高数同济41不定积分

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1、)?()(xF第四章微分法:xxcossin 积分法:xsin是是xcos的的 原原 函函 数数.互逆运算 )0(1ln xxx不定积分 )?()(xF4.1 不定积分的概念与性质0 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念0 基本积分公式基本积分公式0 不定积分的性质不定积分的性质)?()(xF例例xln是是x1在在 区区 间间),0(内内 的的 原原 函函 数数.如如果果在在区区间间I内内，或或dxxfxdF)()(，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf定义：定义：或或dxxf)(在区间在区间I内内原函数原函数.,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)(xCxcossin

2、一、原函数与不定积分的概念)?()(xF问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理定理1.CxfxF则则对对任任意意常常数数若若),()(CxF )(都都 是是)(xf的的 原原 函函 数数.存在原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.)?()(xF原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.注意：注意：(1)原函数不唯一原函数不唯一;例例xln是是x1在在 区区 间间),0(内内 的的

3、 原原 函函 数数.)(xF(2)原函数之间的关系原函数之间的关系:)(xG)(xf若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，.)()(CxGxF 则则)(xfxxfd)(y)?()(xF不定积分的几何意义:x的原函数的图形称为xo的图形的所有积分曲线组成x的平行曲线族.0 x在在 区区 间间I内内，Cx Fdxx f )()(设设函函数数F(x)是是f(x)的的一一个个原原函函数数，则则的积分曲线积分曲线.)?()(xF任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：f(x)的的 全全 体体 原原 函函 数数 F(x)+C 称称 为为 f(x)的的 不不 定定 积

4、积 分分 dxxf)(.5dxx 被积表达式被积表达式积分变量积分变量,656xx .665Cxdxx )?()(xF例例1 1 求求.112 dxx解解 ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx解解例例2 2 求求),(xfy,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的 一一 个个 原原 函函 数数.)?()(xF例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1 1，2 2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为,22 Cxxdx根据题意知根据题意知,)(2Cxx f ,

5、1 C.12 xyCxFxdFdxxfdxxfdCxFdxxFxfdxxf )()(;)()()()(;)()(或或由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）CarcctgxdxxCarctgxdxx2211;11所求曲线方程为所求曲线方程为 xx 11)?()(xF注注:1)求导数与求不定积分是互逆运算求导数与求不定积分是互逆运算.11Cxdxx 2)同一函数的不定积分的结果形式会不同同一函数的不定积分的结果形式会不同)1(可用求导数的方法验证正确性可用求导数的方法验证正确性.)?()(xF实例实例 kCkxkdx()1(积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据积分运算和微分运算是互逆的，因此可以

6、根据求导公式得出积分公式求导公式得出积分公式.);1(1)2(1 Cxdxx二、基本积分表)?()(xF基基本本积积分分表表,0 x是常数是常数);,ln Cxxdx )ln(,0 xx说明：说明：,1)(1xxx ,)ln(Cxxdx,|ln Cxxdx.ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx 简写为简写为 dxx211)5()?()(xF;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8(xdx2sec;tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx xdxx tansec)10(;secCx xdxxcotc

7、sc)11()?()(xF;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx .2dxxx dxxx 2dxx 25)?()(xF例例4 4 求积分求积分Cx 125125解解.7227Cx Cxdxx 11 dxx g x f)()()1(;)()(dxxgdxxf根据根据积分公式积分公式（2）dxxgdxxf)()()?()(xF dxxgdxxf)()().()(xgxf 证证.)()(dxxfkdxxkf,00)(00 dxCdxk，任任意意常常数数时时，注注意意：当当 dxxkf)()2(

8、等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质)?()(xF.)(dxxfk（k是是常常数数，)0 k)()(dxxfkdxxfk),(xkf.00 dxdx证证.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113)?()(xF例例5 5 求积分求积分解解xarctan3 xarcsin2 C.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22说明：说明：被积函数需要进行恒等变形，才能使用被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表基本积分表.分项积分)?()(

9、xF例例6 6 求积分求积分解解dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx dxxx 24111dxxx)111(22 cxxx arctan33分项积分)?()(xF解：原式解：原式dxxx 241.2cos11 dxx dxx2cos11例例7：求求 dxx1cos2112加项减项)?()(xF例例8 8 求积分求积分解解 dxx2cos1211tan.2xCdxxxx 22sincos2cosdxxxxx 2222sincossincos dxxdxx22cos1sin1例例9：求求c o t ta nx xc .sincos22xxdx解：原式解：原式 xxdx2

10、2sincos dxxxxx2222sincossincos三角公式三角公式)?()(xF例例1010 求积分求积分dxxx )sec(csc22.tancotCxx 解解 则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx利用三角公式)?()(xF内容小结1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表(见见P 186)2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公

11、式代数公式,xe积分性质积分性质)?()(xF思考与练习1.若)()(xexfxeln提示提示:)(lnxfx1Cx221xexxx fd)(lnxexf)()?()(xF2.若x是0)(Cex fx 的原函数,则01)(lnCxxf提示提示:已知xCxxxf021)(lnCxCxln10;sin1)(xA;sin1)(xB,sin x)?()(xF3.若x;cos1)(xC.cos1)(xD的导函数为xxfsin)(则x的一个原函数是().)()(xfxsin)(提示提示:已知,cos)(1Cxxf求即Bxxfd)(21sinCxCx?或由题意.cossind)2(;)1(d)1(2222x

12、xxxxx其原函数为)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2()?()(xF4.求下列积分:xx22cscsec提示提示:xx22cossin22111xx)(2x2x.d113xeexxxeexxd113xeexxd1)1()?()(xF5.求不定积分解：)1(2xxeexeexxd)1(2Cxeexx22122221d1d1xxBxxAxxx221xx22211xxAxA)?()(xF6.已知21xB求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得2212)(xx ABA120ABA2121BANoImageNoImageNoImage)?()(xF作业作业P192 2 (1),(3),(5),(7),(25);2;5;6