系统的稳定性及其判定

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1、6-6 系统的稳定性及其判定所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性，所以对系统稳定性的研究十分重要。本 节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。一、系统稳定性的意义若系统对有界激励f（ t）产生的零状态响应*）也是有界的，即当（式中叫和販均为有界的正实常数），则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时，“稳定”的定义不尽相同。这里的定义是“有界输入、有界输出”意 义下的稳定。，否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。绝对可积，即00可以证明，系统具有稳定性的必要与充分条件，在时域中是系统的单位冲激响应h（t）6-36)证明 设激励f（t）为有界，即式中,故有叫为有界的正实常数。又因有-37)

2、由此式看出，若满足则-定有皿卜叫毕 即yt)也一定有界。式中My为有界的正实常数。由式(6-36 )还可看出，系统具有稳定性的必要条件是lim h(t) = 0(6-38)式(6-36)和式(6-38)都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性，它只取决于系统的结 构与参数，与系统的激励和初始状态均无关。若系统为因果系统，则式(6-36)和式(6-38)可写为86-39)(lim ht)二 0(6-40)二、系统稳定性的判定判断系统是否稳定，可以在时域中进行，也可以在s域中进行。在时域中就是按式(6- 36)和式(6-38)判断，已如上所述。下面研究如何从s域中判断。1. 从H(s)的极点即D

3、(s)=0的根分布来判定若系统函数H(s)的所有极点均位于s平面的左半开平面，则系统是稳定的。若H(s)在3轴上有单阶极点分布，而其余的极点都位于s平面的左半开平面，则系 统是临界稳定的。若H(s)的极点中至少有一个极点位于s平面的右半开平面，则系统就是不稳定的；若 在js轴上有重阶极点分布，则系统也是不稳定的。2. 用罗斯准则判定用上述方法判定系统的稳定与否，必须先要求出H(s)的极点值。但当H(s)分母多项式D(s)的幕次较高时，此时要具体求得H(s)的极点就困难了。所以必须寻求另外的方法。其 实，在判定系统的稳定性时，并不要求知道H(s )极点的具体数值，而是只需要知道H(s)极 点的分

4、布区域就可以了。利用罗斯准则即可解决此问题。罗斯判定准则的内容如下：多项式D(s)的各项系数均为大于零的实常数；多项式中无缺项(即s的幕从n到0, 项也不缺)。这是系统为稳定的必要条件。若多项式D(s)各项的系数均为正实常数，则对于二阶系统肯定是稳定的；但若系统的 阶数n2时，系统是否稳定，还须排出如下的罗斯阵列。D(s)二 a11sn + aK.1sn-L + -+a1s + ac则罗斯阵列的排列规则如下(共有n+1行):阵列中第1、第2行各元素的意义不言而喻，第3行及以后各行的元素按以下各式计算:-1sn :备2an-4严 :aa L尸 :bn-Ln-3：n 5:Cn-1Cn-5如法炮制地

5、依次排列下去，共有(n+1 )行，最后一行中将只留有一个不等于零的数字。若所排出的数字阵列中第一列的(n+1)个数字全部是正号，则H(s)的极点即全部位于s 平面的左半开平面，系统就是稳定的；若第一列(n+1)个数字的符号不完全相同，则符号改 变的次数即等于在s平面右半开平面上出现的H(s)极点的个数，因而系统就是不稳定的。在排列罗斯阵列时，有时会出现如下的两种特殊情况:(1) 阵列的第一列中出现数字为零的元素。此时可用一个无穷小量& (认为&是正或负均可)来代替该零元素，这不影响所得结论的正确性。(2) 阵列的某一行元素全部为零。当D(s)= 0的根中出现有共轭虚根土叫时，就会出现此种情况。

6、此时可利用前一行的数字构成一个辅助的s多项式P(s)，然后将P(s)对s 求导一次，再用该导数的系数组成新的一行，来代替全为零元素的行即可；而辅助多项式 P(s)=0的根就是H(s)极点的一部分。例6-22已知H(s)的分母D(s)二s4+2s3+3s2+2s+1。试判断系统的稳定性。解：因D(s)中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件,故进一步排出罗斯阵列如下：可见阵列中的第一列数字符号无变化，故该H(s)所描述的系统是稳定的，即H(s)的极 点全部位于s平面的左半开平面上。H (力=4 /乎丁十2_例6-23 已知十玉 十弘 十戈十1。试判断系统的稳定性。解：因D(

7、s)=S4+2Sz + +3S3+20S+1中无缺项且各项系数均为大于零的实常数,满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下:s41820lx0-2xl_12 2 _2xl-(-2)x20 _21 _ 2x0-(-2)x0 _0lx 20-2x82-2-2可见阵列中的第一列数字符号有两次变化，即从+2变为-2，又从-2变为+21。故H(s) 的极点中有两个极点位于s平面的右半开平面上，故该系统是不稳定的。H()J十2 J十g十1例6-24 已知J+2J+2/ + 4J+1W+10。试判断系统是否稳定。解： 因D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+lls+10中的系数均为大于零的实常数

8、且无缺项，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：s51211?2410s3060/罟12由于第3行的第一个元素为0,从而使第4行的第一个元素成为(-a),使阵列无法继续排列下去。对于此种情况，可用一个任意小的正数泾来代替第3行的第一个元素0,然后照上述方法继续排列下去。在计算过程中可忽略含有E,宀乱的项。最后将发现，阵列第一列数字符号改变的次数将与e无关。按此种处理方法，继续完成上面的阵列:51600s 1000J 1211? 2410s3S21260 一10012 12可见阵列中第一列数字的符号有两次变化，即从变为 ,又从 E变为6。故H(s)的极点中有两个极点位于 s 平面的

9、右半开平面上，故系统是不稳定的。H(s) = 一年+丁例6-25 已知弓十十4e十晁十4。试判断系统的稳定性。解：因D(s)=s4+3g5 + 4sa +氏+4中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：s4144s3360s2240s1000可见第4行全为零元素。处理此种情况的方法之一是：以前一行的元素值构建一个s的多项式P(s),即卩P(s) = 2s2+4将式(6-41)对s求一阶导数，即现以此一阶导数的系数组成原阵列中全零行(行)的元素，然后再按原方法继续排列下去。即54144s3360s2240s1Q00s400可见阵列中的第一列数字符号

10、没有变化，故H(s)在$平面的右半开平面上无极点，因而系 统肯定不是不稳定的。但到底是稳定的还是临界稳定的，则还须进行下面的分析工作。令P(s)=2s2+4 = 2(s-h/2)s + 応)=0解之得两个纯虚数的极点:R二血巴=-旋二F。这说明系统是临界稳定的。实际上，若将D(s)分解因式，即为s4+3s5+4s3+6s + 4=(2s3+ 4)(s + l)(s + 2)=2(s + js -屈伍 + l)(s + 2)可见H(s)共有4个极点:Ri扭卫二-朋,位于田轴上；二位于$平面的左半开平面。故该系统是临界稳定的。例6-26 图6-38所示系统。试分析反馈系数K对系统稳定性的影响。图 6-38解：皿爲爲炉爲滋卜吨卜磊倚加-砒）卜磊倚F炉则-砒解之得F /+J+1O（K + 1）卄 10欲使此系统稳定的必要条件是D/）* +10区+ 1 +10中的各项系数均为大于零的 实常数，故应有K-1。但此条件并不是充分条件，还应进一步排出罗斯阵列如下：s3110K +l）F110s110K0J100可见，欲使该系统稳定，则必须有10K0,即K0。若取k=o,贝y阵列中第三行的元素即全为o,此时系统即变为临界稳定（等幅振荡），其振荡 频率可由辅助方程P（s） = s2+10 = 0求得为P二你卫二-族,即振荡角频率为化历rad/s。