匀速圆周运动的向心力和向心加速度

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1、匀速圆周运动的向心力和向心加速度丄教学目标1. 知识与技能知道匀速圆周运动向心力、向心加速度的概念掌握匀速圆周运动的向心力、向心加速度的计算公式掌握实验探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系的实验原理、仪器与步骤知道匀速圆周运动的向心力、向心加速度在一般的圆周运动中也适用2. 过程与方法通过实验探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系，得出计算向心力的计算公式 通过实验探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系，进一步熟悉控制变量法在物理 实验探究中的重要性通过速度的合成的方法推导匀速圆周运动向心加速度的计算公式，进一步掌握极限思 维在物理学中的应用3. 情感态度与价值观通过实验探究匀速圆周运动向心

2、力的因素之间的关系，培养学生探究物理规律的兴趣 通过速度合成求解匀速圆周运动向心加速度的计算公式，培养学生微圆法、极限思想 方法在物理学中的应用，进一步树立利用数学知识理论解决物理问题的思维品质:教学重难点教学重点：1.实验探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系2.利用速度合成求向心加速度教学难点：利用速度合成求向心加速度4-课时安排2课时丄授课类型新授课丄教学过程 导入师：同学们，上一节我们共同研究了匀速圆周运动。那么是什么原因导致物体做匀速圆 周运动呢？在上一节的描述匀速圆周运动的物理量上对匀速圆周运动做了运动学上的分析, 那么匀速圆周运动在动力学上又有怎样的规律呢？带着这些疑问，我们共同

3、来学习本节内 容。新课开讲在第二章第一节的圆周运动中，我们说匀速圆周运动的速度是时刻在变化着得“匀 速”指的是“匀速率”。既然速度在时刻变化，也就是说匀速圆周运动具有加速度，所受合 力不为零；同时匀速圆周运动属于特殊的曲线运动，根据物体做曲线运动的条件，我们还能 知道匀速圆周运动物体的合外力与线速度的方向不在一条直线上。那么匀速圆周运动的合外力是怎样的呢？我们先来看下面的事例。竖直方向NAO如图1所示，当使物体在绳的作用下在光滑水平面做匀速圆周运动时，我们的手会受到 绳子一个沿绳子方向指向物体的拉力。根据牛顿第三定律可知，物体也受到绳子一个沿绳子 方向指向手的拉力。对物体作受力分析（如图2）可

4、知，在竖直方向物体的受力平衡；在水平方向仅受沿绳 子方向指向手的拉力，而物体在光滑水平面做匀速圆周运动的合外力不为零，因此这个力只 能是绳子给予的沿绳子方向的指向手的拉力。图3图4图3是月球受到地球的引力作用绕地球做圆周运动的示意图；图4是游乐场里的旋转 秋千” “旋转秋千”在重力与绳子的拉力作用下在水平面做匀速圆周运动。以上事例说明，物体要做匀速圆周运动必须满足合外力不为零，且这个合外力必须指向 圆心。这个合外力物理学上称为向心力。1向心力定义：物体做匀速圆周运动时所受到的合外力方向始终指向圆心，这个指向圆心的力 就叫做向心力。来源匀速圆周运动的向心力是匀速圆周运动的合外力，也就是说匀速圆周

5、运动的向心力可以 由一个力提供，如：重力、弹力、摩擦力等等；也可以是几个力的合力。这也就是说向心力 是一个效果力，它的存在必须是其它性质力提供，在分析物体的受力时只分析物体受到的性 质力。在高中阶段会遇到两个效果力：向心力与回复力。这些力在必须由其它力提供，在分析 物体的受力时不能分析出这两个力来。这一点请同学务必记牢。回复力将会在选修3-4中第 一章学习简谐振动时遇到。一个物体之所以能够做匀速圆周运动就是有这样一个向心力的作用。例题1：如图5所示，放置在水平圆盘上的小物块A跟着圆盘 起做匀速圆周运动则A的受力情况是A. 受重力、支持力B. 受重力、支持力和指向圆心的摩擦力C. 受重力、支持力

6、、向心力和摩擦力D. 以上均不正确答案：B练习1：下面说法正确的是A. 因为物体做圆周运动，所以才产生了向心力B. 因物体有向心力存在，所以才迫使物体不断改变运动的方向而做圆周运动C. 因为向心力的方向与线速度的方向垂直，所以向心力对做圆周运动的物体不做功D. 向心力是圆周运动物体所受的合力答案：BC在图1中，减小物体旋转的速度、增大旋转半径或者换一个质量大点的物体旋转，我们 的手的感觉如何呢？通过上面的亲身感受，我们感性的假设匀速圆周运动的向心力与物体的质量、旋转快慢 （即旋转的线速度或角速度的大小）、旋转半径有关。那么它们具体是怎样影响向心力的大 小以及它们之间有什么关系，下面通过实验来共

7、同探究。2实验探究：匀速圆周运动向心力的因素之间的关系实验目的 知道实验装置的构造以及其实验原理 掌握控制变量法在探究实验中的应用 理解影响匀速圆周运动向心力的因素之间的关系实验装置1.手柄2变速轮塔3变速轮塔4.长槽5短槽6.小球图6是探究研究影响向心力因素的实验装置。7.小球8横臂9弹簧测力计10. 标尺11. 转动皮带12. 挡板图6探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系的实验装置实验原理转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的 挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下 降，从而露出标尺，标尺上的红白相同的等分格显

8、示出两个球所受向心力的比值。实验步骤 探究匀速圆周运动的向心力F与质量m的关系a. 调整横臂的位置，使小球到变速轮塔的中心的距离相等b. 把传动皮带放在使两个变速轮塔的半径相等的槽中c. 在长短槽中分别放入两个质量分别为m、m （ m丰m ）的小球12 12d. 匀速转动手轮，分别记下弹簧测力筒标尺的向心力的大小F、F1 2e. 在长短槽中放上另外两个质量不等的小球，重复d的步骤，重复测量三次 探究匀速圆周运动的向心力F与角速度o的关系a. 调整横臂的位置，使小球到变速轮塔的中心的距离相等b. 在长短槽中分别放入两个质量为m的小球c. 把传动皮带放在使两个变速轮塔的半径为R、R （ R丰R ）

9、中12 12d. 匀速转动手轮，分别记下弹簧测力筒标尺的向心力的大小F、F1 2e. 改变传送皮带在两个变速轮塔中的槽，重复d的步骤，重复测量三次 探究匀速圆周运动的向心力F与圆周的半径r的关系a. 把传动皮带放在使两个变速轮塔的半径相等的槽中b. 在长短槽中分别放入两个质量为m的小球C.调整横臂的位置，使两个小球到变速轮塔的中心的距离分别为r、r12d. 匀速转动手轮，分别记下弹簧测力筒标尺的向心力的大小F、F12e. 调整横臂的位置，重复d的步骤，重复测量三次实验数据处理 探究匀速圆周运动的向心力 F 与质量 m 的关系探究匀速圆周向心力 F 与质量 m 的关系表保持角速度 与圆周半径r不

10、变实验次数小球质量m1向心力F1小球质量m2向心力F21234探究匀速圆周向心力F与角速度的关系表实验次数圆周半径r1向心力F1圆周半径r2向心力F21234实验结论 从探究匀速圆周向心力 F 与质量 m 的关系的实验数据可以看出，在误差允许的范围 F内一为常数，即Fgm ；m 从探究匀速圆周向心力F与角速度的关系的实验数据可以看出，在误差允许的范围内FR2为常数，即F g，也就是F go 2；R2 从探究匀速圆周向心力 F 与圆周半径 r 的关系的实验数据可以看出，在误差允许的F范围内一为常数，即F g r。r实验注意事项 在转动手柄时，应尽量均匀转动手柄 由于皮带的牵引，转速轮塔边缘线速度

11、始终是相同的。又因为有v = R，因此在控 制变量角速度时，通过控制转速轮塔的半径即可;在探究匀速圆周向心力F与角速度o的 关系的实验中，还通过调节转速轮塔的轨道（R不同）间接的表示角速度的变化，这就 是为什么在这个实验中利用万来间接表示角速度的原因。R 在实验中研究匀速圆周运动的向心力F与质量m、角速度、圆周半径r的关系时 必须利用同一组数据进行分析，例如：在在研究匀速圆周运动的向心力F与质量m的关系F时，分析一为常数时的数据只能全部来自同一次实验的的（m、F），（ m、F），绝不 m1122能在第一次实验取（m、F），在第二次实验取（m、F ）。在实验中多次实验主要是为1 1 2 2了实验

12、数据更具说服力。3匀速圆周运动向心力的数学表达式 根据2中的探究实验得出以下结论： 在角速度与圆周半径r 一定的情况下，匀速圆周运动的向心力F与质量m的关系是F * m ；在质量m与圆周半径r 一定的情况下，匀速圆周运动的向心力F与角速度的关系是 F * w 2 ；在质量m与角速度一定的情况下，匀速圆周运动的向心力F与圆周半径r的关系是 F * r。在必修1中探究加速度与质量、力的关系的实验中得出的结论是：当质量一定时，1Fa * F，当力一定时，a *。然后根据数学证明得到a =公一（换一种形式即为F二kma）mm的数学表达式，当数学表示式中的各物理量都取国际单位时，k = 1。同理，这里也

13、可以写成F = kmw 2r （感兴趣的同学可以仿造证明牛顿第二定律的数学 表示式的方法去证明，这里直接套用就不在进行数学证明），当这个数学表达式中的各物理 量都取国际单位时，k = 1，即：F = mw 2r此即匀速圆周运动向心力的表达式。V 2又因为有V = wr，因此式也可以写为F = mr2兀厂4兀2又因为有w=，因此式还可以写为F = m r TT 2从匀速圆周运动的向心力的定义中知道，匀速圆周运动的向心力的方向总是圆心与线速 度方向垂直。这里需要注意的是，匀速圆周运动的向心力的数学表达式中涉及多个物理量，因此在描 述匀速圆周运动的向心力数学表达式中各物理量之间的关系时，必须指明在哪

14、些物理量一定 的情况下，哪个物理量与哪个物理量成什么关系。例如：在质量与圆周半径一定的情况下， 匀速圆周运动的向心力与角速度的平方成正比，前面的前提条件不可少。思考：在公式中，可以这样说：在质量与加速度一定的情况下，匀速圆周运动的向心 力与圆周半径成正比；而在公式中，可以这样说：在质量与线速度一定的情况下，匀速圆 周运动的向心力与圆周半径成反比。同样是匀速圆周运动的向心力的表达式两种说法为何相 反呢？这是不是矛盾的呢？提示：不矛盾。因为这是在不同的表达式中描述的，这也就说明在描述各物理量之间的 关系时必须指明哪些物理量保持不变。例题2：如图7所示，OP = PQ = R。两个小球质量都是m，a

15、、b为水平轻绳.两 小球正随水平圆盘以角速度w匀速同步转动。小球和圆盘间的摩擦力可以不计。求：绳b对小球Q的拉力大小；绳a对小球P的拉力大小。解：对球Q进行受力分析如图甲所示，绳子b对小球的拉力提供球Q的向心力，则绳子b对球Q的拉力F = mo2(2R) = 2m 2Rb对球P进行受力分析如图乙所示，球P的 向心力由绳子a、b对球P的拉力的合力提供。则 F 一 F 二 mo 2Ra b由牛顿第三定律和二力平衡得F -Fb b则 F = F + mo 2R = 3mo 2Rab4. 向心加速度 根据牛顿第二定律可知，做匀速圆周运动的N甲N2乙物体在向心力作用下必然产生一个向心加速度，它的方向与向

16、心力的方向相同，其大小为F，即v 24 兀 2匀速圆周运动的向心加速度a = w 2r或a = 或a = r rT 2下面利用速度合成推导出匀速圆周运动的向心加速度。如图8所示是质点做匀速圆周运动的轨迹。设某时刻t质点在A点的速度为v，经过At A 时间后，质点到达B点，速度为v_。平移速度v (记为v)BB因为v丄OAA所以 Z1+ Z2 = 900 又因为v丄OBB 所以Z1 + A申=9Oo 所以Z2 = Ap 又因为|vj = |B使与v重合，则质点从A点运动到B点的速度变化量为Av。AV所以,Vb,OA = |OBv Iv1 A1 -B-|OA| |OB所以由v、v、Av构成的三角形

17、与AOAB相似。A B令ab的弦长为/ ，则由相似三角形的性质可得 kJ血 r lAB IaV = -J i r abAOBAv v* BAB变形得m两边同时除以At则有削厶匕AtAtrAv l v 即匀速圆周运动的加速度的大小a = =书 JAt At r用v表示匀速圆周运动的线速度的大小，则上式可以写为a =用As表示AB间的弧长，当At T 0时，1 AsAB又因为匀速圆周运动的线速度v JAtv v 2 因此，上式可以与为a = v =-r r加速度a的方向就是Av的方向。在由v、v、Av构成的三角形中有，Z3 = -Z2。 a b2兀 当 At 0 时，Z2 0，因此有 Z3 =即A

18、v丄vA 因此，a丄vA 即a的方向指向圆心以上的讨论中，我们应用了极限的数学思想方法。极限的数学的方法在本学期应用颇多， 希望同学们在学习的过程注意此种思维方法。例题3：下列关于向心加速度的说法中，正确的是A. 向心加速度的方向始终与速度的方向垂直B. 向心加速度的方向保持不变C. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D. 在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化答案：C练习3：关于向心加速度，下列说法正确的是A. 它描述的是线速度方向变化的快慢B. 它描述的是线速度大小变化的快慢C. 它描述的是向心力变化的快慢D. 它描述的是转速的快慢答案：A例题4：如图9所示，一个大轮通过皮带拉着小轮

19、转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的*，当大轮边上P点的向 心加速度是12cm/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大?解:令大轮的角速度为，小轮的角速度为 ，1 2 大小轮的线速度为v，P点的圆周半径为r，则S点1小1的圆周半径为3r，Q点的圆周半径为r。根据匀速圆周运动的向心加速度公式可知，P点的向心加速度ar P 1c13 2 rS点的向心加速度a =32 r = 于S 133由两式可得,4cm / s 2由匀速圆周运动的向心力公式P点的向心加速度速av 22v 2Q 点的向心加速度 a 2a 2 x 12cm /

20、 s 2 24cm / s 2Q r r p练习4：如图所示，半径为R的半球形碗内有一物体A，当碗绕竖直轴OO匀角速度 转动时，物体A在离碗底高h处紧贴着碗随碗一起做匀速圆周运动，而不发生相对滑动。 求物体A的向心加速度。答案： 2、. h（2R - h）5. 一般的圆周运动以上讨论的向心力与向心加速度都是在匀速圆周运动中进行的，那么向心力与向心加速 度在一般的圆周运动也存在，其计算公式也适用吗？通过第二章第一节的学习，我们知道匀速圆周运动与圆周运动的关系是个性与共性的关 系。描述匀速圆周运动的四个物理量在一般的圆周运动同样适用。这里的向心力与向心加速 度也是这样，只是一般圆周运动的合外力不完

21、全提供物体做圆周运动的向心力，它还要使质 点的线速度大小发生变化。向心加速度也是这样。/示off关于一般圆周运动的向心力与向心加速度以及质点的合外力与加速度的关系如图10所图10质点做圆周运动，其合外力如图所示。根据牛顿第二定律，质点的加速度与合外力的方向一致。这是质点的合外力可以分解为沿半径方向指向圆心的向心力F与沿线速度所在直线的 方向的F（一般叫切向力）向心力F指向圆心，且F丄v，因此它只改变质点线速度的 方向而不改变线速度的大小，而F要么与线速度同向要么相反，当F的方向与v的方向同 向时，它使线速度的大小增加，反之，则使线速度的大小减小。由于加速度与力相对应,因此质点的加速度与向心加速

22、度以及沿线速度所在直线的方向 的切向加速度的关系与力的关系一致，在此不再熬述。总之，对一般圆周运动而言，向心力始终指向圆心，它只改变线速度的方向，向心加速 度与向心力的意义一样。例题5：关于圆周运动的理解，下列说法正确的是A. 做圆周运动的物体加速度一定指向圆心B. 做匀速圆周运动的物体向心加速度越大，物体运动的速度变化越快C. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒量D. 做匀速圆周运动的物体角速度越大，连接物体与圆心的轨道半径转动越快答案：BD练习5：小金属球质量为m、用长L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方2处钉有 一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度释放小金属球，当悬线碰到钉

23、 子的瞬间（设线没有断），则rA. 小球的角速度突然增大B. 小球的线速度突然减小到零C. 小球的向心加速度突然增大D. 悬线的张力突然增大答案：ACD 小结通过本节的学习，我们共同了解了物体做匀速圆周运动的原因一一需要向心力的支持, 也知道了向心力的来源。向心力是效果力，只能由其它力提供，这一点请同学们务必牢记。 我们利用控制变量法共同探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系以及利用速度合成的 方法研究了向心加速度，最后我们还把匀速圆周运动的向心力与向心加速度向一般的圆周运 动进行了推广。为在第二章第三节我们研究一些典型的圆周运动的实例做了理论铺垫。在利 用速度合成求向心加速度的数学推导中，我

24、们还使用了极限的思维方法。通过数学证明了的 理论更有说服力，越到高深的物理越是这样。物理学是一门实验科学，虽然经过数学推理更 具说服力，但是如果经过数学推理出来的东西与实验不服，我们也不能接受这个数学推理。 这是物理科研中的原则。课后作业完成课后练习的全部作业以及预习第二章第三节圆周运动的实例分析丄板书设计匀速圆周运动的向心力和向心加速度一、向心力1. 定义：物体做匀速圆周运动时所受到的合外力方向始终指向圆心，这个指向圆心 的力就叫做向心力2. 来源向心力是效果力由一个力或几个力（性质力）的合力提供二、实验探究：匀速圆周运动向心力的因素之间的关系1实验目的2. 实验装置3. 实验原理4. 实验

25、步骤探究匀速圆周运动的向心力F与质量m的关系 探究匀速圆周运动的向心力与角速度的关系 探究匀速圆周运动的向心力与圆周的半径r的关系 5实验数据处理6. 实验结论在角速度与圆周半径r 一定的情况下，匀速圆周运动的向心力F与质量m的 关系是F*m在质量m与圆周半径r 一定的情况下，匀速圆周运动的向心力F与角速度的 关系是F X2在质量m与角速度一定的情况下，匀速圆周运动的向心力F与圆周半径r的 关系是F* r7. 实验注意事项三、匀速圆周运动向心力的数学表达式F = m 2 rv2F = mr4兀2F = m rT 2四、匀速圆周运动的向心加速度a = 2 rV 2 a =- r4兀2a = rT 2五、一般的圆周运动对一般圆周运动而言，向心力始终指向圆心，它只改变线速度的方向，向心加速度 与向心力的意义一样。丄课后反思