第3章 刚体的转动

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1、第3 章 刚体的转动一. 选择题1. 飞轮绕定轴作匀速转动时, 飞轮边缘上任一点的(A) 切向加速度为零, 法向加速度不为零(B) 切向加速度不为零, 法向加速度为零(C) 切向加速度和法向加速度均为零(D) 切向加速度和法向加速度均不为零2. 一飞轮从静止开始作匀加速转动时, 飞轮边缘上一点的法向加速度 a 和切向加速 n度 a 的值怎样?I(A) a 不变, a 为 0nI(C) a 增大, a 为 0nI3 关于刚体的转动惯量 J, 下列说法中正确的是 (A) 轮子静止时其转动惯量为零(B)(C)只要m不变，则J 一定不变(D)(B)(D)a 不变 , a 不变nIa 增大 , a 不变

2、nI若 % 则 J AJ B以上说法都不正确4. 地球的质量为m,太阳的质量为m，地心与太阳中心的距离为R,引力常数为G,地 0球绕太阳转动的轨道角动量的大小为| GmmG(B)0(C) mm -R丿 o R5. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是(A) 刚体不受外力矩作用 (B) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零(C) 刚体所受合外力矩为零； (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变6. 绕定轴转动的刚体转动时, 如果它的角速度很大, 则(A) 作用在刚体上的力一定很大 (B) 作用在刚体上的外力矩一定很大(C) 作用在刚体上的力和力矩都很大 (D) 难以判断外力和力矩的大小 (A) m G

3、m0 RGmm(D)7. 在外力矩为零的情况下, 将一个绕定轴转动的物体的转动惯量减小一半, 则物体的(A) 角速度将增加三倍(C) 转动动能增大一倍(B) 角速度不变, 转动动能增大二倍(D) 转动动能不变, 角速度增大二倍 8 如图 1 所示，一块长方形板以其一个边为轴自由转动，最初板自由下垂现有一小团 粘土垂直于板面撞击板, 并粘在板上. 对粘土和板系统, 如果不计空气阻力, 在碰撞过程中 守恒的量是(A) 动能(B) 绕长方形板转轴的角动量(C) 机械能(D) 动量9. 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动，如图2 所示今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆

4、 动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大图1图2(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 10. 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零(2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零(3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零 在上述说法中(A) 只有(1)是正确的(B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误(C) (1)、(

5、2)、(3)都正确，(4)错误(D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确 二、填空题1. 一个唱片转盘在电动机断电后的30 s内由33r-min-1减慢到停止，它的角加速度是；它在这段时间内一共转了圈.2. 半径为r的圆环平放在光滑水平面上，如图3所示，环上有一甲虫 环和甲虫的质量相等, 并且原先都是静止的. 以后甲虫相对于圆环以等速率爬行, 当甲虫沿圆环爬完一周时, 圆环绕其中心转过的角度 .图4图63. 如图4所示，两个完全一样的飞轮，当用98 N的拉力作用时，产生角加速度巴；当 挂一重98 N的重物时，产生角加速度a .则a和a的关系为.2 1 24 如图 5 所示，两人各持一均匀直棒

6、的一端， 棒重 W， 一人突然放手， 在此瞬间， 另一 人感到手上承受的力变为5. 一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为 r二a costi + bsin j，其中a、b、w皆为常数.则此质点所受的对原点的力矩M =；该质点对原点的角动量L =6. 长为1、质量为m的匀质杆可绕通过杆一端O的水平光滑固定01轴转动，转动惯量为丁m 12，开始时杆竖直下垂，如图6所示.现有30一质量为 m 的子弹以水平速度 v 射入杆上 A 点，并嵌在杆中，021OA二，则子弹射入后瞬间的角速度w.三、计算题1. 如图 7 所示，两个匀质圆盘质量分别为 m1， m2， 半径分别为R

7、1, R2,各自可绕互相平行的固定水平轴无摩 擦地转动，今对圆盘1相对其转轴施加外力矩M,圆盘、 皮带都被带动，设圆盘、轻皮带间无相对滑动， 求圆盘1， 2的角加速度。2. 物体A和B叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接，如图图88所示.今用大小为F的水平力拉A.设A、B和滑轮质量都1为m,滑轮的半径为R,对轴的转动惯量J二-mR2, AB之 间、A与桌面之间、滑轮与轴之间均无摩擦，绳与滑轮之间无 相对滑动，且绳子不可伸长.已知F=10 N, m = 8.0 kg，R=0.050 m,求：(1) 滑轮的角加速度；(2) 物体 A 与滑轮之间的绳中的张力(3) 物体 B 与滑

8、轮之间的绳中的张力3. 质量分别为m和2 m、半径分别为r和2 r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以 绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为-mr 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图9所示.求盘的角加速度的大小.图9s图 11图 104-如图10所示，一长为1、质量为m的均匀细棒，可绕光滑轴O在竖直面内转动.棒 由水平位置从静止下落，转到竖直位置时与原静止于地面上的质量也为 m 的小滑块碰撞， 碰撞时间极短.滑块与地面的摩擦系数为卩,碰后滑块移动s后停止，棒继续沿原方向转动.求 碰后棒的质心C离地面的最大高度h.5. 如图11所示装置，定滑

9、轮的半径为r,绕转轴的转动惯量为J,滑轮两边分别悬挂 质m和m的物体A、B。A置于倾角为的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为卩，若B 12 向下作加速运动时，求：(1)其下落的加速度的大小；(2)滑轮两边绳子的张力。(设绳的 质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑)6. 如图12所示，质量为0.5kg、长为0.40m的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴在竖直平面内转动先将棒放在水平位置，然后任其落下，求：(1) 当棒转过 60。时的角加速度和角速度；(2)下落到竖直位置时的动能；(3)下落到竖直位置时的角速度图 127. 如图13所示，质量为m半径为R的均质圆盘，初角速度为，不计轴承处的

10、摩擦, 若空气对圆盘表面单位面积的摩擦力F正比于该处的线速度v，即F = kv，k为常量，ff试求：(1) 圆盘所受的空气阻力力矩M；(2) 圆盘在停止前所转过的圈数。8. 如图14所示，长为1、质量为m的均匀细杆可绕水平光滑固定轴O转动，开始时杆静止在竖直位置.另一质量也为m的小球，用长也为1的轻绳系于O轴上.现将小球在竖 直平面内拉开，使轻绳与竖直方向的夹角然后使小球自由下摆与杆端发生弹性相碰，结n果使杆的最大偏角为 .求角度e.第3章刚体的转动答案. 选择题1 . A 2. D ；3.D ；二 填空题3. A ；4. A ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B ；9.A 10.B

11、 1. - 67 r- min -2 ,8.32. n ；3. aa124. W ； 5. 7.0me abk ；4/ 6 二 、(4 + 3 m m)l，三、计算题解设两圆盘边缘的切向加速度分别为a和a由转动定律得M图 15厂 M - (T - T ) R = J a1211 1丿(T - T ) R = J a1222 2R a = R a1 12 2解得MR2JR2 + J R21 2 2 1MR R二2J R 2 + J R 21 2 2 12. 解：各物体受力如图16 所示由牛顿定律和转动定律列方程如下图16F - F = maTF = maTF R - FR = mR2aT T 2

12、a = Ra由以上各式可以解出(1) 滑轮的角加速度a =rad- s -2 = 10 rad- s -25mR 5x8x0.0502 F2 x 10(2) A与滑轮之间绳中张力FT(3) B 与滑轮之间绳中张力=2F = 2x10 n = 4.0 n553 解 各物体受力如图 17 所示，由牛顿定律和转动定律列方程如下：mg F maT2 2F mg maT1 19F x 2r F x r mr2a2T2 T1a 2 ra2a ra1空19r4. 解 过程 1：棒下摆考查（棒-地球）系统，只有重力（保守内力） 作功，系统机械能守恒设地面为重力势能零点，则有mgl 2 J 2 + mg （2-

13、）1式中J为棒的转动惯量J 3 ml2，解得 国 飞T联立以上方程，可以解得图017(1)(2)过程2：棒和滑块的碰撞.考察（棒、滑块）系统，外力（重力、轴力）力矩均为零，系统 角动量守恒J = J + mvl（3）过程 3：滑块运动且棒上摆考察滑块，仅摩擦力作用，由动能定理- F - s 0 - 1 mv 2f2(4)其中摩擦力考察（棒、地球）系统Ff = r mg只有重力（保守内力）做功，系统机械能守恒1l2 JE2 + mg（2）二 mgh(5)联立（2） （5）式可得h l + 3r s 6rsi5.解 分别作A、B和滑轮的受力分析，如图18所示，根据质点的牛顿定律和刚体定轴转动定律可

14、得F m g sin0 r m g cos0 maT 11 1 1 1m gF m a2 T 2 2 2F r 一 F r J aT 2T1a a r a12F F ， F FT1T1T 2T2解上述方程组可得F=T1g 一 m g sin 0-卩 m g cos011 m +m + J/r212m m g(1+ sin0 + 卩 cos0) + (sin0 + 卩 cos0)m gJ / r212a = a12FT2m + m + J / r 2 12m m g(1+ sin0 + 卩 cosO) + m gJ / r212 2m + m + J / r 2 126. 解 (1)当棒转到 6

15、00时，如图19 所示，所受重力矩为M = mg cos 60o2由转动定律M = Ja得mg cos 60o =1 ml 2a23a =逖 cos 6O0 = 3 % 9.8 = 18.4rad/s22l4 x 0.4对于转轴O,棒在转动过程中只受到重力矩的作用，故机械能守恒。设棒在水平位置时的重力势能为势能零点，则总机械能E = 0o棒转到600时的角速度设为，则总机械能1lE = Jw 2 一 mg sin 60023其中J = 1 ml2，由机械能守恒定律E = E，得301lJw 2 一 mg sin 6Oo = 0 23解得w = 3* 3g = 5.64rad/s 2l(2) 棒

16、下落到竖直位置时的总机械能为E,1 丁lE = J w 2 一 m 22由机械能守恒定律，有E = E，即卩01 丁lo2 2此时的动能为1l0.5 x 9.8 x 0.4E =J 2 =m = 0.98Jk 22(3) 下落到竖直位置时的角速度=8.57rad/s2 Ek =7解（1）在盘上取同心圆环面元dS,该面元所受空气阻力（两面受力）dF=2F dS = 2kvdS = 2k rdS阻力力矩其中面积元总阻力力矩dM =rdF = 2k r2dSdS = 2n rdrM = J d M =-处 J R 3r c=兀 k R 40由转动定律M =J d得dt1 dnk R 4 = mR2

17、2 dtJ0 d= J015竺 dt = -J0 比 d0m0 m圜盘在停转前所转过的角度圜盘在停转前所转过的转数mu =02nkR20mN =02n 4n 2 kR28 解：小球下摆, （小球、地球）系统只有重力做功,机械能守恒,设杆静止时的最低端 处为重力势能零点,有mgl(1 cos0 )1mv 22(1)球、杆弹性碰撞，（小球、细杆）系统，重力（此刻竖直）和轴力对轴O的力矩为零，系统 角动量守恒；且因是弹性碰撞,碰撞前后系统动能不变,设小球碰前、后的速度大小分别为v和V，碰后杆的角速度为，角动量守恒式为1mvl = mvfl + （3 ml2）(2)动能守恒式为111 1mv2 = mv 2 +（ ml2） 2222 3杆上摆， （细杆、地球）系统，只有重力做功 守恒，取杆的中点处为重力势能的零点，有1 / I 7 1/1兀、（ml 2）2 = mg （1 cos ）2 3232联立式有cos0 =3，得到(3)机械能(4)20 = arcco图 20