正交分析全过程

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1、正交试验设计及其方差分析在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验， 而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节 讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验(即每一个因素的各种水平的相互搭配都要 进行试验)，多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面 试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交 试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表正交 表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果.1.正交试验设计的基本方法 正交试验设

2、计包含两个内容：(1)怎样安排试验方案；(2)如何分析试验结果.先介绍 正交表.正交表是预先编制好的一种表格比如表9-17即为正交表L4(23)，其中字母L表示正交, 它的3个数字有3种不同的含义：L4(23)ff行数水平数(2) L4 (23)表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个.最多能安排的因素数L4(23)ff试验次数水平数(3)L4 (23)表的效率： 3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需 从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的.L4(23)ff实际试验数 理论上的试验数正交表的特点：(1) 表中任一列，不同数字出现的次数相同如正交表L4(23)中

3、，数字1, 2在每列中均出现 2 次.(2) 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L( (23)中任意两列,数字 1，2 间的搭配是均衡的.凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).常用的正交表有L9 (34), L8 (27), L16 (45)等，见附表.用正交表来安排试验的方法， 就叫正交试验设计.一般正交表Lp(nm)中，p=m(n-l)+l.下面通过实例来说明如何用正交表 来安排试验.例 9.7 提高某化工产品转化率的试验.某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两种原料之配比C和真空度 D有关为了寻找最优的生产条件，因此考虑对

4、A，B，C，D这4个因素进行试验根据以往 的经验，确定各个因素的3个不同水平，如表9-18所示.表 9-l8水平因素123A:反应温度(C)607080B：反应时间(小时)2.53.03.5C:原料配比1.1 : 11.15 : 11.2 : 1D:真空度(毫米汞柱)500550600分析各因素对产品的转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件. 解 本题是4因素3水平，选用正交表L9(34).表 9-19列号水平试验号ABCD111112122231333421235223162312731328321393321把表头上各因素相应的水平任意给一个水平号.本例的水平编号就采用表9-18的形式

5、； 将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到9 个试验方案，如表 9-20 所示.表 9-20列号ABCD水平1234试验号11(60)1(2.5)1(1.1:1)1(500)212(3.0)2(1.15:1)2(550)313(3.5)3(1.2:1)3(600)42(70)123522316231273(80)1328321393321从表 9-20 看出，第一行是 1 号试验，其试验条件是：反应温度为60C，反应时间为2.5小时，原料配比为1.1 ：1,真空度为500毫米汞柱,记作A1B1C1D1 依此类推，第9号试验条件是A3B3C2D1.由此可见，因素和水平可以任意排

6、，但一经排定，试验条件也就完全确定.按正交试验表 9-20 安排试验，试验的结果依次记于试验方案右侧，见表9-21.表 9-21列号水平试验号ABCD试验结果（）11(60)1(2.5)1(1.1:1)1(500)38212(3.0)2(1.15:1)2(550)37313(3.5)3(1.2:1)3(600)7642(70)123515223150623128273(80)13244832135593321862.试验结果的直观分析正交试验设计的直观分析就是要通过计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小， 通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法.例 9.

7、 7 中试验结果转化率列在表9-21 中，在 9 次试验中，以第 9 次试验的指标 86 为最 高，其生产条件是A3B3C2D由于全面搭配试验有81种，现只做了 9次.9次试验中最好的结 果是否一定是全面搭配试验中最好的结果呢？还需进一步分析.（1 ） 极差计算在代表因素 A 的表 9-21 的第 1 列中，将与水平“1”相对应的第 1， 2， 3 号 3 个试验结 果相加，记作T11，求得T11=151同样，将第1列中与水平“2”对应的第4, 5, 6号试验结 果相加，记作T21，求得T21=183.一般地，定义T为表9-21的第j列中，与水平i对应的各次试验结果之和（i=1,2,3; ij

8、j=1,2,3,4）.记T为9次试验结果的总和，R.为第j列的3个厂.中最大值与最小值之差，称为 jij极差.显然 T= T ，j=1,2,3,4.iji=1此处T11大致反映了 A1对试验结果的影响，t21大致反映了 a2对试验结果的影响，T31 大致反映了 A3 对试验结果的影响，T12，T22和T32分别反映了 B, B2, B3对试验结果的影响，t13，t23和t33分别反映了 C1，C2，C3对试验结果的影响，T14，T24和T34分别反映了 D1，D2, D3对试验结果的影响.R反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小，Rj越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表9-22.表

9、9-22Tij151133175174T=519T2j183142174163T3j185244170182R.j34111519(2)极差分析(Analysis of range)由极差大小顺序排出因素的主次顺序：主一次B ；A 、D ；C这里，Rj值相近的两因素间用“、号隔开，而Rj值相差较大的两因素间用“；号隔 开由此看出，特别要求在生产过程中控制好因素B,即反应时间其次是要考虑因素A和D， 即要控制好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关.若要求指标越大越好，则应选取指标大 的水平.反之，若希望指标越小越好，应选取指标小的水平.例9.7中

10、，希望转化率越高越好， 所以应在第1列选最大的T31=185 ;即取水平A3,同理可选B3CD 3故例9. 7中较好的因素 水平搭配是A3B3C 1D 3.例9.8某试验被考察的因素有5个：A，B，C，D，E.每个因素有两个水平.选用正交 表L8(20,现分别把A，B，C，D，E安排在表L8(2z)的第1，2, 4, 5, 7列上，空出第3, 6列仿例9.7做法，按方案试验.记下试验结果，进行极差计算，得表9-23.表9-23列号 水平 试验号A1B23C4D56E7试验结果111111111421112222133122112217412222111752121212862122121107

11、2211221118221211215T1j61455350565452T=105T44605255495153R.j171515731试验目的要找出试验结果最小的工艺条件及因素影响的主次顺序从表9-23的极差Rj 的大小顺序排出因素的主次顺序为主一次 A、B;D;C、E 最优工艺条件为a2b 1c 1d 2e 1.表9-23中因没有安排因素而空出了第3, 6列.从理论上说，这两列的极差Rj应为0,但 因存有随机误差，这两个空列的极差值实际上是相当小的.3.方差分析 正交试验设计的极差分析简便易行，计算量小，也较直观，但极差分析精度较差，判断因素的作用时缺乏一个定量的标准.这些问题要用方差分析

12、解决.设有一试验，使用正交表Lp(nm)，试验的p个结果为y,y2,yp，记t=另 y ,ii=1ST=(叮刃2i=1为试验的 p 个结果的总变差；2=1 yr iji=1T22 py(t t) S =厂乙I J I r p 丿i=1为第J列上安排因素的变差平方和，其中r=p/n.可证明ST=ym STiJ=1即总变差为各列变差平方和之和，且ST的自由度为p-1，SJ的自由度为n-1.当正交表的所有 列没被排满因素时，即有空列时，所有空列的S.之和就是误差的变差平方和se,这时se的 自由度fe也为这些空列自由度之和.当正交表的所有列都排有因素时，即无空列时，取S/中 的最小值作为误差的变差平

13、方和Se.从以上分析知，在使用正交表Lp(nm )的正交试验方差分析中，对正交表所安排的因素选 用的统计量为：当因素作用不显著时，FF(n-1,fe),其中第J列安排的是被检因素.在实际应用时，先求出各列的S/(n-1)及S0,若某个S/(n-1)比Sf 还小时，则这第J列 就可当作误差列并入Se中去，这样使误差Se的自由度增大，在作F*检验时会更灵敏，将所 有可当作误差列的SJ全并入Se后得新的误差变差平方和，记为S/,其相应的自由度为a, 这时选用统计量S SF=点 f F(nfe例9.9 对例9.8的表9-23作方差分析.1 n T 2解 由表9-23的最后一行的极差值R,利用公式S=

14、y T 2 ，得表9-24.jj r ij pi=1表 9-24A1B23C4DE756R./171515731JS. _J36.12528.1250.1253.1256.1251.1250.125St=74.875表9-24中第3, 6列为空列，因此Se=S3+S6=1.250，其中=1+1=2，所以S/=0.625,而第7 列的S7=0.125, S7f；=0.1251=0.125比Sf 小，故将它并入误差.Se=S+S=1.375fe=3.整理成方差分析表9-25.表 9-25方差来源S.jSjjS /SAF=j产e显著性A36.125136.12578.818B28.125128.12

15、561.364C3.12513.1256.818D6.12516.12513.364Ea0.12510.125e1.125020.625eA1.37530.458由于F0 05(1,3)=1O.13, F001(1,3)=34.12,故因素A，B作用高度显著，因素C作用不显著， 因素D作用显著，这与前面极差分析的结果是一致的.F检验法要求选取Se，且希望fe要大, 故在安排试验时，适当留出些空列会有好处的前面的方差分析中，讨论因素A和B的交互 作用AXB.这类交互作用在正交试验设计中同样有表现，即一个因素A的水平对试验结果指 标的影响同另一个因素B的水平选取有关当试验考虑交互作用时，也可用前面讲的基本方 法来处理.本章就不再介绍了.