线性代数与空间解析几何xtk课件

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1、习题课二习题课二判断下列结论是否正确判断下列结论是否正确,并说明理由并说明理由.1.|,.abab (1 1)若若 ,0,.a bc bbac (2 2)若若且且则则 ()().a b ca b c(3)(3)第第一一部部分分,.aabb (5 5)若若则则 ,/.ab acabc (6 6)若若则则 (1,1,1)a (7 7)是是单单位位向向量量.|,.ababab (8 8)若若则则 ()()0.abaabb (4 4)对于空间两点对于空间两点 P(2,2,5)和和 Q(1,6,7).试求试求:2.解解 3,8,2.PQ 3,8,2.PQPQ iPQ jPQ k 在在三三个个坐坐标标轴轴

2、上上的的投投影影分分别别为为(1)(1)01 Prj().|bababab ab 向向量量在在向向量量上上的的投投影影(4)(4)01771 3,8,2.|PQPQPQ (5)(5)0PrjaPQaPQ 1()4.|a PQa(3)(3)377cos,877cos,277cos.(2)(2)222|(3)8277.PQ :a根根据据下下列列条条件件求求向向量量3.解解(1)(1)2,1,3 0,5,1ab 与与向向量量平平行行:2,1,3 0,5,1b 0ab 16 1016,12,10.132 321,16,2,10;5 10 105 (2)(2),16,12,10.a 由由(1 1)可可设

3、设1Prj()|eae ae 12(1610)3 2;mmm Prj2ea 1;3m1316,12,10.a (3)(3),90,60;a 由由条条件件知知 在在的的方方向向角角中中222coscoscos1再再由由得得到到23cos,4 3cos;2|cos,cos,cos 0,3 3,3.aa 解解(1)(1)(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2.,4),ABCABC给给定定三三点点对对于于三三角角形形求求BABC(1 1)向向量量在在上上的的投投影影.ABC(2 2)的的面面积积.BCAD(3 3)上上高高的的长长度度.CCE(4 4)过过的的中中线线的的长长度度.ACBD4,2

4、,0,BA 0,2,2,BC PrjBCBA 1()2.|BC BABC ABC(2 2)的的面面积积.4,2,0 0,2,2BABC 4,8,8;12|6.ABCSBABC BCAD(3 3)上上高高的的长长度度.12|6BCAD|2 2BC|3 2.ADACBDECCE(4 4)过过的的中中线线的的长长度度.(2,1,0);E点点的的坐坐标标为为222|(20)(10)(02)3.CE 5.,;ab ab (1 1)求求 ,.ab ab (2 2)求求以以为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积解解(1)(1)3|cos,2a baba b ()()2,ababa ab b 222

5、|()()|2ababababa b 323127,222|21,ababa b (2)(2)()()ababaabbbaab2();ba|()()|2|ababb a 2|sin3.6ab 2cos,7ab ab 2,arccos.7ab ab|()()|sinabababab 477113.另另解解证证6.用数量积证明三角形的三条高交于一点用数量积证明三角形的三条高交于一点.,0)(,0)(acbcba从从而而,0 cbca ,0)()(acbcba,0)(bacABOC ,BCbc ;ABab ABCabOc?ABOC ,CAca1.求下列平面方程求下列平面方程:(0,0,0),(1,0

6、,1),(2,1,0).OAB(1 1)过过三三点点11(1,2,1),:1011,:112MxyzyxzL (2 2)过过点点与与平平面面垂垂直直 与与直直线线平平行行.0:,.1xzLxxyz (3 3)过过直直线线且且平平行行于于轴轴解解(1)(1)(i)用用点点法法式式:1,0,1 2,1,0 1,2,1;nOA OB 20.xyz 所所求求平平面面方方程程为为第第二二部部分分因为平面过原点因为平面过原点,故可设方程为故可设方程为 0.AxByCz :(ii)用用一一般般方方程程:将将 A,B 两点的坐标代入得两点的坐标代入得:020BACA,2;CA BA 20.xyz 所所求求平平

7、面面方方程程为为(0,0,0),(1,0,1),(2,1,0).OAB(1 1)过过三三点点11(1,2,1),:10,11:112MxyzyxzL (2 2)过过点点与与平平面面垂垂直直与与直直线线平平行行.解解1111,1,1,1,1,2;nLd 的的法法向向的的方方向向向向量量所所求求平平面面的的法法向向可可为为111,1,1 1,1,2nnd 3,1,2;3230.xyz 平面方程为平面方程为:3(1)(2)2(1)0,xyz直线直线 L 的方向向量为的方向向量为0:,.1xzLxxyz (3 3)过过直直线线且且平平行行于于轴轴解解(i)用用点点法法式式:1,0,1 1,1,11,2

8、,1;d ,;Lnd 因因为为所所求求平平面面过过直直线线所所以以其其法法向向,;xni 因因为为所所求求平平面面平平行行于于轴轴 所所以以其其法法向向1,2,1 1,0,00,1,2;ndi故故所所求求平平面面的的法法向向可可取取为为 平面方程为平面方程为:0)1(2)1(zy012 zy又由已知平面过又由已知平面过 L,故故(ii)用用一一般般方方程程:平面平行平面平行 x 轴轴,可设平面方程为可设平面方程为0;ByCzD ,nd 20;BC 从而从而0;BCD :1:2:1;B CD 由由上上面面两两式式得得到到平面方程为平面方程为:210.yz (iii)用用平平面面束束:设设平平面面

9、 的的方方程程为为(1)0,xzxyz :1,1.n 此此平平面面的的法法向向,xni 因因为为所所求求平平面面平平行行于于轴轴 所所以以其其法法向向10,1.平面方程为平面方程为:210.yz 2.求下列直线方程求下列直线方程:解解(1)(1)直线的方向向量直线的方向向量12 11,17,13;snn 234.111713xyz 直线方程为直线方程为,.sm n p 设直线的方向向量为设直线的方向向量为 1LL()2,1,0sOAks (2)(2)4320220mnpnmmnpm 1,2,1.sm 所求直线方程为所求直线方程为 123.121xyz4320;mnp 4,3,2s 20;mn

10、【注】【注】在研究有关直线及平面的一些复杂问题时在研究有关直线及平面的一些复杂问题时,关键是利用向量这一工具关键是利用向量这一工具,通过分析图形找思路通过分析图形找思路.3.若已知两异面直线为若已知两异面直线为112:,201xyzL 2112:.121xyzL 1L2LL1 2 解解11,;LL 如如图图为为和和张张成成的的平平面面求这两条直线公垂线求这两条直线公垂线 L 的方程的方程.22LL 为为和和张张成成的的平平面面.2,0,1 1,2,1 2,1,4;Ls 的的方方向向向向量量11 2,1,4 2,0,1 1,10,2,n 的的法法向向22 2,1,4 1,2,1 9,6,3,n 的的法法向向1L2LL1 2 1 的的方方程程为为102140;xyz 2 的的方方程程为为3230.xyz L的的方方程程为为102140.3230 xyzxyz 4.解答下问题解答下问题:解解(1)(1)|1111|4;33d 11:1;1xtLytzt 4,3t 111333(,)M 为为所所求求投投影影点点.1,1,1xtytzt 将将代代入入平平面面 的的方方程程得得到到解解(1,1,1)A(1,2,1)P 1,1,1s d|sindPA|PAsPAPAs|PAss 2.解解|1sin,3|n sns 1arcsin.3