泛珠第1届力学基础试及答案

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1、第一届泛珠三角物理奥林匹克高一组（2005年1 月29日9:00-12:00）【题 1】（10分）xA9B光滑平面上有两条长度均2 1、而质量分别为mA和mB的均匀蠕虫A 和B。它们的起始位置如图中实线所示，蠕虫A的质心位于x-y坐标 （0, 0）。（a）（3分）试用参量1, 0、mA和mB分别表示蠕虫質心B的座標和A+B 系统质心的座標。（b）（7分）蠕虫B开始慢慢从A身上爬过，爬时两虫的身体轴线始终 保持夹角。试分别写出：当蠕虫B如虚线所示爬过A后，两虫质心 A 和 B 位置的坐标。题 2】（12 分）两个具有相同质量m的橡胶球碰撞后，仍沿原直线运动。（a）（5分）两橡胶球以相同速率v迎头

2、相撞后反弹，且在碰撞过程中损失了 36%的动能。求球反弹的速度。（b）（7分）一橡胶球以速率v撞向另一静止橡胶球。求两球各自速度和总共损失的动能。w注意：只有当两球以相同速率迎头相撞时，碰撞过程中损失的动能才是原来的36%.【题 3】（14分）一质量为m的人站在一以角速度w旋转的厚度质量均匀，质量为2m,（a）（2 分） 求整个系统的角动量矩 L。为了减速该人准备向外扔石子。石子扔出时相对于他的速度为v,方向与半径方向成夹角0。（b）（6分）求当他扔了一石子后圆台的角速度，并找出使角速度减少最多的夹角。max（c）（6 分）求当他以0max扔光石子后圆台的角速度。max【题4 】（20分）图中

3、A是一放在滑动摩擦系数为卩A地面上、质量为M的 立方体木块。B是一个固定在木块A上的定滑轮，质量不 计。C是一用不可伸长的轻细线拴着、质量为m的小木块, 它的一边与木块A的竖直边紧靠着，接触面的滑动摩擦系数为C。拴小木块C的轻细线跨过光滑的定滑轮B固定在竖直墙上，从固定点0到定滑轮B的 那段细线是水平的。试：（a）（12 分）分别绘出木块A和木块C的受力图，及指出运动方向。（8 分）求木块A的加速度。【题5】（18 分）如图所示，长为L的细绳上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端系一质量为 m的小球竖直悬挂起来，A点是平衡时小球的位置，保持绳绷直。将小球从A点拉 开到绳水平的位置B,然后在OA

4、连线上于墙上固定一细长的钉子于某点。当摆到竖直位置再向左摆时，钉子就挡住摆线，结果只有钉子以下部分可继续向左摆。设摆球作圆周运动的过 程中摆线始终处于拉直状态。问下列两种情况下，钉子到悬点O的距离X1和X2各是多少？(a) (7分)将球释放后，绳被钉子01挡住，摆球以01为圆心做圆周运动，并可绕过钉子的正上方C点，如 图(a)所示。(b) (11分)将球释放后，绳被钉子02挡住后，小球以02为圆心做圆周运动，并在D点作斜上拋运动，刚好 能击中钉子02,如图(b)所示。图(a)图(b)【题6】(26分)如图所示，长度为2 l重量为P的均质杆AB放在半圆形的半径为r的光滑槽内(r l 2r )。O

5、A(a) 试(i) (6分)绘出AB杆的受力图；(ii) (8 分)求AB杆平衡时与直径CD的夹角卩及A、D两点的约束反力Na、Nd。(用参量l, r及P表示。)/(b) 设k=，试r(i) (4分)求当比值k=2时的夹角申 及约束反力Na、Nd，并绘出此时AB杆位置示意图；(ii) (3 分)求当夹角申=3Oo时的k值，及约束反力NA、ND。(c)(5 分)试指出杆AB的平衡状态(稳定平衡/不稳定平衡/随遇平衡)，并加以简单解释。第一届泛珠三角物理奥林匹克高一组 赛题解答香港物理奥林匹克委员会委员、泛珠三角物理奥林匹克竞赛委员会秘书长吴肇祖博士1. (11分)(a) 蠕虫 B 爬行前 二虫质

6、心位置的坐标:A(0, 0), B(l cos 9, -1 sin 9),m l sin 9 ) BM丿(b) 蠕虫 B 爬过 A 后 二虫质心位置的坐标: A(X, Y), B(X -1cos9, Y +1sin9),m X + m (X -1 cos9)AB,M则系统质量中心 C则系统质量中心 C, 其中 M=m A+mB.3m Y + m (Y +1 sin 9 )ABM系统在水平面上没有受到外力作用，质心在该面上的位置不会改变(质心守恒定律)。m X + m (X -1 cos9 )AB(Mm Y + m (Y +1 sin 9) ABMm l cos9m l sin9、(MM 丿蠕虫

7、B爬过A后 二质心位置的坐标为(2m2m、竺 l cos9,-竺 l sin9M 丿 (m -m i n m -m八、二 B - aB l cos9, ab l sin9( MM丿B(X -1 cos9, Y +1 sin9)2. (12 分)(a) 设碰撞后两球速度为 u1, u2.由动量守恒定律,mv + (-mv)二 mu + mu1 2 2:.u = -u 二 u12 由能量守恒定律,imv2 + im(-v)2 = imu2 +1m(-u)2 + 動能損失(36%)2 2 2 2(1 - 36%)( mv 2 + i m(-v)2 )= + mu 2 + + m(-u )22 2 2

8、 2. 两球反弹的速度 u = 0.8 v .3(b) 一橡胶球以速率v撞向另一静止橡胶球，即碰撞前两球系统的质量中心以0.5v的速 度移动，且碰撞后亦如此，因碰撞仅涉及两球间的内力，并无外力作用于系统上。 2在质心相对参考系中，质心静止，两球则以v - 0.5v = 0.5v,及0 - 0.5v = -0.5v的速度迎 头相撞，且在碰撞过程中损失了 36% 的动能。 1由题(a),两球反弹的速度0.4 v (在质心相对参考系中)。1那幺，两球各自速度= 0.5 v 0.4 v =0.9 v及0.1 v.1系统碰撞前的动能=1 mv 2 ,2碰撞后的动能=im(0.9v)2 + + m(0.1

9、v)2 = 0.82 x + mv2 = (1 -18%) x系统碰撞前的动能， 2 2 2在碰撞过程中损失了 18%的动能.23. (14分)(a) 整个系统的角动量矩L = i(2m)R2 0 + (m +10x0.1m)r20 = m(R2 + 2r2)22(b) 石子的相对轴向速度和相对切向速度为v = v cos 0 v = v sin 0 + ror，0一个石子带走的角动量矩AL = (0.1m)(v sin0 + r) r, andAL = L一 L = m(R2 + 2r2)o -m(R2 + 1.9r2)o11 当他扔了一石子后圆台的角速度0.1rvR 2 + 1.9r 2s

10、in 0 .因此，使角速度减少最多的夹角0max=202max0.1rv则 0=0 -.1IminR 2 + 1.9r 2(c)当他以0max投掷第2个石子时角动量矩的变化maxAL = (0.1m)(v + ro ) r 和 AL = L - L = m(R2 + 1.9r2)o -m(R2 + 1.8r2)o 21 1 2 1 于是0.1rvo =o -21R 2 + 1.8r 20.1rvR 2 + 1.9r 20.1rvR 2 + 1.8r 2- 0.1rv1R 2 + 1.9r 21 )+R 2 + 1.8r 2 丿当他扔光 10 个石子后圆台的角速度o = o - 0.1rv.21

11、0R 2 + (2 - 0.1n)r 2n=14. (19 分)(a)6分mg5分(b) 由牛顿运动定律得到物体 A: T - N - f = Ma ,(1)1AAR-Mg -T-f = 0;(2)1物体 C： N 二 ma ,(3)1Cxmg - T - f = ma ,(4)1Cy其中f二卩R, f二卩N (5)1AAC由于细线不可伸长,aAaxaCya.(6)1由至(6),解得：a二工g .2(2 一卩 + 卩)m + MAC5. (18 分)(a)取摆球绕过钉子作圆周运动的最高点(钉子的正上方C)为重力势能零点，则小球从 B 摆动到 C 的过程中机械能守恒，有.mg(L - 2R )=

12、 mv 2;(1)21 2 C向心力m = T - mg cos9 ,当张力T = 0时摆球就可绕过C点，此时 2 Rv2m = -mg cos180o = mg ,(2)1R123由(1)和(2)解得R =_ L, x = L - R =-L 21 5115(b) 取点 D 为重力势能零点，则小球从 B 摆动到 D 的过程中机械能守恒(1)mv 2;2 dmg(L - R - R cos9 )= 12(2)5向心力+ mg cos9 ,其中 T = 02小球由 D 点作斜上拋运动击中 O2, 所用时间为 t , 则有-R cos9= v sin9 t - gt2,(3)2 D 2R sin9

13、 = v cos9 t 2D由(1), (2), (3)和(4), 解得 R2 =2右 L , X2 = L - R2 =H1 (4)1L.6. (26 分)(a)(i)取AB杆为研究对象。由于AB杆受NA(指向圆心O),1ND(垂直于AB杆)1及P三力而平衡，根据三力平衡汇交定理，此三力作用线应交于圆上一点E。1在此平衡位置上画出AB杆的受力图：3可通.l + T l2 + 32r2.cos =, or8rl,where k= .(2)1r(ii)过几何关系求出角 (=ZODA=ZOAD = ZDEF), ZAEG=9Oo-2 .DF = DE sin = (AE sin ) sin =2r

14、 sin2 = 2r -2r cos2 ,1DF = DG cos = (DA-GA) cos = (2r cos -l ) cos = 2r cos2 -l cos ,14r cos2 - l cos - 2r = 0 ,l4x2 - 2(1)=,where x=cos .rxSF =0, N sin(90o 2) N sin 甲二 0,x A DSF =0, N cos(900 -2)+ N cos -P=0y A D. NA= Ptan ,(3)1A(4)1n = p cos2Dcos (i) 由(b)(iii)由题(a)中的(1),和式，比值k=1.155,及约束反力Na=Nd=0.5

15、77P.3xcosk=l / r(1)Na/PA(3)ND/P(4)0012010.9961.97710.0870.988501953948957100.9841.90830.1760.954080878327189150.9651.79310.2670.896092651949575200.9391.63040.3630.81506931597207250.9061.41840.4660.709030875308238300.8661.15470.5770.5770025013535350.8190.83500.7000.417015259208529400.7660.45330.8390.

16、2260044631682450.7070107010(c)对于任何微小角位移&杆AB的位置如图所示。k=l/ rxCOS (2)21000.967014.71.841500.934820.81.647000.903425.31.44900.872829.21.242100.843032.517300.814135.50.843000.786038.10.673800.758840.60.472400.732542.90.24900BD.CGNOTND设圆弧上点E为约束反力Na与ND作用线的交点，及d表示E点至重力P的距离，则 巩=Pd丰0,即力矩Pd,在申6两种情况下，都会使杆AB恢复到如虚线所示的平衡位置，此时重力P的作用线也汇 交于E点。