 = = (因为压力相同为1 23123A5 3）若以 3为代表则由广义虎克定律 3 - 1 B 3 -怡2 +JA5 一 AuA5 一 Au-B-B得：1 - 2v一 Au（注：6 =6 =6 =A8 作用于土骨架上）3则：3v=C一 AuAU =8 Usv0.AU = C(A8-AuXJs s 3 B 03-47)式中：Cs土骨架的体积压缩系数E土的变形模量v 土的泊松比。第二节：分析孔隙流体的体积变化孔隙流体体积就是土的孔隙体积VVv = nV0，由孔压增量叫引起的土体中孔隙流体体积变化 AV 应为：vAV = C Au nV （水力学公式）（3-4

43、8）v f B 0式中：C孔隙流体的体积压缩系数。（3-48）公式推导：根据水力学可知：C =丄为体积弹性系数） fE又根据物体弹性变形的虎克定律： E=V旦dV式中：dp作用于液体的压强变化量dV相应于压强变化量dp的液体体积变化量V液体的体积11dv C =f EVdpVdpdv孔隙流体的孔压增量为AuB = dp ,孔隙流体体积变化量为AVv = dv ；液体何种V=孔隙流体体积V二n - VodVAVv/. C =f Vdp nV Au0B即： AV = C Au nV 推导完毕v f B 0当假设土中矿物颗粒是不可压缩时，在不排水，不排气的条件下，AV = AVsv将式(3-47)(

44、3-48)代入得：C(AS - Au b = C Au nVB 0f B 0Au =BC ASC3 1 + nfCs3-49)令：B =C1 + n / C s3-50)则.Au 二 BA6B33-51)AuB = BAS33-52)称B为孔压系数B;它表示单位周压力增量所引起的孔压增量。B值可通过室内三轴 试验测定。对于饱和土：C = CfwC 为水的体积压缩系数） wC C 即：wsCwCs因而B =1C1 + nfCs则 Au = aS n aS = o3对于干土，孔隙中气体的压缩性Cf很大,Cf T gCs则B =；1 + -fCu0nAu AS nASB 3 3324对于部分非饱和土

45、，OvBvl（2）偏差应力状态一一孔压系数A当立方土体（体积为V。）在不排水, 不排气的条件下受到偏差应力（Ai -AS3）作用后，土中相应产生孔隙压力Au。A根据有效应力原理，得轴向有效应力增量aS 二(aS - aS )- Aull3A30径向有效应力增量：AS 3二0 -AUa8 =丄Is -r(s +s )1 E 123在有效应力作用下，根据广义虎克定律8 =8 = 一 fe r 6 + S )2 3 E 312以及：S = AS = (AS - AS )- A u1 113AS =S = AS = -Au2 33A得：(AS AS ) Au_ ( Au )8 =13a 2vAiEE

46、Au(AS AS ) Au8=8=A V13A32 EE( Au )VAE(353)， (3-54)将：(3-53)(3-54)代入式(3-46)即： 8V=81+82+83=81+283并经整理可得土骨架的体积应变8 为： V3-55)(AS AS ) Au3 13 A由： AVs=8 vV0 得:AVs=Cs1 (AS AS )Au313 A3-56)同理：孔隙压力增量Au将引起孔隙流体体积减少，其体积变化量为AV :AVAV = C Au nV（ 3-57）V f A 0同理：AVs=AVv, 式（3-53）=（3-57）,即：C 1 （AS aS ）Au V = C Au nVs 31

47、3A 0 f A 03-58)Au 二 B 1(A8 -AS )A 3 1 31-AS3）前系数1/3只适用于弹性体。对于实际土体，司普顿引入一个经验系数A来替代1/3,则式（3-58）变为:(3-59)3-60)AuA=BA（A81-A83）称式中A为孔压系数Ao 对于饱和土： B = 1，所以Au 二 A（A6 - aS ）A13Au(aS -aS )13可见:孔压系数A是饱和土体在单位偏差应力增量（AS1 - AS3）作用下产生的孔隙水压力增量，用来反映土体剪切过程中的胀缩特性。A值也是在室内三轴压缩试验。 当 A=1/3 时，土体为弹性体当 A1/3时，土体属于剪缩土。孔压系数B，A是

48、土的很重要的力学指标。轴对称三维应力增量所引起的孔隙水压力增量Au =Aub +竺3-61)即：Au 二 bIas + A(AS -aS )3 13第六节 应力路径 一、应力路径的概念应力路径是指土中一点某一特定平面上应力变化过程在应力坐标图中的轨迹。它是描 述土体在外力作用下应力变化情况的一种方法。应力变化也可用 Mohr 应力圆表示，但这种方法比较繁琐，且在同一图上若要绘制几个 试样的Mohr应力圆，也容易混淆。为便于分辨，一般多采用应力路径来反映应力状态变化 情况。ST坐标系统常用的应力路径表示方法有两种S人|人士-方址pq坐标系统p-q 坐标系统常选择与主应力面成45 度的斜面作为代表

49、面最为方便，表示最大剪应力面上应力变化 的应力路径。在p-q坐标上某一点的横坐标提供该点所表示的应力圆的圆心位置2（S 1 +S J；而纵坐 标q则表示该应力圆的半径1（S -S ）o213应力路径根据应力的形式，又分为总应力路径（TSP）和有效应力路径（ESP）。总应力路径只与加荷条件有关：1 (d +5 )2 131 (5 -5 )2 13有效应力路径不仅与加荷条件有关，还与土质，土的排水条件，土的初始状态及应力 历史有关。根据有效应力原理：5 =5 +u1(5 +5 )=1(5-u+5-u)1(5 +5 )-3-63)-u1(5 -5 )= 1(5-u-5-u)1 (5-5)- u3-64)可见：在p-q坐标系表示的应力形态与p-q坐标系表示的应力形态在横坐标轴上位移 相差一个孔隙水压力值。二、几种典型的加载应力路径（一）没有孔隙水压力的情况由于没有孔隙水压力，故u=0,所以5=5 。1、增加周围压力53这时，A5 = A5 = A5，且A5不断增加。1 233p = 1（5 +5 ）由 2/ 1