概率论与数理统计ch基本概念

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1、3:52:21概率论概率论数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙.培根培根3:52:22概率论概率论概率论与数理统计概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，性的一门学科，是重要的一个数学分支。是重要的一个数学分支。在生活当中，经常会接触到在生活当中，经常会接触到一一些些现象现象：确定性现象：确定性现象：在大量重复实验中其结果又具有在大量重复实验中其结果又具有统计规律性统计规律性的现象。的现象。随机现象：随机现象：在一定条件下必然发生的现象。在一定条件下必然发生的现象。在个别实验中其结果呈现出在个别实验中其结果呈现出不确定性不确定性；概率论与数

2、理统计概率论与数理统计 在在经济、科技、教育、管理和经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。军事等方面已得到广泛应用。3:52:22概率论概率论一一 随随 机机 试试 验验二二 事件间的关系与运算事件间的关系与运算三三 频频 率率 与与 概概 率率 1 随随 机机 事事 件件 的的 概率概率3:52:22概率论概率论E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H、反面、反面T出现的情况。出现的情况。这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。其典型的例子有：其典型的

3、例子有：1)随机试验随机试验一一、随随 机机 试试 验验E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。：抛一颗骰子，观察出现的点数。3:52:22概率论概率论这些试验具有以下特点：这些试验具有以下特点：进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。验的所有可能结果。E4：观察某一电子元件的寿命。：观察某一电子元件的寿命。E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。：观察某地区一昼夜的最

4、低温度和最高温度。可以在相同的条件下重复进行；可以在相同的条件下重复进行；称具备上面三个特点的试验为随机试验。称具备上面三个特点的试验为随机试验。3:52:22概率论概率论 2)样本空间样本空间定义定义将随机试验将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合称为称为 E 的的样本空间样本空间，记为记为 S。样本空间的。样本空间的元素，即元素，即 E 的每个结果，称为的每个结果，称为样本点样本点。S1:H,T S2:1,2,3,4,5,6 S3:0,1,2,3S4:t|t 0 S5:(x,y)|T 0 x,y T1 要求：会写出随机试验的要求：会写出随机试验的 样本空间。样本空

5、间。3:52:22概率论概率论随机事件随机事件:称试验称试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集为的子集为 E 的的随机事件，记作随机事件，记作 A,B,C 等等；等等；基本事件：由一个样本点组成的单点集；基本事件：由一个样本点组成的单点集；必然事件必然事件:样本空间样本空间 S 本身；本身；不可能事件：不可能事件：空集空集。3)随随 机机 事事 件件我们称一个我们称一个随机事件发生随机事件发生当且仅当当且仅当它所包它所包含的一个样本点含的一个样本点在试验中在试验中出现。出现。3:52:22概率论概率论例如：例如：S2 中中事件事件 A=2,4,6 表示表示“出现偶数点出现偶数点”;事件事件

6、 B=1,2,3,4 表示表示“出现的点数不超过出现的点数不超过4”.3:52:22概率论概率论1)包含关系包含关系 二二、事件间的关系与运算事件间的关系与运算SABBA 如果如果A发生必导致发生必导致B发生，则发生，则BA.,ABBABA 且且2）相等关系）相等关系 3:52:22概率论概率论SAB3)和（并）事件和（并）事件 BA事件事件 发生当且仅当发生当且仅当 BAA,B 至少发生一个至少发生一个.4)积（交）事件积（交）事件ABBA SAB事件事件 发生当且仅当发生当且仅当 A,B 同时发生同时发生.BA3:52:23概率论概率论 5)差事件差事件BA SABBAASBA ABBA

7、发生当且仅当发生当且仅当 A 发生发生 B 不发生不发生.BAABA 3:52:23概率论概率论6)互不相容（互斥）互不相容（互斥）BA7)对立事件对立事件（逆事件）（逆事件）SBABA SAAB SBA请注意互不相容与对立事件的区别！请注意互不相容与对立事件的区别！3:52:23概率论概率论例如，例如，在在S4 中中事件事件 A=t|t 1000 表示表示“产品是次品产品是次品”事件事件 B=t|t 1000 表示表示“产品是合格品产品是合格品”事件事件 C=t|t 1500 表示表示“产品是一级品产品是一级品”则则BA与与CA与与CB 表示表示“产品是合格品但不是一级品产品是合格品但不是一

8、级品”;BCCB 表示表示“产品是是一级品产品是是一级品”;表示表示“产品是合格品产品是合格品”.是是互互为为对对立立事事件件；是是互互不不相相容容事事件件；3:52:23概率论概率论8)随机事件的运算规律随机事件的运算规律幂等律幂等律:AAAAAA ,交换律交换律:ABBAABBA ,结合律结合律:CBACBA 分配律分配律:CABACBA De MorganDe Morgan（德摩根）定律（德摩根）定律:,iiiiAA CBACBA iiiiAA CABACBA 3:52:23概率论概率论练习：练习：设设 A,B,C 为三个随机事件，用为三个随机事件，用A,B,C 的运的运 算关系表示下列

9、各事件算关系表示下列各事件.（1）A 发生发生.AABC CBACAB.CBA(2)A 发生，发生，B 与与 C 都不发生都不发生.CBA(3)A,B,C 都发生都发生.ABC(4)A，B,C 至少有一个发生至少有一个发生.CBA3:52:23概率论概率论(5)A，B,C 都不发生都不发生.CBA(6)A，B,C 不多于一个发生不多于一个发生.CBA(7)A，B,C 不多于两个发生不多于两个发生.CBA.CBA(8)A，B,C 至少有两个发生至少有两个发生.BCACBACAB.BCACAB.CBACBACBACBACBACBABCACBACABABC3:52:23概率论概率论三三、频频 率率

10、与与 概概 率率1）频率的定义和性质频率的定义和性质 定义定义:在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验，在这在这 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为称为 事件事件 A 发生的频数。比值发生的频数。比值 n A /n 称为事件称为事件 A 发生的频率，并记成发生的频率，并记成 fn(A)。3:52:23概率论概率论)()()()(2121AfnAfnAfnAAAfkkn ;1)(2 Sfn则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件，若若kAAA,321 它具有下述性质它具有下述性质:;1)(01 Afn3:52:23概率论概率论2）频率的

11、稳定性频率的稳定性 实实 验验 者者 德德摩根摩根 蒲蒲 丰丰K 皮尔逊皮尔逊K 皮尔逊皮尔逊 n nH fn(H)2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.50053:52:23概率论概率论3）概率的定义概率的定义定义定义 设设 E 是随机试验，是随机试验，S 是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于 E 的每一个事件的每一个事件 A 赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为 P(A),称为事件称为事件 A 的概率，要求集合函数的概率，要求集合函数 P(.)满足满足下列条件下列条件：;1)(20 SP;0)(10 AP

12、)()()(2121APAPAAP则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若,3201AA3:52:23概率论概率论4）概率的性质与推广概率的性质与推广;0)(1 P性质性质则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若性性质质,221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn )()()()()(3APBPAPBPABPBA 性质性质SAB)(ABAB 3:52:23概率论概率论;)(1)(5APAP 性质性质;1)(4 AP性质性质。性性质质)()()()(6ABPBPAPBAP SABSAAB)(ABBABA 3:52:23概率论概率论)()()()()()()()(7AB

13、CPBCPACPABPCPBPAPCBAP 性性质质)()()(8ABPBPABP 性性质质SBAABBAB 3:52:24概率论概率论性质性质 9有有个事件个事件对任意对任意,21nAAAn niiAP1 niiAP1 njijiAAP1 nkjikjiAAAP1 nnAAAP2111 要求：熟练掌握概率的性质。要求：熟练掌握概率的性质。3:52:24概率论概率论1）加法原理：）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有种，第二类有m种，则完成这件事共有种，则完成这件事共有n+m种方法。种方法。3）排列：排列：(1)可重复排列可重复排列:在有放回选取

14、中，从在有放回选取中，从n个不同元素中取个不同元素中取r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。rn四、排列组合公式四、排列组合公式2）乘法原理：）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有nm种方法。种方法。3:52:24概率论概率论 4）组合：）组合：（1）从）从 n 个不同元素中取个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为虑其顺序，称为组合，其总数为（2）选排列：在无放回选取中，从）选排列

15、：在无放回选取中，从 n 个不同元素中个不同元素中取取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为个元素进行排列，称为选排列，其总数为 )1()1(rnnnArn)!(!)1()1(rnrnrrnnnCrn 说明说明：如果把如果把 n 个不同元素分成两组，一组个不同元素分成两组，一组r个，个，另一组另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有分法有 种。种。)!(!rnrn 3:52:24概率论概率论（2）常用组合公式：）常用组合公式：.2,0011nniinkiikminkmnknknknknnknCCCCCCCCC 说明：说明：熟练运用排列组合公式对求概

16、率问题是很重要的熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的3:52:24概率论概率论 等可能概型（古典概型）2 等可能概型等可能概型3:52:24概率论概率论 生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同。每个基本事件发生的可能性相同。一、一、等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）我们把这类实验称为我们把这类实验称为等可能概型等可能概型，又叫做，又叫做古典概型古典概型。退 出前一页后一页目 录3:52:24概率论概率论设设 S=e1,e2,en,由古典概型的等可能性，得由古

17、典概型的等可能性，得.21ne=PePeP又由于基本事件两两互不相容；所以又由于基本事件两两互不相容；所以,121nePePePSP .,2,1,1ninePi 若事件若事件 A 包含包含 k 个基本事件，即个基本事件，即 A=e1,e2,ek,则有则有：.)(中中基基本本事事件件总总数数包包含含的的基基本本事事件件数数SAnkAP 3:52:24概率论概率论 例例 1 把一套把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？解：解：将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一将书随机

18、地摆放在书架上，每一种放法就是一个基本事件，共有放法个基本事件，共有放法4！种。！种。把书恰好排成序有两种放法。把书恰好排成序有两种放法。所以，所求概率为所以，所求概率为0833.0!42 p3:52:24概率论概率论 例例 2 将将 n 只球随机的放入只球随机的放入 N(N n)个盒子中去，个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。设盒子的容量不限）。,种种放放法法nNNNN 解：解：将将 n 只球放入只球放入 N 个盒子中去个盒子中去,共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至多放一只球,共有共有,)1()1(种种放放法法nNAnNNN

19、.)1()1(nnNnNANnNNNp 故故思考：思考：某指定的某指定的n 个个盒子中各有一球的概率。盒子中各有一球的概率。退 出前一页后一页目 录3:52:24概率论概率论；4630.0 5635625ACBP 所所以以所所含含样样本本点点数数为为事事件件 B AP所所以以个个共共有有颗颗骰骰子子，所所有有可可能能结结果果同同时时掷掷565解：解：5656A，35625AC 例例3 同时掷同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：颗骰子，试求下列事件的概率：A=5 颗骰子不同点颗骰子不同点；B=5 颗骰子恰有颗骰子恰有 2 颗同点颗同点；C=5 颗骰子中有颗骰子中有 2 颗同点，另外颗同点，另

20、外 3 颗颗 同是另一个点数同是另一个点数3:52:24概率论概率论03858.0 562625ACCP 所所以以，所所含含样样本本点点数数为为事事件件 C，2625AC 退 出前一页后一页目 录3:52:24概率论概率论 例例4 设有设有 N 件产品，其中有件产品，其中有 M 件次品，今从中任件次品，今从中任取取 n 件，问其中恰有件，问其中恰有 k (k D)件次品件次品的概率是多少的概率是多少?种，种，nNC又又 在在 M 件次品中取件次品中取 k 件，所有可能的取法有件，所有可能的取法有 种，种，knMNC 在在 N-M 件正品中取件正品中取 n-k 件件,所有可能的取法有所有可能的取

21、法有种种，kMC 解：解：在在 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽样不放回抽样1）3:52:24概率论概率论于是所求的概率为：于是所求的概率为：nNknMNkMCCCp 此式即为此式即为超几何分布超几何分布的概率公式。的概率公式。由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有 种种，knMNkMCC 3:52:24概率论概率论2）有放回抽样有放回抽样而在而在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k 件次品的件次品的取法共有取法共有 于是所求的概率为：于是所求的概

22、率为：knkknMNMC )(从从 N 件产品中有放回地抽取件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，件产品进行排列，可能的排列数为可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事个，将每一排列看作基本事件，总数为件，总数为 。nNnNknkknnknkknNMNMCNMNMCP )1()()(此式即为此式即为二项分布二项分布的概率公式。的概率公式。3:52:24概率论概率论 例例 5 某厂家称一批数量为某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率件的产品的次品率为为5%。现从该批产品中有放回地抽取了。现从该批产品中有放回地抽取了30件，经件，经检验发现有次品检验发现有次品5件，问该厂家是否谎报了次品率？

23、件，问该厂家是否谎报了次品率？解：解：假设这批产品的次品率为假设这批产品的次品率为5%，那么，那么1000件产品件产品中有次品为中有次品为50件。这时有放回地抽取件。这时有放回地抽取30件，次品有件，次品有5件的概率为件的概率为255530)1000501()100050(Cp014.0 3:52:25概率论概率论人们在长期的实践中总结得到人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的在一次实验中几乎是不发生的”（称之为称之为实际推实际推断原理断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。

24、然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。3:52:25概率论概率论例例 6 将将 n个男生和个男生和m个女生个女生(mn)随机地排成一列随机地排成一列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？解：解：任意两个女生都不相邻时，任意两个女生都不相邻时，首先首先n个男生的排法有个男生的排法有n!种，种，每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队列两侧各有一个位置可以站女生，这样队列两侧各有一个位置可以站女生，这样m个女生个女生共有共有n+1个位置可以站，个位置可以站，所以，所以，任意两个女生都不相邻这一事件的概率为任意

25、两个女生都不相邻这一事件的概率为)!(!1mnCmnpmn n+m个学生随机地排成一列共有排法个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种种!1mCmn 总共排法有总共排法有 种。种。mmnmnCC 13:52:25概率论概率论种种排排法法（样样本本点点总总数数）成成一一列列共共有有个个球球中中将将球球取取出出依依次次排排从从)!(baba 解：解：设设 A=“第第 k 次取出的球是黑球次取出的球是黑球”所含样本点数为所含样本点数为种，因此事件种，因此事件次取出黑球，有取法次取出黑球，有取法第第)!1()!1(babAbabk无无关关注注意意：此此结结果果与与次次数数k 所以，所以，babbab

26、abAP )!()!1(例例 7 袋中有袋中有 a只白球，只白球，b 只黑球从中将球取出只黑球从中将球取出 依次排成一列，问第依次排成一列，问第 k 次取出的球是黑球的次取出的球是黑球的 概率概率3:52:25概率论概率论 BCP 1 CBP 1 CBPCPBP 1nnnnnn9498951 BCPAP 例例 8 从从 19 这这 9 个数中有放回地取出个数中有放回地取出 n 个个.试求取出的试求取出的 n 个数的乘积能被个数的乘积能被 10 整除的概率整除的概率解：解：A=取出的取出的 n 个数的乘积能被个数的乘积能被 10 整除整除；B=取出的取出的 n 个数至少有一个偶数个数至少有一个偶

27、数；C=取出的取出的 n 个数至少有一个个数至少有一个 5 则则 A=B C.3:52:25概率论概率论3 3 条条 件件 概概 率率一一 条条 件件 概概 率率二二 乘乘 法法 定定 理理三三 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式3:52:25概率论概率论称为在事件称为在事件B已发生的条件下事件已发生的条件下事件A的条件概率，的条件概率，简称为简称为A在在B之下的之下的条件概率条件概率。0 BP设设A、B是某随机试验中的两个事件，且是某随机试验中的两个事件，且 BPABPBAP 则则一、条一、条 件件 概概 率率1）条件概率的定义：）条件概率的定义：3:52:25概率论概率论 0)1

28、(BAPA，有有非非负负性性：对对任任意意事事件件 ；规规范范性性：1)2(BSP则则两两互不相容，两两互不相容，事件事件可列可加性：如果随机可列可加性：如果随机nAAA21)3(11nnnnBAPBAP2）条件概率的性质：）条件概率的性质：3:52:25概率论概率论 而而 AP 86 ABP ABP 所求概率为所求概率为解：解：设设 A=3个小孩至少有一个女孩个小孩至少有一个女孩 B=3个小孩至少有一个男孩个小孩至少有一个男孩 768786 ABP所以所以 878111 AP APABP 例例 1 已知某家庭有已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女个小孩，且至少有一个是女 孩，求该家庭至少有

29、一个男孩的概率孩，求该家庭至少有一个男孩的概率3:52:25概率论概率论 APABPABP 我们得我们得 ABPAPABP 这就是两个事件的这就是两个事件的乘法公式乘法公式1）两个事件的乘法公式：）两个事件的乘法公式：二、乘法公式二、乘法公式由条件概率的定义由条件概率的定义3:52:25概率论概率论个个随随机机事事件件，且且为为，设设nAAAn21 0121 nAAAP 则有则有 nAAAP21这就是这就是n个事件的个事件的乘法公式乘法公式 1AP 12AAP 213AAAP 121 nnAAAAP2）多个事件的乘法公式）多个事件的乘法公式3:52:25概率论概率论 次次都都未未取取出出黑黑球

30、球取取了了设设nB niiAi，次取出白球次取出白球第第21 则则nAAAB21 由乘法公式，我们有由乘法公式，我们有例例2 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未次都未取出黑球的概率取出黑球的概率解：解：3:52:25概率论概率论 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221 nn11 n3:52:25概率论概率论 例例 3 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次

31、落下时设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为打破的概率为 1/21/2 ，若第一次落下未打破，第二，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为次落下打破的概率为 7/107/10,若前两次落下未打破，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为 9/109/10 。求透镜落下三次。求透镜落下三次而未打破的概率。而未打破的概率。解：解：以以 Ai(i=1,2,3)表示事件表示事件“透镜第透镜第 i 次落下打次落下打破破”，以，以 B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”，有：有：)()(321AAAPBP)|()|()(213121AAAP

32、AAPAP.2003)1091)(1071)(211(3:52:25概率论概率论三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式SA1A2An.BA1BA2.BAn =21nBABABAB;,2,1,=njijiAAji .21SAAAn 定义定义 设设 S 为试验为试验 E 的样本空间，的样本空间，为为 E 的一组事件。若满足的一组事件。若满足 (1)(2)则称则称 为样本为样本空间空间 S 的一个有限划分的一个有限划分 nAAA,21nAAA,213:52:25概率论概率论的的是是样样本本空空间间 SAAAn,21 两两两两互互不不相相容容；nAAA,121 ;21SAnkk ;,2,

33、103nkAPk .1 nkkkABPAPBP则有则有一一个个有有限限划划分分，即即1）全）全 概概 率率 公公 式：式：设随机事件设随机事件3:52:25概率论概率论 标标该小组在比赛中射中目该小组在比赛中射中目设设 B 4321，级级射射手手参参加加比比赛赛选选 iiiA由全概率公式，有由全概率公式，有 41iiABPiAPBP32.020345.020964.020685.0202 5275.0 例例5 某小组有某小组有20名射手，其中一、二、三、四名射手，其中一、二、三、四 级射手分别为级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标三

34、、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标 的概率分别为的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机，今随机 选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目 标的概率标的概率 解：解：3:52:25概率论概率论)|(BkAP设随机事件设随机事件的的是是样样本本空空间间 SAAAn,21 两两两两互互不不相相容容；nAAA,121 ;21SAnkk ;,2,103nkAPk 一一个个有有限限划划分分，即即则有：则有：)()(BPBkAPnknjjABPjAPkABPkAP,2,1,1)|()()|()(2）贝叶斯（）贝叶斯（Bayes）公式）公式3:5

35、2:25概率论概率论 90.0,95.0 DAPDAP 0004.0 DP而而且且已已知知：现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率肝癌的概率说明：说明：全概率公式，全概率公式，BayesBayes公式中公式中 可以是可以是.n例例 6 用某种方法普查肝癌，设：用某种方法普查肝癌，设：A=用此方法判断被检查者患有肝癌用此方法判断被检查者患有肝癌，D=被检查者确实患有肝癌被检查者确实患有肝癌，已知已知3:52:25概率论概率论0004.0)(DP 所以，由所以，由Bayes公式，得公式，得 ADP10.09996.095.00004.095.

36、00004.0 0038.0 90.0,95.0 DAPDAP APDAP DAPDPDAPDPDAPDP 解：解：由已知，得由已知，得3:52:25概率论概率论 621，点点掷掷出出 iiAi则由则由Bayes公式，得公式，得 BAP3设设B=取出的球全是白球取出的球全是白球 06161615115531535 iiiCCCC04835.0 6133iiiABPAPABPAP例例 7 袋中有袋中有10个黑球，个黑球，5个白球现掷一枚均匀的个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出出的球全是白球，求掷出3点的概率点

37、的概率解：解：3:52:26概率论概率论说明：说明：乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时要，在运用时关键关键是找到样本空间的划分。是找到样本空间的划分。3:52:26概率论概率论 BPAPABP 则称则称 A 与与 B 是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件二、事件独立性的性质：二、事件独立性的性质：1）如果事件）如果事件A 与与 B 相互独立，而且相互独立，而且 0 AP BPABP 则则定义：定义：设设 A、B 是两个随机事件，如果是两个随机事件，如果4 独独 立立 性性一、独立性的定义一、独立性的定义3:52:26概率论概率论2）必然

38、事件）必然事件S与任意随机事件与任意随机事件A相互独立；相互独立；不可能事件不可能事件与任意随机事件与任意随机事件A相互独立相互独立3)若随机事件若随机事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则BABABA与与、与与、与与也相互独立也相互独立.这个性质很重要！这个性质很重要！注意：注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。义来加以判断的。3:52:26概率论概率论 0 BPAP若事件若事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则 AB；若若 AB=，则事件，则事件

39、A 与与 B 不相互独立不相互独立证明：证明：相相互互独独立立，故故与与由由于于事事件件BA 0 BPAPABP AB所所以以，例例 1 设事件设事件 A 与与 B 满足：满足：3:52:26概率论概率论 0 PABP但是，由题设但是，由题设 0 BPAP BPAPABP 所所以以，这表明，事件这表明，事件 A 与与 B 不相互独立不相互独立此例说明：此例说明：互不相容与相互互不相容与相互 独立不能同时成立。独立不能同时成立。由于由于AB=，所以，所以3:52:26概率论概率论1）三个事件的独立性：）三个事件的独立性：则称则称A、B、C是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件 CPAPACPC

40、PBPBCPBPAPABP事件两两独立事件两两独立这三个这三个CBA,注意：注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立 CPBPAPABCP 如果如果三、多个事件的独立性三、多个事件的独立性设设A、B、C是三个随机事件，是三个随机事件，3:52:26概率论概率论等等式式成成立立：个个随随机机事事件件，如如果果下下列列为为，设设nAAAn21 nnmiiiiiikji

41、kjijijiAPAPAPAAAPniiiAPAPAPAAAPnkjiAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPnm2121211)(112121个个随随机机事事件件相相互互独独立立这这，则则称称nnAAA212）n个事件的相互独立性：个事件的相互独立性：3:52:26概率论概率论,21个个随随机机事事件件相相互互独独立立这这，如如果果nnAAA,)2(11事事件件也也相相互互独独立立个个随随机机这这，nAAAAnmmiiii 是是，其中其中niii213 3）独立随机事件的性质：）独立随机事件的性质：则：（则：（1）其中任意其中任意 个随机事件也相互个随机事件也相互 独立；独立；)2(nmm

42、的一个排列的一个排列，n213:52:26概率论概率论 nnnkjikjinjijiniiniinAAAPAAAPAAPAPAPAAAn2111111211,有有个事件个事件对任意对任意若若 是相互独立的事件，则是相互独立的事件，则nAAA,21)(21nAAAP4 4）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：在独立的条件下有：在独立的条件下有：)(121nAAAP )()()(121nAPAPAP )(121nAAAP 3:52:26概率论概率论 npniiAP 111注注 意意特别地，如果特别地，如果则有则有,时时当当 n1 npniiAP 111pn

43、APAPAP )()2()1(3:52:26概率论概率论 niiAP1至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为试验中试验中次次则前则前出现出现次试验中次试验中表示第表示第事件事件是某一随机是某一随机次某一试验次某一试验假设独立重复地做假设独立重复地做AnAiApAPAEni,)(,1此例说明：此例说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。不发生的，但是迟早要发生。不论不论 p 多么小多么小 np 113:52:26概率论概率论 例例 2 设有电路如图，其中设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独

44、立，且每接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为一个继电器接点闭合的概率均为 p。求。求 L至至 R 为为通路的概率。通路的概率。LR2134 解解：设事件设事件 Ai(i=1,2,3,4)为为“第第 i 个继电器接个继电器接点闭合点闭合”,L 至至 R 为通路这一事件可表示为：为通路这一事件可表示为：.4321AAAAA 3:52:26概率论概率论由和事件的概率公式及由和事件的概率公式及 A1,A2,A3,A4的相互独的相互独立性，得到立性，得到)()()(43214321AAAAPAAPAAP )()()()()()()()(43214321APAPAPAPA

45、PAPAPAP .242422ppppp )()(4321AAAAPAP 3:52:26概率论概率论 例例 3 要验收一批要验收一批(100 件件)乐器。验收方案如乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试件测试(设设 3 件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。不纯 纯 纯q纯、纯、纯 接受ppH1：纯 纯 纯纯、纯、纯 接受pppH0：设一件设一件音色不纯音色不纯的乐器被的乐器被测试出来测试出来的概率为的概率为 0.95，而一件而一件

46、音色纯音色纯的乐器被的乐器被误测为不纯误测为不纯的概率为的概率为 0.01。如果这批乐器中恰有如果这批乐器中恰有 4 件是件是音色不纯音色不纯的，问这批的，问这批乐器乐器被接受被接受的概率是多少？的概率是多少？p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.053:52:26概率论概率论解：解：以以 Hi (i=0,1,2,3)表示事件表示事件“随机取出的随机取出的 3 件乐器中恰有件乐器中恰有 i 件音色不纯件音色不纯”，以，以 A 表示事件表示事件“这批乐器被接受这批乐器被接受”，即，即 3 件都被测试为音色件都被测试为音色纯的乐器。纯的乐器。H2：不纯 纯 不纯q纯、纯、纯 接受pq不

47、纯、不纯、不纯q纯、纯、纯 接受qqH3：)(AP 30)|()(iiiHAPHP由全概率公式有由全概率公式有3:52:26概率论概率论)|(0HAP ,05.099.0)|(22 HAP ,99.03 ,05.099.0)|(21 HAP .05.0)|(33 HAP由测试的相互独立性得由测试的相互独立性得：另外，按照超几何分布的概率计算公式得：另外，按照超几何分布的概率计算公式得：)(0HP,/)(3100196242CCCHP )(AP,/)(3100296141CCCHP,/3100396CC./)(3100343CCHP 代入公式有代入公式有 30.8629.0)|()(iiiHAPHP3:52:26概率论概率论1 1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。系及运算。2 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。质。3 3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公 式和贝叶斯公式。式和贝叶斯公式。4 4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。独立性进行概率计算。第一章 小 结