北师大的群论

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1、第四章 点群及其应用复习：4.1 点 群点群描写系统的宏观对称性； 平移对称操作与微观对称性、空间群。能带。正当转动点群及其非任意性（除球之外）极点、极点星（m, v ）除单位元外，群的极点数满足A工匕(叫-l) = 2(g-1)Z=11 11即 1 X -（ + _ + +） 2m mm12九得到A = 2或3组：两个极点星（n, 1）、（n, 1）； Cn群 三个极点星（2, n）、（2, n）、（n, 2）； Dn群（ 2 , 6）、（ 3 , 4）、（ 3 , 4）； T 群（2, 12）、（3, 8）、（4, 6）； O群（2, 30）、（3, 20）、（5, 12）； P群 第一类

2、点群（正当转动点群） , 11 个， 第二类点群（含有非正当转动点群）, 21个 晶体点群共有32个。准晶体,包含5度对称轴的点群； 新增加了5个晶系、 28个准晶点群。4.2 晶体点群的对称操作及对称元素 晶体点群的对称操作：4种8个（1） c ,（5个）n（2）镜面反射（镜面反映）CT（3）中心反演 I（ 4）旋转反射（旋转反映） s （只有 s 独立n4对称操作之间的关系：（ 1 ）同轴的两个转动（2）两个镜面的连续操作转动（转角却）（3）（镜面）（转动 ）镜面（夹角号）（4） C CC（转巾2 ,转轴）w丄匚z/ 2v 2uw5）可对易的对称操作对称元素在对称操作下，不动的点、线（转轴

3、）、面（ 1 ）对称元素之间的关系：n两镜面（夹角万）之间的交线，必为一转轴;（镜面）+ （n度转轴）一共n个镜面；71两个2度轴（万）一垂直的n度轴；2度轴+与之垂直的n度轴一共n个2度轴。（ 2 ）某些特殊的对称元素主轴等价轴、等价面 双向轴（定义，两个判定）（ 3 ）图示对称元素的方法（群的图示） 极射投影图（无主轴） 作业：1. 习题4. 12. 图示上述6对可对易的对称操作。3. 习题4. 34.3 晶体点群4.3.1 32个晶体点群附： 可能的正多面体，只有 5 种：面心立方晶体的布里渊区（形状为截角八面体）体心立方晶体的布里渊区体心立方晶体布里渊区的形状名称？ 正十二面体？不是！

4、 形状称为菱形十二面体、或菱十二面体。体心立方晶体的布里渊区，形状被称为正十二面体的有：1 黄昆.固体物理学.人教,1979.2 黄昆,韩汝琦.固体物理学.高教,19883 李冠告. 晶体结构几何学基础. 南开大学出版社,2000.110.正确的有：1 方俊鑫，陆栋. 固体物理学（上册） 上海科学技术出版社，1980. 235.2 顾秉林,王喜坤.固体物理学. 清华大学出版社,1989. 6263.4.3.2 32 个点群的符号及所属晶系 点群的符号：熊夫利符号国际符号晶系：七类对称性、七种单胞坐标系4.4 点群的特征标表 阿贝尔群的特征标表 有 16 个点群是阿贝尔群Cn、Cnh、S2m、C

5、2V、D2、D2h 阿贝尔群：c = g,所有 g 个不可约表示都是 1 维的。 每个不可约表示是一组数； 这组数也就是该表示的特征标系 其中循环群有 9 个：Cn、C1h、S2mRg = E.n 1h 2m不仅c = g,而且群元的阶=g,对于循环群群元的阶=g，第l个不可约表示为人i2 lA = eg.2n. _2k即 A = e g、A2 = e g、E = Ag = 1人 溼2人i2兰2口 人 1A = e g 、 A2 = e g 、E = Ag = 1.2 兀.22kA = e 、A2 = e g *、E = Ag = 1 例如：（1）C2=c2, E群：A二e中即 c = e 丐

6、=-1、E = e吕=12:2兀 2 v.22兀 2c = el 22 = 1、E = e%2 = 12(2) C4=c4, c42, c43, E群：A = e中.2兀2兀22兀c = eT = i、c2 二 el2 = _1、c3 = e3_f =_j、E = e4T = 1444.2兀2 2兀 22_.2兀c = el 42 = -1、c2 = el2 4 2 = 1、C3 = el3 4 2 = -1、E = el4丁2 = 1 444c ei2 3 i、厂2 = pi2手3 =1 、i32兀 3.、 e ei431c = e 4 =i、c2 = e 4 =1、c3 = e 3 4 3

7、 = i、E = e 4 = 1 444c = eiT4 = 1、c2 = ei2 4 4 = 1、c3 = ei3丁4 = 1、E = ei4 4 4 = 1 444满足矩阵元的正交归一、完全性关系；满足特征标的正交归一、完全性关系。对于一般的阿贝尔群各群元的阶都是一个有限的整数，记为 h2兀即Ah = 1, A = elhl （注意 h g = r ）利用特征标的正交归一、完全性关系，适当 地排列各群元的这些 h 个数。例如：C2h=E, c2,（rh, I 各群元的阶都是 2，特征标均为 1 或 -1。 按照特征标的正交归一、完全性关系，得到21hr1 1 -1 -11 -1 -1 11

8、 -1 1 -1点群的特征标表1、记号说明：一维：A （主轴转动的z = 1 ）和B二维： E 三维： T下脚标g （反演对称）和u （反演反对称）例如： C2h2、基函数的变换性质例如： C2h、C2V3、时间反演对称性及其简并例如： C44.5 双点群对于点群G = 厂A,R,（称为单群） 对应的双点群为GD= E ,A,，R,，EE, E A,，E R, = E ,A,，R,，e , A，,R，（略）4.6 晶体的宏观性质与晶体的对称性 晶体的宏观性质，一般用张量表示。有： 零阶、一阶、二阶、三阶张量、等。一阶张量与矢量： 一阶张量都是（真）矢量，具有性质Ir = - r ,ip = -

9、 P矢量有真假之分，分别称为（真）矢量与赝矢量或 极矢量与轴矢量 电偶极矩是极矢量；磁矩，是轴矢量。轴矢量（赝矢量）不是一阶张量； 轴矢量（赝矢量）的一个特征是在中心反演 下保持不变，例如：IM = M还有（M =Mz）： b M = M， b M - - M，等0hv不是一阶张量的（赝）矢量，常见的有角速度打、旋转角t、轨道角动量L = rxp、 磁矩M等。二阶张量：b、咒、*、m *等；三阶张量：霍尔系数RH、压电系数等;H四阶张量：弹性模量等0 非线性光学以及电介质物理中、 、 、 、 、 、 、P = 咒E + 咒：EE + 咒EEE + 0 0 0 线性极化率即一阶极化率是一个二阶张

10、量， 二阶极化率是一个三阶张量， 三阶极化率是一个四阶张量，有 34=81 个分 量 卑.,O一阶张量与晶体的对称性以电偶极矩为例0在正当转动作用下P = D(R)P，PD(R) Pi ij j如果晶体的对称性群为G, R E G，则 P = P，或 P = D(R)PP = (P , P , P )构成群 G 的恒等表示的基。xyzP = (P , P , P )矢量中独立分量的个数，与 xyzD(R)三 Dp (R)包含的恒等表示数一样p (R)-1例 1：G = C31 0 0、D (E) = 0 1 0 , D (c )=3z1 0 1丿220、0、丿丿r_ 1住0、2_ 221J31

11、丿0丿丿, D(c 2 ) =_ V- 023z22丿01 丿丿00 1 丿丿丿1丿1包含的恒等表示数a = a =1 工 x p (R) -1 = 1 (3 + 0 + 0) = 11 P 33R表明具有c3对称性的晶体，极化强度P只能 沿着 z 方向。同样的分析，得到具有 C3 对称性的晶体 磁化强度M也只能沿着z方向。例 2 ： G = C3V(1)极化强度P厂1D(b ) = 0V10(_ 1_V30r_ 1空000、2丁_ 22J3-1J3110, D(c ) =V0, D(c 2 ) =_ 03z丁23zT201丿001001k丿k丿厂1D (E) = 0,0(10、0 , D (

12、b )=V1丿12T1202120D(b ) =V2込20其中xP(b ) = 1，有V11a =J x p (R)-1 = _ (3 + 2 x 0 + 3 x 1) = 1 P 6 6R(2)磁化强度M0 /1、02209 f,、1D(b ) =0_1丿V22丿00_1k丿-1 0D(b ) =01V(0 0r 1旦0 22, D (b ) =-1 0V20 _ 1k丿r_ 1_J30匚1住00、2222J31J310, D(c ) =0, D(c 2 ) =_ V- 03zT23z221丿001001k丿k丿1 0D (E) = 0 1 卫0其中X M (b ) = -1，有V 11a

13、=_x m(R)-1 = _3 + 2x0 + 3x( 1) = 0 M 63R一般Cn、n可见：具有c3V对称性的晶体 可以是铁电的，但不可能是铁磁的。C、c V,可以是铁电的；VC、C2h、c3h、S4、S6，可以是铁磁的。i 2h 3h 462h例 3：铁电或铁磁晶体是否可以具有 C 2 对称 性？C 群元及其坐标变换矩阵2h/1 0 0、J1 00、0 1 0，D (I)=0 -1 00 0 -1 丿0 0-1 丿2z0-100、01丿D (b )=xy-1D(C ) =010/1 0 0、D (E) = 010,0 0 1 丿得到C群的群元 对于r空间坐标的三维表 2h示的特征标为x

14、 (E) = 3， x (c ) = -1，/ (b ) = 1， x (I) = 3。2 zxyii对于铁电晶体，电偶极矩P = E er，矢量p各 分量与上述三维表示的基函数相同(差一个 比例系数)。如果这个表示中包含一个或几 个恒等表示，相应的P分量将在C群元作用 下不变；则沿着该方向极化的铁电体就具有 C 对称性。下面根据约化系数公式2h1a = y Xj(R)*X(R)(2.6-6)jg R计算上述三维表示中包含的恒等表示的数 目：aA1y X A (R)* X (R)g R1= _1x 3 + 1x (-1) + 1x 1 + 1x (3)二 0 4即上述三维表示中不包含恒等表示，

15、在 C2 h 群元作用下，电偶极矩矢量P的各个分量不可能保持不变，所以，铁电晶体不可能具有C 对称性。2h对于铁磁晶体，磁矩M在c群元作用下，有2hEM = M ， c M 二 M，z z2 z z zb M = M， IM = c b M = Mxy z z z 2 z xy z z即磁矩M在C群元作用下保持不变，所以， z2h铁磁晶体可以具有c对称性。2h具体的变换矩阵为f-1 0 0、f 1 0 0、0 1 0,Dm (I)=0 1 0,o 0 1 丿,0 0 1 丿Dm (b)=xy/1 0Dm (E) = 01f 0f-1Dm (c ) =0 02z包含的恒等表示的数目：1a =_丫

16、 咒(R)*Xm(R) A g R=41 x 3 +1 x (-1) +1 x (-1) +1 x 3 = 1二阶张量以电导率张量为例。j E在对称操作作用下j二 Rj， E = RE，且 j = & E 由于 j = R-1 j = bE = oR-1E, 即j = Rb R-1E所以，电导率的变换为b = RbR-1 = RbR (正交变换)电导率分量的变换为bD(R)bD(R)pvpp p Vv V=工 D (R) D (R)呼 卩Vw卩V电导率张量的元 形成直积表示p VD (R) = D( R) D (R)的基。直积表示的特征标沪(R) = X (R) x% (R)=咒(R )2如果

17、晶体的对称性群为G, R e G，贝I = RcR-i用表示矩阵写为 = D( R) D( R)该直积表示必须是一个恒等表示；电导率张量的 9个元中的独立元的数目，由该式确定。具体计算该直积表示中，包含恒等表示的数 目，确定独立元的数目。例如：G = C2h 坐标变换矩阵-1 00、D (c ) = 0-1 02z0 0 1丿/1 0 0、D (E) = 0 1 0I0 0 1 丿/1 0 0、J1 00、0 1 0,D (I)=0 -1 0,0 0 -1,0 0 -1 丿D ()=xy三维表示的特征标为x (E) = 3， x (c ) = -1，2z直积表示的特征标为x (E) = 9，

18、x (c ) = 1， 2zX(Q ) = 1，xyX() = 1，xy(I) = 一3 ；则电导率张量中独立元的数目1a 二X(R)*X(R)OgR1二1 x9 +1 x 1 +1 x 1 +1 x9二54下面通过 C2h 的各群元，具体分析电导率张2h量中各元的变换性质。电导率张量9xxOyx1zxOxyOyyOzyO )xzOyz丿zz各元变换性质，与下脚标的坐标变换相同。在 C2h 各群元作用下，不变；有2hroo0 xxxyoo0yxyy(00 o 丿zz只有 5 个独立分量；与特征标的分析一致。电导率张量的进一步分析：oooxxxyxzoooyxyyyzooo1)zxzyzz若系统

19、具有c2z对称性，就有oo0 xxxyoo0yxyy(00 o 丿2)zz若o是对称张量，即oxv=oyx,xyyx3)则o张量只有4个独立分量；若平面 yz 或 xz 是对称镜面，则o 00 xx0 o 0yy(00 o 丿4)zz若G = Td或0h，则o退化为标量。dhc =c0(5)若 G = D，则6d(c丄0l0(1 0 0、0 1 0l0 0 1J(习题 14)0c丄00、0C丿zz介电常数张量、有效质量张量等具有这方面相同的性质。实验上：六角晶体具有双折射现象，立方晶体是光学各向同性的。对于六角晶体，电导率张量常写作(c/0l0介电常数张量为(8/0l 0三阶张量0c丄008丄

20、00、0C丄丿0、08丄丿二阶极化率张量P=8 X：EE、0霍耳系数E = R j B、这里R = (R )y H x z H H yzx 压电常数张量，等。与二阶张量相同：张量元的变换性质与下脚标的坐标变换相同。由对称群的群元，分析张量元(零元)与群元之间的关系。四阶张量 三阶极化率张量P=8 X；EEE、0弹性系数tj二C.e , 等。ijijmn mnm,n=Cxzxz弹性系数：CCxzxz(-x)z(-x)z如果系统具有c2对称性，c2TC=_C_(x)(- y)(- x) zxyxz2z 该张量元是一个独立的非零元又Cxyxz如果系统具有 c2z 对称性，有2zC =C= -C =0

21、xyxz(-x)(- y)(-x)zxyxz则 C =C=0，记作 C = 0xyxz(-x)(- y)(-x)z1213这些性质，与下脚标的坐标变换性质相同。记三阶极化率四阶张量元为 ，有 81 个： ijmn（1）三斜晶系：有 81 个独立的非零元素；（2）正方晶系C4：有41个非零元素，其中21个是独立的; 其中（下脚标）xxxx = yyyy（c4）zzxx = zzyy另外 zxxx = zyyy， zyyy = -zxxx， 得到零元zxxx = zyyy = 0.D4h、D4： 21 个非零元，其中 11 个是独立的. 4h 4（3）立方晶系：21 个非零元素，其中 7 个是独立

22、的：xxxx = yyyy = zzzz yyzz = zzxx = xxyy zzyy = xxzz = yyxx yzyz = zxzx = xyxy zyzy = xzxz = yxyx yzzy = zxxz = xyyx zyyz = xzzx = yxxy作业：1习题 142证明C3h对称性的晶体不可能是铁电的，3h但可以是铁磁的。4.7 分子的振动谱及简正模（简化）一个分子，对称性群记为G .例如：h2o（c2V）, nh3（c3V） 分子的振动自由度有 3N-6 个（或 3N-5 个）。4.7.1 分子振动的一般理论 振动方程的建立分子的势能V二V +1送工0 2k ,k =1

23、 a, P=1简谐近似d 2Vdu (k)Qu (k)a卩u (k)ua卩0(k) + V = V +1送工0 2k, k=1 a,卩=1d 2Vdu (k)du (k)a卩u (k)u (k)a卩0=V (12 ,k，N) +02ap a卩k, k=1 a, p =1V (1,2,k，,N)具有分子对称群G的对称性。 0定义约化位移W (k) = ,mu (k)， ( p (k) = W (k)av k aaa力矩阵或称动力矩阵皿5分子的哈密顿H 1ZS p 2( k) + 1ZS D(kk) W (k )W (k ) ( 4.7-5 ) 2a 2aB a Bk ak,k a,B得到运动方程

24、穴(k) -ZZ D(kk) W (k)( 4.7-7 )aaB Bk B设解的形式为W (k) C e (k)exp(i3t + 8 )aj aje (k)是单位本征向量巨(k)的a分量，j 1,2,.,3N。a代入运动方程，得到w 2e (k) ZZ D(kk) e (k)aaB Bk B这是力矩阵的本征值方程。3N个解 2称为 力矩阵D(kk)的本征值，对应的本征矢记为 e (k | j) 。ae (k)有非零解的条件aD(kk)-w28 8 0a卩kk a卩称为晶格振动的动力学方程。 简正坐标 目的：哈密顿量解耦, 写为简正模之和。 定义简正坐标(集体坐标)q =EE e (k I j

25、)W (k)(4.7-13)jaak a代入哈密顿(4.7-5)，得到D(kk) fe (k I j)qa0 ajH = 1 m e 2(k I j) p 2 +1 n2a j 2k a jk ,k a, 0哈密顿量写为H = 1 男 p 2 +1 迅 3 2 q 22 j 2 j jj=1j=1f N (11)=(2 p2 + 2 3 鴛) j=1=f3NHjj 工 e0 伙j) qj j4.7-15)得到利用拉格朗日方程或正则方程 第 j 个振子的运动方程q 二j-3 2 qjj解为q = q0 cos(3 t +0 )称为分子振动的一个简正模( q ,3)jj4.7.2 力矩阵的块状对角

26、化确定简正模频率 3 ，需要求解晶格振动力矩阵的动力学方程D(kk)-w28 5= 0a卩kk a卩方法：力矩阵块状对角化。分子的对称性群为G,群兀R使分子中同类 原子的平衡位矢相互变换r o = Rr o(4.7-29)jk第 k 个原子的位移及其约化位移u = (x , y , z )三(u, u , u )kk k k3k -2 3k -1 3kW = mu 三(W , w , w)k 弋 k k3k - 2 3k-1 3k对称变换u = Ru， W = RWjkjk分量形式( s =1,2,3 )D(R) u矩阵形式u3 j3+sst 3k3+1W3 j - 3+st=1=工 D (R

27、) Wst3k3+1(, 、u3 j2u3 j 1uI 3 j丿(RR1112RR2122IRR3132R13R23R33u 、3k2 丿u3k1 丿八u丿3k(W)3 j2W3 j1Wl3j 丿例如：水分子，点群 C2V=E(RiiR21l R31，C2zR12R22 R32R Y13R23R丿l33W )3k2 丿W3k1W3 丿丿3k, c 12(1o0 )D(c ) =0102zloo1丿丿u c u ， u 22 z 1(-1010(-100(-100(-100(x )1y1丿I z1丿(x )2y20、010、010 01(X)I2 即 IIy2z 2 丿(X)I10-100-10

28、0-10)1U20丫 u01八U丿(u)IIu4I5IU6丿(U)IIu1 U3(u )17Iu18IU 9 丿(-1010(-1000-100-103)4UI 5人U6丿(U )17 IU18 人U9丿即y 1Iz 丿 (X)3即I y丿人Z 2丿(X )3y3丿匕3丿将位移u写为3NX1的矢量，上式写成) 丿1 2 3 4 5 6 7 8 9UUUUUUUUU000-1000000000010000000-100001-10000000000100000010-100000001000000-10010000000-100 000000011234567 UUUUUUU (IIIIIIII

29、89UIk位移表示上面水分子的 9X 9 矩阵，就是位移表示的 例子（群元 c 的位移表示）。2z一般地：将位移u和约化位移W写为3NX1的矢量，上式可写成u = Ddisp(R)u，W = Dd i(RWu1 u2 u3u3 j2u3 j-1u3j(000000000RRR111213RRR212223RRR313233u2u3u3k-2u3k-1u3ku 丿3N定义一个NXN的置换矩阵1 r = Rr P( R) = j kjk 0 others则Ddisp (R) = P(R) D(R)例如：水分子，点群C2V=E,c2z，。十。2(-1 0 0)D(c ) =0 102 2 0 0 1

30、 丿置换矩阵P(R) =11 r :代，即jk 0 others(0 1 0)P(c )二1 0 02z1。0 1 丿位移表示矩阵000100000 厂 J-丿000001000000100011000000000100000101000000100000010100000001123456 uuuuuu789uuJDdisp(c ) = P(c) D(c)2 z2z2 z位移表示的特征标x disp(R) = trP(R)trD(R)u(R)(1 + 2 cos e)|-u (R )(1 + 2cos e)if det D (R) = 1if det D (R) = -1例如：水分子的群元

31、c2z2z(0P(c ) = 1102z点群 C2V=E C2z，。厂 2兀,，有u(c ) = 1，所以2zx disp (c ) = u(R)(1 + 2cos 兀)二 1 x ( 1) = 1 2z下面利用位移表示及其约化的结果，定性分 析晶格振动谱和振动简正模的振动图象。(1) 位移表示中的分子振动特征标 在群元R的位移表示特征标disp(R)中： 平移的贡献为咒平移(R) = (1 + 2cos 0)分子整体转动的贡献为咒转动(R) = (1 + 2cos 0)则在Xdisp(R)修正中，应减去对于正当转动X平移(R) + X转动(R) = 2(1 + 2c 00s对于非正当转动X平

32、移(R) + X转动(R) = 0得到Xdisp(R)修正之后的分子振动特征标u (R) - 2(1 + 2 cos 0) if det D(R) = 1x扼幼(R) _ - u(r)(1 + 2 cos0)if det D(R) = -1(2) 分子振动的约化 H2O分子对称群 C2V=E、c2z、。yz、。xz 特征标系为3， 1， 3， 1约化为D振动=2 D1D 3h2o分子振动的简正模包含有两个1维不可 约表示： A1 (出现2次)、B1；得到晶格振动的本征值有3个jW 、 W 、 w123其中2个简正模q和q，按DI(A1 )基函数变换，1 2 11个简正模q，按D3(B1 )基函

33、数变换。31(3) H2o 分子简正模的振动图象3 个简正模的简正坐标分别记作q AAB11 ， q 21， 31 下面用投影算符分别分析上述三个简正坐 标在直角坐标系中的分量。 特征标投影算符Pi = J_ E X g ReGi(R)*PRPA1+ P )Oxz=1( P + P + P4 E c 2 zoyz1PB1 =_ (P - P + P - P )4 Ec 2 zcyzoxz首先分析不可约表示A基函数: ( 1 )有没有 x 方向的运动1Pax =_ (Px + P x + P x + P x )4 E 1 c 2 z 1oyz 11_(x 一x 一x + x )=04 1 2 1

34、 21_(P x + P x + P x4 E 2c 2 z2Gyz21儿 /八八八八、/(x x x + x ) = 04 2 1 2 11_(P x + P x + P x4 E 3 c 2 z 3Gyz 31(x 一 x 一 x + x)=043333H2 O 分子中各原子，没有 x 方向的运动2GXz 1Pa, x12Pa, x132)有没有 y 方向的运动1PA, y = (Py + p y + p y14 E 1-1丄 /八八八八、=(y - y + y - y )4 1 2 11=_( y 一 y)2 11Pa, y = (py + p24 E 21=,y -y)1Pa, y =

35、 J Py4 E 3c 2 z 1oyz 1y +P yc 2 z 2oyz 2+ P x )GXz 2+ P x )GXz 3+ P $ )GXz 1+p y)GXz2+ p y + p y + p y )c 2 z 3oyz 3Qxz 31儿 /八八八八 ZA=4(y3 - y3 + y3 - y3)= 0H2O分子中两个H原子，在y方向相向运动,位移大小相同、方向相反；H2O 分子中 O 原子，没有 y 方向的运动。(3) 有没有 z 方向的运动1PAiz =_(P z + P z + P z + P z )1 4 E 1 c 2 z 1 oyz 1 cxz 11丄 /八八八八 =(z

36、+ z + z + z )4 1 2 1 21=冇(z + z )2 1 21PA1 z =(pz + P z + P z + P z )2 4 E 2 c 2 z 2 cyz 2 cxz 21=右(z + z )2 2 11PA1 z =_(pz + p z + p z + p z ) = z3 4 E 3 c 2 z 3 Gyz 3 cxz 3 3H2O 分子中两个 H 原子，在 z 方向同向运动、且位移大小相等H2O 分子中 O 原子，在 z 方向也有运动； 为了保持分子质心不动， H 与 O 原子应相向 运动，且位移的相对大小满足2m(1 + 1)m + amHO=0，即a二旦mO得到

37、两个按照不可约表示 A1 变换的简正模 的简正坐标为q1A12mH Zm 3O2m八八八八Q八=y + y + z + z -h z1212 m 3O同理可以分析按照不可约表示 B1 变换的简 正模的运动图象：H2O 分子中 O 原子，在X方向没有运动，PB1X = 0 ,3在y方向有运动，pbiy = y，33在z方向没有运动，PB1Z = 0 ；3H2O 分子中两个 H 原子，在x方向没有运动，Pb1 X = 0,1在 y 方向同向运动，1PB1 y1 = 2( y1 + y 2)，在Z方向相向运动，p听=扣厂Z2）；考虑保持分子质心不动，得到按照不可约表 示 B1 变换的简正模的简正坐标为/X/X二 丁 y 2 -2mh y + z zm 3i2O作业 3： H2O 分子的对称群为C2V=E、c2z、yz 、xz ，(1)在三维坐标空间写出各群元的矩阵；( 2 )分析写出各群元的置换矩阵；(3) 构造H2O分子C2V群的位移表示，写出该可约表示的特征标系；( 4)去除平移和分子整体转动在位移表示 特征标中的贡献，给出振动的特征标系；然 后约化，给出简正模的分类；(5)由投影算符分析按照不可约表示 B1 变 换的简正模的运动图象，写出简正坐标。