分形和多重分形

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1、第三章 分形和多重分形分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。分形和多重分形是不依赖于尺 度的自相似的一个自然结果。单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已 有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。实际上通过计 算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。为了获得对一个分形更详细 的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠 加而成的。从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的 测度卩(或质量分布)：对于足够小的正数r，成立

2、幕律特性u (B (x) x r，并 r 且不同的集对应于不同的a (其中B (x)表示某度量空间内以x为中心，半径 r为 r 的球)，在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态 的复杂性和某种奇异性。表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱 f (a)或 广义维数d。多重分形谱f (a)在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通 q过f (a)相对a的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a确定了 奇异性的强度，而f (a)则描述了分布的稠密程度。3.1 分形的基本理论3.1.1 分形理论的基本概念 分形分形几何学是由 Mandelbrot4 首先提出并发展为系统理论，Ma

3、ndelbrot 在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测 出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。 在研究中，他将测量 长度与放大比例(尺度)分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系， 此线性关系可用一个定量参数 -称分形维数来描述。由此, Mandelbrot 进一步 发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如 Mandelbrot 集、Cantor集、Koch曲线、Sierpinski地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。与欧氏几何比较，分形几何主要有以下特点： 1) 描述对象虽然很复杂、不规 则，但不同尺度上有规则性或相似性。 2) 欧氏几何具有

4、标度，理想的分形具 有无限的几何标度，而无特征长度。 3) 欧氏几何描述特征是整数维，而具有 分形的复杂曲线，其分维是大于 1 的非整数，具有分形的表面分维是大于 2 的非整数。 分数布朗运动 定义3.1设h满足0 H 1，b0为任意实数，若随机函数满足:B (0, w) = bH0B (t, w) =H1r(H+2)J 000-sJt (i s)H - 2 dB (s, w 厂o丿则称B (t,w)为分数布朗运动。其中H为分形参数，H = 1/2时，B (t,w)为普HH通布朗运动，w为样本空间Q的样本。分数布朗运动(FBM)是一种分形模型， 可以很好的描述分形信号，它是连续不可导的一种非平

5、稳随机过程， 对尺度变 化具有相似性。 FBM 的增量是平稳的零均值 Gaussian 随机过程。设 B (x) 为一高斯随机场，对于 0 H 1 ，若满足HP J bh(X + 心)bh (X) y = F(y)(3.1)鬧HJ则称B, x)为FBR场(分数布朗随机场)。其中p ()表示概率测度；|表示范数；H为Hurst分形指数,F(y)为高斯分布函数。对(3.1)式取数学期望， 有El B (t + At) - B(t) I二 El y I二hH(2兀)1/2II AtII2H(3.2) 分形参分形维数FD (Fractal Dimension)，可由下式通过Hurst指数得到，也有 其

6、它许多估计方法(见下节) FD=D+1-H ， H 参数的估计有时域法和频域 法，D是拓扑维，对可求长的光滑曲线D=1 ;对FBR表面D=2 ； FD是描述 分形的主要参数，一般的，当不规则曲线的FD大于1或纹理表面的FD大于 2时，认为它们具有分形性。 增量标准差c，也由(3.2 )式得出。 无 标度区( ,6 )，理想分形满足(3.2)式，具有无限标度；对于实际图象， min max由于量化效应和模型的差异，只有一段尺度空间使( 3.1 )满足线性关系，称 为无标度区。实际图象越接近理想分形，其无标度区间越大，即 6/6 的值max min越大。在此区间，可用线性回归方法估计H值。3.1.

7、2分形维数的估计法分维的估计有许多方法 5，比较实用的从速度和精度考虑，有以下几种：1) 数盒子法：对于分形曲线，用可变尺度6沿曲线度量长度所需N(6 )次，N(8 )是随6而变的，分维由下式确定:D = lim(lg( %)_ log(8)为求N(s)，在计算时以不同尺寸的网状栅格覆于曲线上，为格子大小，然 后计算求得与曲线相交的格子数，即N()。最后利用双对数曲线估计分维值。同理，对于分形纹理曲面，它被包容在三维空间中，因此用小立方体来 代替网状栅格，同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲面上，可得到与尺寸 对应 的小立方体总数 N() ，进而求得分形表面的分维值。2) 功率谱法：对图象先作付氏变

8、换成为频谱图，其功率谱为I P(w) |2，而频 率半径为R f，作出功率谱与频率半径的双对数图，根据线性回归法求取分维值。3) 地毯覆盖法：设分形表面为g(i, j)，形象的用厚度为2的地毯覆盖，则毯的上表面点集为t (i, j)和下表面b (i, j)，初始状态为t (i，j)二b (i，j)二g (i，j)， 0 0当厚度 = 1,2,3,，变化时，t (i, j) = maxt (i, j) +1, max t (m,n)11(m,n)Sb (i, j) = maxb (i, j) 1, max b (m, n)1(m ,n )eS 1其中S为点(i, j)邻域点集，则在尺度下，毯的面

9、积A()=忆(t (i, j) b (i, j)/2i , j在近来实际的工程应用中，研究者们针对一些分形维数的定义，也提出 了许多关于分形维数计算的方法，如谢和平 30等人提出的修正盒计数维数、 填隙维数、两脚规维数等。又如在图象处理方面还有 Gangepain 等的计网格 元法(Reticular Cell Counting )、Keller等的基于概率的估算法、基于分形 布朗运动自相似模型的估计法 及Sarkar等的微分计盒法(Differential Box Counting , DBC）等。其中DBC法和基于分形布朗运动自相似模型的估计方 法覆盖了图象 FD 较大的动态范围，但是这两

10、种方法随纹理图象粗糙度的变化 反映出的 FD 估计值的变化趋势是不一样的。 DBC 法对粗糙度小的纹理敏感， 粗糙度小时其变化更剧烈，而基于分形布朗运动自相似模型的估计方法在粗糙 度小时其变化较前者平缓， 在高粗糙度的情况下的变化比前者剧烈， 因此更好 地反映了大 FD 情况的 FD 估计差异。我们的论文工作中，为了在下一章中利 用 FD 进行边缘检测，这里介绍利用基于分形布朗运动自相似模型来估计分维 FD 的方法。3.1.3 基于分形布朗运动模型的 FD 估计法分形几何为图象几何特征的描述开辟了一个新途径。 Pentland7 的研究 证明，自然界大多数景物表面是空间各向同性的分形， 它们的

11、表面映射成的灰 度图象是具有分形特性的分形灰度表面；而各向同性的分数布朗随机场模型（FBR）是描述自然景物的有效方法之一，同一图象区域的灰度表面具有统计 意义上的自相似性，通过对其 FBR 模型参数的提取和研究，可以获得图象许 多重要的几个参数 7。然而，在不同图象区域的交界处，这种分形的一致性 将被破坏,在此求出的分形参数H值将会超出其理论取值范围（如用DFBR描 述图象灰度表面，其分形参数H的理论取值范围应为（0 H 1），正是这些H 值发生奇异的地方预示了不同区域的交界位置。因此，通过对 H 值的计算和 分析，可以检测出图象中的边缘 6。本节将采用 DFBR 场模型作为描述图象 区域的数

12、学模型，据此定义一种新的分形参数 H 值的计算方法，分析探讨边 缘处H值的奇异性，并将它用于图象边缘的检测实验。 图象区域的 DFBR 场模型 定义33若x与Ax取离散值为n和m，则称c(n,m) = B (n) - B (n,m)为离散HH 分数布朗随机场(即 DFBR 场)。由以上定义可知，分数布朗随机场是非平稳的，而对应的离散增量(即DFBR 场)则具有统计平稳自相似性，即 DFBR 场满足：El B (n + m) -B (n)l二 El B (n +1) -B (n)lll m IIhHHHHEI B (n + m) - B (n)b二 EI B (n +1) - B (n)bll

13、m II2hHHHH由上式看出， DFBR 场的一、二阶绝对矩是各向同性的。 DFBR 场模型是 描述自然景物自相似性的一种有效模型，其局部统计特性能有效地吻合图象区 域的局部统计特性8。因此，用 DFBR 场模型作为描述图象区域的数学模型， H 参数能够表征同一图象区域的自相似性(即灰度表面的均匀程度) ，对应的 图象区域灰度表面的分形维数D可由H参数获得：D = D +1 HT式中D为图象区域的拓扑维数，D = 2。TT H 参数的定义设图象区域的灰度表面满足 DFBR 场模型， I(x ,y )表示图象中 (x , y ) 0 0 0 0 处的灰度值，由 DFBR 场模型的性质得：式中，

14、Ex0,y01,y1)-I(x0,y03(x - %)2 + (y - y0)2 ； 1两边取对数得：H(Y) - logEAI(Y) logEAI(1)(3 3)log(Y).由DFBR场模型的定义及性质知，DFBR场为平稳过程，满足均值历经性，则有：=丄Eai(丫)二 EAI(丫)N Y 丫 1式中N为到点(x , y )之间距离为丫的象素点数。上式可改写为：Y00H ( ) =log 丄工 11 (x, y) -1 (x , y )1 N00Y 丫11log 矿工 11(x, y) -1(x , y )|汀og(Y )(3.4)N00Y Y=13.2 多重分形的有关概念及性质3.2.1概

15、念多重分形9研究物理量或其它量在几何支集上的分布。 支集既可以是通常的规则集，如平面、球面、几何实体等，也可以是分形集。多重分形的概念也可以用具有不同标度指数的分形子集表示。多重分形 为分形理论在物理系统中的应用开辟了新的研究领域， 而且正在蓬勃发展。本节我们将论述多重分形的基本概念。定义3.4 10定义在一个紧支集Q上的测度u称为是多重分形，如果对任意x eQ，存在a (x)，使得卩(B (x) g ra(r 较小)(3.5)r这里卩(B (x)是中心位于x，半径为r的球，a (x)称为Q在x的局部Holder指 r数。令E = x: x e Q且a(x) =a.a我们可定义谱f (a )二

16、 FD(E ).(3.6)a由以上定义知,测度卩的谱(a , f (a)给出了一个集合的局部(a )与整体 (f (a)的描述。a刻画了测度的奇异性，因此亦称作奇异性指数或局部分形指 数.多重分形奇异谱f (a)表征了奇异值a所在集合的差别，反映了 a在某个子 集上出现的次数。a-f (a)谱是描述多重分形的一套基本语言.定义3511令C 是与测度卩的支集相交的N只个5网格坐标立方i 1i 0部分单调递增，在q 0部分单调递减。 极限：在参数q T 时，广义维数D和奇异性指数a(q)有相同的极 q限；质量指数T (q)趋向无穷，且分别与qa和qa同阶；奇异谱函数f (a)的 min max极限

17、则显示了最大和最小测度分布的相对比例。这里我们给出了一副纹理图象的a - f (a)与q D曲线。q原图3.3 多重分形图象分析由前面的定义( 3.4)和(3.5) ,我们知道多重分形理论是建立在事先已定 义好的测度上，这些测度是最有代表性的，以便运用它们来进行象直线、角点、 阶跃边等奇异性的提取。可以肯定通过选择合适的测度，我们可以达到不同的 目的，如能使我们检测到不同的奇异性，并进一步区分它们。 而且这种测度对 噪音不太敏感。下面我们给出文献 1014 中定义的几种测度。定义36如果Q*是灰度为非零的区域0的一个子集合，I(X) (X = (x, y)是 点X处的灰度，则定义如下的几种测度

18、：(3.10)(3.11)612)(3.13)卩(Q*) = EI(X)H(0*) = MaxI(X)max让0*H (0*) = MinI(X)miniw0*H =(乙I ( X ) q )1/qLqiw0*331图象的Holder 指表示由多重分形理论知Holder指数a是图象中象素(x,y)的函数：a =a(x,y)。 自然地我们可以根据前面所定义的测度计算每个象素的Holder指数，然后就 能得到图象的Holder指数表示。对前面所定义的不同测度，我们得到图象不 同的Holder指数表示，这样就可在不同的场合下使用。这里我们针对不同的测度，给出了 “Lenna图象的如下几幅Holder

19、指数 表示。由前面的定义知，对每个象素，我们首先得到中心位于这个象素处的一 系列不同半径的领域测度， 然后有最小二乘法拟合数据点对， 由拟合直线的斜 率即可求出每点的a (x, y)。在本实验中所取的半径分别为：1, “ , 2，尹，2；2 , 3 , v 10。a)Lenna 原图(b) 基于公式( 3.10)的 测度(c) 基于公式( 3.11)的 测度彳“呂竝 i 订 II.Ji.lr札(e) 基于公式( 3.13)的 测度(d) 基于公式( 3.12)的 测度q=2图13.3.2 图象的多重分形维数分布表示对于公式（3.7）所定义的广义维数，它给我们的一个直觉是当q比较大 时，D对测度

20、非常稠密的部分敏感，而当q较小（甚至是负数）时，我们可得到 q稀疏区域的信息 ，由此得到图象分析的多重分形维数分布。文献6已表明，通过计算图象中每个象素的分形维数值能得到图象的分 形维数分布。而每个象素的分形维数值由计算中心位于这个象素的邻域 （大小 为7x7 ）分形维数得到。我们把这一方法推广到计算多重分形维数情况，因 此对某一个q值，通过计算图象中每个象素的D值，同样能得到图象的多重 q分形维数分布，而多重分形维数分布图比原图更适合用来进行如“边缘检测” 等一些随后过程的处理。对不同的测度，不同的q值，我们给出的“Leaf”图的多重分形维数分布 图如下。(a) Leaf 原图(b)基于公式(3.10 )的 测度(q = 3)(C)基于公式(3.11 )的 测度(q = 3)(d) 基于公式( 3.12)的 测度(e) 基于公式( 3.13)的 测度q=3q=3(f) 基于公式( 3.10)的 测度(g) 基于公式( 3.11)的 测度q=-1q=-1(h) 基于公式( 3.12)的 测度(i) 基于公式( 3.13)的 测度q=-1q=-4图2