二二类换元法资料ppt课件

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1、二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 前往 终了 换元积分法 第四章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(根本思绪根本思绪 机动 目录 上页 下页 前往 终了 设,)()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(那么有一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu那么有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称配元法即xxxfd)()(,凑微分法凑微分法)机动 目录

2、 上页 下页 前往 终了 例例1.求求).1(d)(mxbxam解解:令令,bxau那么,ddxau 故原式原式=muuad1a1Cumm1111)()1(1mbxamaC注注:当当1m时bxaxdCbxaaln1机动 目录 上页 下页 前往 终了 22)(1d1axxa例例2.求求.d22xax解解:22dxax,axu 令那么xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例3.求求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元

3、)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例4.求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan机动 目录 上页 下页 前往 终了 类似Caxaxaln21例例5.求求.d22axx解解:221ax)(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式=a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)(d机动 目录 上页 下页 前往 终了 常用的几种配元方式常用的几种配元方

4、式:xbxafd)()1()(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例6.求求.)ln21(dxxxxln21xlnd解解:原式原式=xln2121)ln21(dxCx ln21ln21机动 目录 上页 下

5、页 前往 终了 例例7.求求.d3xxex解解:原式原式=xexd23)3d(323xexCex332例例8.求求.dsec6xx解解:原式原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例9.求求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1(dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxsin11sin1121例例10.求求

6、.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P196 例16)机动 目录 上页 下页 前往 终了 222d)(2123xax例例11.求求.d)(23223xaxx解解:原式原式=23)(22ax2

7、2dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC机动 目录 上页 下页 前往 终了)2cos2cos21(241xx 例例12.求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例13.求求.d3cossin22xxx解解:xx3cos

8、sin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1(81xxx2cos2sin2)4cos1(81x原式=xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxexex111xexexxxdd xexxd)1(例例14.求求.d)1(1xexxxx解解:原式原式=xexxxxd)1()1(xexe)1(1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1(1xxxxxexexexe)(dxxexexl

9、nxex1lnCCexxxx1lnln机动 目录 上页 下页 前往 终了 分析分析:例例15.求求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解:原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf机动 目录 上页 下页 前往 终了)()(xfxf小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)一致函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元等xx22cossin1;)2cos1(sin212xx;)2cos1(cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nn

10、nxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11机动 目录 上页 下页 前往 终了 利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如思索与练习思索与练习1.以下各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxxd)1(1102.求求.)1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3)1(d10 xxx10)x)1(d10 xxx)1(1010 xx)1(d10

11、 xxx)1(d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作业 目录 上页 下页 前往 终了 二、第二类换元法二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 前往 终了 第一类换元法处理的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu假设所求积分xxxfd)()(易求,那么得第二类换元积分法.难求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2.设设)(tx是单调可导函数,且,0)(t)()(ttf具有原函数,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf,)(t令)()(1xxF那么)(xFtddxtdd)()(

12、ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct)(1xt)(1d)()(xttttf机动 目录 上页 下页 前往 终了 那么有换元公式例例16.求求.)0(d22axxa解解:令令,),(,sin22ttax那么taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例17.求求.)0(d22aaxx解解:令令,),(,tan22ttax那么22222tanataaxtasecttaxdse

13、cd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 前往 终了 xa1C例例18.求求.)0(d22aaxx解解:,时当ax 令,),0(,sec2ttax那么22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC机动 目录 上页 下页 前往 终了 22ax axa,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22da

14、xx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 前往 终了 阐明阐明:被积函数含有22ax 时,除采用1shch22tt采用双曲代换taxsh消去根式,所得结果一致.(参考书上 P204-P205)taxch或22ax 或机动 目录 上页 下页 前往 终了 三角代换外,还可利用公式原式21)1(22ta221a例例19.求求.d422xxxa解解:令令,1tx 那么txtdd21原式ttd12tttad)1(2122,0时当x42112tta Cata2223)1(23当 x 0 时,类似可得同样结果.Cxaxa

15、32223)(23)1(d22ta机动 目录 上页 下页 前往 终了 小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch机动 目录 上页 下页 前往 终了 第四节讲xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln机动

16、目录 上页 下页 前往 终了 2.常用根本积分公式的补充(P203)(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,d)()6(xafx令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln机动 目录 上页 下页 前往 终了.32d2 xxx解解:原式原式xxd2)1(122)2()1(dx21arctan21xC(P203 公式(20)机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例20.求求例例21.求求.94d2xxI解解:223)2()2(

17、d21xxICxx942ln212(P203 公式(23)例例22.求求.1d2xxx解解:原式原式=22)()()(d21x(P203 公式(22)2521xCx512arcsin机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例23.求求.1d2xex解解:原式原式xxee21dCexarcsin(P203 公式(22)例例24.求求.d222 axxx解解:令令,1tx 得原式ttatd1221)1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222机动 目录 上页 下页 前往 终了 ttttd)1(12132例例25.求求.2)1(d23xxxx解解:原式原式1)1()1(d23xxx

18、令tx11tttd122tttd11)1(22tt d12ttd112tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121)1(221arcsin22例16 目录 上页 下页 前往 终了 思索与练习思索与练习1.以下积分应如何换元才使积分简便?xxxd1)1(25xex1d)2()2(d)3(7xxx令21xt令xet1令xt1机动 目录 上页 下页 前往 终了 2.知知,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解:两边求导两边求导,得得)(5xfx,12xx那么1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1(d)1(212221tt)1(

19、d)1(212221tt23)1(312tCt21)1(2(代回原变量代回原变量)机动 目录 上页 下页 前往 终了 作业作业P2072 (4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),(19),(21),(25),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(40)第三节 目录 上页 下页 前往 终了 xxxd11)132备用题备用题 1.求以下积分求以下积分:)1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52)1(2 x)1d(x2212xx Cx21arcsin5机动 目录 上页

20、下页 前往 终了 2.求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法,xx22sin2sin1原式=)sin1(d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111(22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得机动 目录 上页 下页 前往 终了 分子分母同除以3.求不定积分解解:.d1)1(122xxx令,sintx,sin1122txttxdcosd 原式ttttdcos)sin1(cos2ttdsin112t2costttandtan2112tttand)tan2(112221Ct)tan2arctan(21Cxx212arctan21机动 目录 上页 下页 前往 终了 ttttdtansecsec222