《复变函数》PPT课件

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1、1 复变函数的主要研究对象是解析函数复变函数的主要研究对象是解析函数.因为，一因为，一方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量和电位，它们皆与解析函数有密切联系和电位，它们皆与解析函数有密切联系.第二章第二章 解析函数解析函数2 第二章第二章 解析函数解析函数3 ()()xxyf xxf

2、 x 我我们们知知道道，在在实实函函数数中中，当当自自变变量量 有有了了一一个个增增量量 后后，相相应应地地函函数数也也有有一一改改变变量量0()lim 通通过过研研究究函函数数的的改改变变量量对对自自变变量量的的改改变变量量的的变变化化的的快快慢慢.引引进进了了导导数数的的概概念念.xyfxx实函数的导数实函数的导数4000000().()()()与与此此类类似似，设设有有复复变变函函数数当当在在 点点给给自自变变量量一一改改变变量量wf zzzzzxyixy ixxi yyxi y00),（从从 变变到到后后 相相应应地地，函函数数也也有有一一改改变变量量zzzz00()()wf zzf

3、z00()若若当当时时的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限值值为为在在 处处的的导导数数.wzzf zz5 1、导数定义、导数定义定义定义 设函数设函数w=f(z)zD,且且z0、z0+zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f(z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f(z)在在z0的导数，的导数，记作记作zzfzzfz)()(lim000 .)()(lim)(00000zzfzzfdzdwzfzzz 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f(z)在区域在区域D内可导内可导.6 .)()()(000 zfzzfzzf 应当注意应当

4、注意,定义中定义中z0+zz0(即即z0)的方式是任的方式是任意的意的,定义中极限值存在的要求与定义中极限值存在的要求与z0+zz0的方的方式无关式无关,也就是说也就是说,当当z0+z在区域在区域D内以任何方内以任何方式趋于式趋于z0时时,比值比值.)()(00都都趋趋于于同同一一个个数数zzfzzf 0,()0,0|,z当当有有 若上述极限不存在，则称函数在若上述极限不存在，则称函数在z0 0点不可导点不可导.7微分微分dzzfzdfzzfzdf)()()()(0000或称为称为f(z)在在z0处的微分处的微分.8例例1 .)(2的的导导数数求求zzf 0()()limzf zzf zzCz

5、 解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 9例例2 是否可导？是否可导？问问yixzf2)(zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0，轴轴的的直直线线趋趋向向于于沿沿着着平平行行于于设设zxzz xyoz0 y10 xyoz0 yyixyixz 2lim0,1lim0 xxx，轴轴的的直直线线趋趋向向于于沿沿着着平平行行于于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0,22lim0 yiyiy不不存存在在的的导导数数所所以以.2)(yixzf 注：与实变函数一样，一个复变函数连续

6、不一定可导！注：与实变函数一样，一个复变函数连续不一定可导！11实变函数的连续与可导实变函数的连续与可导 如果函数图像在某一点有角，那么虽然图像时连续的但是由于不能在一个角上确定它的切线，从而不能确定切线的斜率，也就不能确定导数，所以导数不存在 只要可导，那么在这一点就是有定义的，并且由于有定义，所以在这一点的极限值等于函数值，从而确定是连续的，也就是说的可导必连续。12与实函数一样，可导一定连续与实函数一样，可导一定连续.事实上事实上,由在由在z0 0点可导的定义点可导的定义,对于任给的对于任给的 0,相应地有一个相应地有一个 0,使当使当0|z|时时,有有.0)(lim),()()()(,

7、)()()(0000000 zzfzzfzzfzzfzzfzzfz则则令令.)(),()(lim0000连连续续在在即即所所以以zzfzfzzfz 13由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：).0)()()(;)()(;)()(2 zgggfgfgfiiigfgfgfiigfgfi1(1)0,(2)();nnccznz其其中中 为为常常复复数数；都都可可导导，则则、若若)()()3(zgzf14（5）反函数的导数）反函数的导数 ，其中，其中 w=f(z)与与

8、z=(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且 (w)0.)(1)(wzf 这样，我们知道多项式处处可导这样，我们知道多项式处处可导.例如，例如，(4)()()()()().、hf zwg hwg f zdwd dhg h fzdzdh dz若若可可导导，则则可可导导，且且.1412)623(324 zzzzz另外，有理分式在分母不为零的点处可导另外，有理分式在分母不为零的点处可导.15不解析的点称为不解析的点称为奇点奇点.注：注：（1 1）可导与解析是两个完全不同的概念，解析）可导与解析是两个完全不同的概念，解析一定可导，但可导未必解析一定可导，但可导未必解析.不解析的点可能可导，不解析

9、的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：若函数在区域若函数在区域D内可导，则在内可导，则在D内一定解析内一定解析.即在区域上，可导与解析是等价的即在区域上，可导与解析是等价的.（为什么？）（为什么？）.)()(000点点解解析析在在邻邻域域内内处处处处可可导导，则则称称的的某某个个小小点点可可导导，而而且且在在不不仅仅在在定定义义：若若zzfzzzf例如例如:1wz 以以z=0为奇点为奇点16关于解析函数一些作者不用解析而用各种不同的名关于解析函数一些作者不用解析而用各种不同的名称，例如全纯，正则，解析正则，单演，伴生称，例如全纯，

10、正则，解析正则，单演，伴生（synecticsynectic）等）等17例例3 22(),()2().f zzg zxyih zz 研研究究函函数数和和的的解解析析性性答案：答案：;在复平面内是解析的在复平面内是解析的 z z由例1可知：f(z)由例1可知：f(z)2 2 ;处处处处不不解解析析 2 2y yi ix x由由例例2 2可可知知：g g(z z),)(2的的解解析析性性下下面面讨讨论论zzh 18 ,)(2的的解解析析性性下下面面讨讨论论zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzzzz ,0)1(0 z.0)()(lim000 zz

11、hzzhz19 ,)(2的的解解析析性性下下面面讨讨论论zzh zzhzzh )()(00,00zzzzz ,0)2(0 z000y，zxzz时轴方向趋于沿平行于当1limlimlim000 xxyixyixzzxzz000 x，zyzz时轴方向趋于沿平行于当1limlimlim000yyyixyixzzxzzzzhzzh )()(00,00zzzzz 极限不存在极限不存在.20 的另一种解法的另一种解法 解析性解析性 z zh(z)h(z)下面讨论下面讨论2 2zzhzzh )()(00,00zzzzz ,0)1(0 z.0)()(lim000 zzhzzhz,0)2(0 z ,)(0000

12、zxxkyyzz趋趋于于沿沿直直线线令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 1121 ,的的任任意意性性由由于于 k .11不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值kikizz .)()(lim000不不存存在在zzhzzhz .,0 )(2析析它它在在复复平平面面内内处处处处不不解解根根据据定定义义不不可可导导而而在在其其他他点点都都处处可可导导仅仅在在因因此此 zzzh22例例4.1 的解析性的解析性研究函数研究函数zw 解解 ,0 1 处处处处可可导导在在复复平平面面内内除除因因为为 zzw ,1dd 2zzw 且且 ,0 外外处处处处解解析析在在复复平平面面内内除除所所以以 z

13、w .0 为它的奇点为它的奇点 z23定理定理1.1 1.1 解析函数的和、差、积、商仍为解析解析函数的和、差、积、商仍为解析函数函数.处处处处解解析析。多多项项式式0111)(azazazazfnnnn 由求导法则，不难看出：由求导法则，不难看出：定理定理1.2 1.2 解析函数的复合函数仍为解析函数解析函数的复合函数仍为解析函数.24 本节内容：本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部的偏导之间的关系偏导之间的关系.；的的连连续续性性关关系系非非常常密密切切和和与与的

14、的连连续续性性知知道道通通过过前前面面的的学学习习，我我们们vuviuzf )()2,2()，f zxyiux vyf z设设尽尽管管可可微微但但处处处处不不解解析析！()f zui vuv于是，就自然提出这样的问题：的可导性与、的偏导数之间具有怎样的关系？25举例尝试举例尝试22,2uxyvxy容易求得容易求得2,uxx2,uyy 2,vyx2.vxy观察、寻找联系后发现有观察、寻找联系后发现有,uvuvxyyx 26究竟是偶然的现象还是必然的规律？究竟是偶然的现象还是必然的规律？为方便起见，对于实二元函数为方便起见，对于实二元函数 g(x,y),记记22222,.xyxxyyxyggggg

15、gxyxggggyx y27,.uvvuxyxy 定理定理1 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点在点 可导的充要条件是可导的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在 可微，且在该点满足可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程方程000zxi y00(,)xy(1)此条件也被称为达朗贝尔此条件也被称为达朗贝尔-欧拉条件欧拉条件注注(2)这个条件实际上是复变函数论与偏微分方程理这个条件实际上是复变函数论与偏微分方程理 论之间的一座桥梁。论之间的一座桥梁。28,.uvvuxyxy 推论推论1 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果如果u(x,y)和和 v

16、(x,y)的四个偏导数的四个偏导数:在点在点(x,y)处连续处连续,且满足且满足C-R方程，则方程，则f(z)在点在点z=x+iy处可导。处可导。yvxvyuxu,yvyuixvixuzf)(29条条件件：域域内内可可导导因因而而解解析析的的点点换换为为区区域域，则则得得到到区区将将0z定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内可微，且内可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程.,yuxvyvxu 30,.uvvuxyxy 推论推论2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),在

17、区域在区域D内有内有定义，如果在定义，如果在D内内u(x,y)和和 v(x,y)的四个偏的四个偏导数导数:存在且连续存在且连续,并且满足并且满足C-R方程，则方程，则f(z)在在D内内解析。解析。yvxvyuxu,31例例2.1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu .1,0,0,1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,.,处处处处不不解解析析在在复复平平面面内内处处处处不不可可导导故故zw 32)sin(cos)()2(yiyezfx ,

18、sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx .,xvyuyvxu 即即四个偏导数四个偏导数均连续均连续 .,)(处处处处解解析析在在复复平平面面内内处处处处可可导导故故zff(z).f(z).isiny)isiny)(cosy(cosye e(z)(z)f f且且x x指数函数指数函数33)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu .,0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 ,0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0)Re(处处可可导导仅仅在在故故函函数数 zzzw .在在复复平

19、平面面内内处处处处不不解解析析34?)(,),()(2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf 例例2.2 解解,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv ,xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2.2 ,1 ,1 ,2 dcba所所求求35例例.()(,0,0)(2121常数）CiCCzfCvCuvuvuviuivuzfyyxxyyxx证明证明.,)(,0)(DzCzfDzzf 则则若若361、导数导数的概念，复变函数求导法则的概念，复变函数求导法则.2、解析解

20、析的概念，的概念，解析与可导的关系解析与可导的关系.3、判别复变函数可导与解析性的有效方法：、判别复变函数可导与解析性的有效方法：柯西柯西黎曼定理黎曼定理.f(z)在区域在区域D内可导内可导f(z)在区域在区域D内解析内解析 f(z)在在z0点解析点解析 f(z)在在z0点可导点可导 f(z)在在z0点连续点连续 37判别真、假：判别真、假：;)()()1(00解解析析在在存存在在，则则若若zzfzf;)()()2(00处处不不可可导导在在的的奇奇点点，则则为为若若zzfzfz的的奇奇点点；，也也是是的的奇奇点点，则则和和为为若若)()()()()()()3(00zgzfzgzfzzgzfz