矩阵分析基础

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1、矩阵分析基础第1章 线性空间与线性变换在线性代数中我们已经学过线性空间和线性变换的概念，因此在本章的1.11.3节中仅对线性空间和线性映射的概念作简单介绍，1.4节讲解子空间的概念.1.1 线性空间及其性质定义1.1 设V是一个非空集合，F是一个数域，称V为按所定义的运算构成F上的线性空间(简称V为F上的线性空间或向量空间)，如果 (1) 在V中定义了加法，使对于任意的,V，存在唯一的元素V与之对应，称为与的和，记作+=; (2) 在V中定义了数乘，使对于任意的V及任意F，存在唯一的元素V与之对应，称为与的积，记作=; (3) 所定义的加法与数乘合起来是线性运算，即这两种运算满足运算法则 +=

2、+; (+)+=+(+); 在V中存在零元素，以0表示，使对于任何V，都有+0=; 对任何V都有V，使+=0，称是的负元素； 存在单位数1F，使得1=; ()=(); (+)=+; (+)=+; 其中,V; ,F.数域F上的线性空间V记为V(F), V中元素不论其本来的性质为何，统称为向量.注 (1) 这里的向量不一定是有序数组； (2) 这里的单位数1不一定是实数1，它与所定义的运算有关.例1.1 次数不超过n的实系数多项式全体记为Pxn，即Pn=pn|pn=anxn+an-1xn-1+a1x+a0, an,a0R,则Pxn按着通常的多项式加法及数与多项式的乘法构成线性空间.这是因为Pxn对

3、于上述两种运算显然是封闭的且满足8条运算律，所以Pxn是R上的线性空间.例1.2 正实数全体记作R+，即R+=a|a0, aR, 在R+中定义加法及数乘为abdefab, adefa,其中a,bR+,R.证明R+对上述加法和数乘构成R上的线性空间.证 实际上要验证10条.对加法的封闭性： 对于任何a,bR+，有ab=abR+;对数乘的封闭性： 对于任何R,aR+，有a=aR+;(1) ab=ab=ba=ba;(2) (ab)c=(ab)c=(ab)c=a(bc)=a(bc)=a(bc);(3) 在R+中存在零元素1，使对任何aR+，有a1=a1=a;(4) 对于任何aR+，有负元素a-1R+，

4、使aa-1=aa-1=1;(5) 存在单位数1R，使1a=a1=a;(6) (a)=a=(a)=a=()a;(7) (+)a=a+=aa=aa=(a)(a);(8) (ab)=(ab)=ab=(a)(b);其中a,b,cR+,R.因此R+对所定义的加法“ 、数乘“”构成R上的线性空间.从这个例子可以看到，线性空间中定义的加法和数乘不一定是通常意义上的加法与数乘，只是人为地把这两种运算叫做加法与数乘.例1.3 按通常的向量加法与数乘，Rn是实数域上的线性空间，Cn是复数域上的线性空间，但Rn不是复数域C上的线性空间.线性空间具有以下简单性质.性质1 零元素唯一，负元素唯一.证 事实上，设01,0

5、2均为V(F)的零元素，则01=01+02=02+01=02;其次，设X1,X2均为XV(F)的负元素，0为V(F)的零元素，则X1=X1+0=X1+(X+X2)=(X1+X)+X2=0+X2=X2. 由于负元素的唯一性,可记向量X的负元素为-X.性质2 设,0,-1,1F, X,-X,0V(F),则(1) 0X=0;(2) (-1)X=-X;(3) 0=0;(4) 若X=0，则=0或X=0.证 因为XV(F)，有(1) X+0X=1X+0X=(1+0)X=1X=X，故0X=0; (2) X+(-1)X=(1-1)X=0X=0，故(-1)X=-X; (3) 0=(X-X)=X-X=(-)X=0

6、X=0; (4) 若0且X0，则X=1X=1X=1(X)=10=0.这与X0矛盾，故0与X0不能同时成立.定义1.2 设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对V中所定义的加法和数乘两种运算构成线性空间，则称L为V的子空间.一个非空子集要满足什么条件才能够成子空间呢？因L是V的一部分，V中的运算对L而言，规律, , , , , 显然是满足的，因此只要L对所定义的两种运算封闭且满足规律, 即可，但由线性空间的性质知，若L对运算封闭，则即满足规律, ，因此有以下定理.定理1.1 线性空间V的非空子集L构成线性空间的充要条件是L对于V中的运算封闭.1.2 线性空间的维数、基与坐标在Rn中有了

7、向量的坐标表示式后，对于理论分析和实际应用都很方便，为此，本节将Rn中有关基、维数和坐标等概念推广到一般线性空间中去.首先需要定义V(F)中元素的线性相关性等概念.为了方便，以后将i=1,2,n记为in.定义1.3 设XiV(F),kiF,im，若有X=k1X1+k2X2+kmXm=mi=1kiXi,则称X可由X1,X2,Xm线性表示，或称X是X1,X2,Xm的线性组合.定义1.4 V(F)中的向量组X1,X2,Xm称为是线性相关的，系指存在m个不全为零的数kiF,im，使mi=1kiXi=0; (1-1)否则称向量组X1,X2,Xm是线性无关的，即仅当ki=0,im时，式(1-1)才成立.与

8、Rn类似，在V(F)中，下列命题成立.命题1 当m2时，V(F)中的向量组X1,X2,Xm线性相关的充要条件为该向量组中至少有一个向量可由组中其余向量线性表示.命题2 若V(F)中向量组的某一子向量组线性相关，则该向量组也线性相关；反之，若该向量组线性无关，则其任何子向量组也线性无关.定义1.5 线性空间V(F)中的向量组X1,X2,Xn称为V(F)的基，若 (1) X1,X2,Xn是线性无关向量组； (2) V(F)中任一向量均可由向量组X1,X2,Xn线性表示.线性空间V(F)的基中所含向量的个数n称为V(F)的维数，记为dimV(F)=n, 并称V(F)为n维线性空间，可简记为Vn(F)

9、.特别地，若对任何nZ+(Z+表示正整数集)，在V(F)中均可找到n个线性无关的向量，则称V(F)为无限维线性空间.只含零向量的线性空间的维数规定为零.定义1.6 设X1,X2,Xn为Vn(F)的基，则对XVn(F)，其表达式X=ni=1kiXi, kiF中的ki,in称为向量X关于基X1,X2,Xn的坐标.坐标也可以表示为向量形式(k1,k2,kn)T.例1.4 在Rn中，向量组e1=(1,0,0)T, e2=(0,1,0,0)T, , en=(0,0,1)T是线性无关的，它是Rn的基，易证向量组e1=(1,1,1)T,e2=(0,1,1)T, , en=(0,0,1)T也是线性无关的，故它

10、也是Rn的基.由此可见，线性空间的基不唯一.例1.5 设Pxn为次数不大于n的实系数多项式全体所组成的集合，易证1,x,x2,xn是Pxn的一个基，若p(x)Pxn，且p(x)=a+a1x+a2x2+anxn, 则a0,a1,an就是p(x)关于基1,x,x2,xn的坐标.若又取1,(x-a),(x-a)2,(x-a)n为Pxn的基，其中a为域R中的常数，则由泰勒公式知p(x)=p(a)+p(a)(x-a)+p (a)2!(x-a)2+p(n)(a)n!(x-a)n, 故p(x)在基1,(x-a),(x-a)2,(x-a)n下的坐标为p(a),p(a),12!p (a),1n!p(n)(a).

11、由此可见，在线性空间中，元素的坐标由基唯一确定，当基改变时，坐标将随之改变.那么,如果Vn(F) 的两个基之间的关系已知，如何由此推断Vn(F)的元素关于这两个基的坐标之间的关系呢？设1,2,n与1,2,n为Vn(F)的两个基，且1=a111+a212+an1n, 2=a121+a222+an2n, n=a1n1+a2n2+annn, (1-2)若记A=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann,则式(1-2)可表示为1,2,n=1,2,nA, (1-3)或 (1)T(2)T(n)T=ATT1T2Tn,(1-4)其中矩阵A称为由基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵或基变换矩阵.定理

12、1.2 设1,2,n=1,2,nA，若XV(F)，有X=x11+x22+xnn=y11+y22+ynn,(1-5)则(x1,x2,xn)T=A(y1,y2,yn)T, (1-6)或(y1,y2,yn)T=A-1(x1,x2,xn)T. (1-7)证 由X的表达式(1-5)有X=1,2,n(x1,x2,xn)T=1,2,n(y1,y2,yn)T=1,2,nA(y1,y2,yn)T.再由坐标表示式的唯一性知式(1-6)成立.又A可逆，故也可得到式(1-7).式(1-6)或式(1-7)就是当基变换矩阵A已知时，X关于两个基的坐标之间的关系.例1.6 设e1,e2,en与e1,e2,en为Rn的两个基

13、(见本节例1.4)，若XRn，且X=x1e1+x2e2+xnen=y1e1+y2e2+ynen, 求e1,e2,en到e1,e2,en的过渡矩阵A及X在两个基下的坐标之间的关系.解 显然有e1,e2,en=e1,e2,enA, 其中A=1000110011101111为过渡矩阵，且A-1=1000-11000-11000-11,代入式(1-7)得y1=x1,y2=x2-x1,y3=x3-x2,yn=xn-xn-1.例1.7 在R4中，求=(1,2,1,1)T在基1=(1,1,1,1)T, 2=(1,1,-1,-1)T,3=(1,-1,1,-1)T,4=(1,-1,-1,1)T下的坐标.解 设=

14、(1,2,1,1)T在所给基1,2,3,4下的坐标为k1,k2,k3,k4，则有=k11+k22+k33+k44,即(1,2,1,1)T=k1(1,1,1,1)T+k2(1,1,-1,-1)T+k3(1,-1,1,-1)T+(1,-1,-1,1)T,所以k1+k2+k3+k4=1,k1+k2-k3-k4=2,k1-k2+k3-k4=1,k1-k2-k3+k4=1,解得k1=54, k2=14, k3=-14, k4=-14.所以在所给基1,2,3,4下的坐标为(5/4,1/4,-1/4,-1/4)T. 例1.8 在R22中，求A=1210在基A1=1111, A2=1110, A3=1101,

15、 A4=1011下的坐标.解 令A=k1A1+k2A2+k3A3+k4A4,即1210=k11111+k21110+k31101+k41011=k1+k2+k3+k4k1+k2+k3k1+k2+k4k1+k3+k4,得k1+k2+k3+k4=1,k1+k2+k3=2,k1+k2+k4=1,k1+k3+k4=0,求得k1=1, k2=1, k3=0, k4=-1,所以A在基A1,A2,A3,A4下的坐标为(1,1,0,-1)T.例1.9 在R4中，求由基1,2,3,4到基1,2,3,4的过渡矩阵，其中1=(1,2,-1,0)T,2=(1,-1,1,1)T,3=(-1,2,1,1)T,4=(-1,

16、-1,0,1)T, 1=(2,1,0,1)T,2=(0,1,2,2)T,3=(-2,1,1,2)T,4=(1,3,1,2)T,并求=(1,-1,-1,1)T在基1,2,3,4下的坐标.解 设1=(1,0,0,0)T, 2=(0,1,0,0)T, 3=(0,0,1,0)T, 4=(0,0,0,1)T,则1=1+22-3=(1,2,3,4)12-10,2=1-2+3+4=(1,2,3,4)1-111,3=-1+22+3+4=(1,2,3,4)-1211,4=-1-2+4=(1,2,3,4) -1-101,所以(1,2,3,4)=(1,2,3,4)11-1-12-12-1-11100111. (1-

17、8)同理1=21+2+4=(1,2,3,4)2101,2=2+23+24=(1,2,3,4)0122,3=-21+2+3+24=(1,2,3,4)-2112,4=1+32+3+24=(1,2,3,4)1312,故(1,2,3,4)=(1,2,3,4)20-21111302111222, (1-9)把式(1-8)代入式(1-9)得(1,2,3,4)=(1,2,3,4)20-21111302111222=(1,2,3,4)11-1-12-12-1-11100111-120-21111302111222=(1,2,3,4)11332-655-134-2341-3-2-7820-21111302111

18、222=(1,2,3,4)1001110101110010,所以1,2,3,4到1,2,3,4的过渡矩阵为T=1001110101110010.设在1,2,3,4下的坐标为Y=(y1,y2,y3,y4)T，即=(1,2,3,4)1-1-11=(1,2,3,4)y1y2y3y4,由式(1-9)知=(1,2,3,4)1-1-11=(1,2,3,4)20-21111302111222y1y2y3y4,y1y2y3y4=20-21111302111222-11-1-11=1134-6-8112-39-1-3-2-78-182-61-1-11 =1133-514-17.1.3 线性映射与线性变换本节引进

19、线性映射和线性变换的概念，它们在研究线性空间之间的关系中是很有用的.1.3.1 线性映射与线性变换的定义和性质定义1.7 设M与M是两个集合，若对于每个XM，通过某种法则，在M中有唯一确定的Y与之对应，则称是由M到M的一个映射，记为: MM 或 (X)=Y,此时Y称为X的像，而X称为Y的原像.例1.10 设函数y=f(x)的定义域为a, b,值域为c, d,则f即为由数集a, b到数集c, d的一个映射.例1.11 对于任何ARnn，定义(A)=detA，则是由Rnn到实数集R的一个映射.例1.12 记Fx=f(x)|f(x)可导,Fx=f(x)|f(x)=df(x)dx, f(x)Fx,则f

20、(x)=f(x)是Fx到Fx的一个映射.定义1.8 设V(F)与W(F)是两个线性空间，是由V(F)到W(F)的一个映射，且(X+Y)=(X)+(Y), X,YV(F),(X)=(X), F,XV(F),则称映射为由V(F)到W(F)的线性映射.特别，若还有W(F)V(F)，则称线性映射为V(F)上的线性变换.如例1.11中的(A)=detA不是线性映射；例1.12中的f(x)=f(x)是线性映射，如将Fx换成Px(数域R上的多项式全体)，则f(x)是P上的线性变换;当ARnn,XRn时，令(X)=AX，则是Rn上的线性变换；恒等变换(X)=X，零变换0(X)=0都是Rn上的线性变换.线性映射

21、具有以下性质.定理1.3 设:V(F)U(F)是线性映射，则(1) (0)=0，其中0与0分别为V(F)与U(F)的零元素；(2) (-X)=-(X),XV(F); (3) 将V(F)中的线性相关向量组映射为U(F)中的线性相关向量组；(4) 设V1(F)是V(F)的子空间，记(V1(F)=(X)|XV1(F),则(V1(F)是U(F)的子空间，且dim(V1(F)dimV1(F). 证 这里只就(3)、(4)进行证明，其他证明留给读者.(3) 设iV(F),im是线性相关向量组，由线性相关的定义，存在m个不全为零的数k1,k2,km，使得k11+k22+kmm=0. (1-10)对式(1-1

22、0)两边取映射，有k1(1)+k2(2)+km(m)=0, 0U(F),所以(3)成立.(4) (V1(F)是U(F)的子空间的证明留给读者，这里只证明dim(V1(F)dimV1(F).设1,2,m是(V1(F)的基，且i=(i), iVi,im，则由(3)知1,2,m线性无关，故V1中至少有m个线性无关的向量，所以(4)成立.定理1.4 设线性映射i:V(F)U(F)(im)及:U(F)W(F)，则=mi=1ii, iF,im是由V(F)到U(F)的线性映射，而i, im是由V(F)到W(F)的线性映射.(证略)定理1.5 设是Vn(F)上的线性变换，1,2,n为Vn(F)的基，则(1)

23、若1是Vn(F)上的另一个线性变换，且1(i)=(i), in,则1=; (2) 存在唯一的AFnn，使(1,2,n)=(1,2,n)A,称A为线性变换在基1,2,n下的矩阵；(3) 对于任意XVn(F)，若有a,bFn，使X=(1,2,n)a, (X)=(1,2,n)b,则b=Aa.证 (1) 任取XVn(F)，设X=k11+k22+knn,则由(X)=(k11+k22+knn)=k1(1)+k2(2)+kn(n)=k11(1)+k21(2)+kn1(n)=1(k11+k22+knn)=1(X),知=1.(2) 设(i)=(1,2,n)ai, aiFn,in, 令A=(a1,a2,an),则

24、有(1,2,n)=(1,2,n)A,又由坐标的唯一性知A唯一.(3) 因为(X)=(1,2,n)a=(1,2,n)a=(1,2,n)Aa,又由(X)=(1,2,n)b及坐标的唯一性，得b=Aa, 定理1.6 设1,2,n与1,2,n为Vn(F)的两个基，为Vn(F)的线性变换，且(1,2,n)=(1,2,n)A,(1,2,n)=(1,2,n)B,(1,2,n)=(1,2,n)T,则B=T-1AT,即B与A相似.证 因为(1,2,n)=(1,2,n)B=(1,2,n)TB,另一方面(1,2,n)=1,2,n)T=(1,2,n)T=(1,2,n)AT,所以AT=TB.由于T可逆，故B=T-1AT.

25、 例1.13 设1=(1,0,2,1)T, 2=(0,1,0,1)T, 3=(0,0,1,1)T, 4=(0,0,0,1)T;1=(1,0,0,0)T, 2=(1,1,3,0)T, 3=(1,0,1,0)T, 4=(1,0,0,1)T为R4的两个基，且在线性变换下有(1)=(1,1,0,0)T, (2)=(1,1,1,0)T,(3)=(1,1,1,1)T, (4)=(1,0,1,1)T, 求在基1,2,3,4下的矩阵.解 设(1,2,3,4)=(1,2,3,n)T,将两个基代入得T=11110100-21-1-21-302. 设(1,2,3,4)=(1,2,3,4)B,将1,2,3,4与(1)

26、,(2),(3),(4)代入得B=321-11110-3-2-210011. 设(1,2,3,4)=(1,2,3,n)A,由定理1.6有A=TBT-1=10000-1-1-11-1211011. 例1.14 设R3中线性变换将基1=11-1, 2=02-1, 3=10-1变为基1=1-10, 2=01-1, 3=03-2. (1) 求在基1,2,3下的矩阵A; (2) 求向量=(1,2,3)T及()在基1,2,3下的坐标；(3) 求向量及()在基1,2,3下的坐标.解 (1) 易求(1)=1=1-2,(2)=2=-1+2+3,(3)=3=-1+22+3,因此在基1,2,3下的矩阵为A=1-1-

27、1-112011. (2) 设=(1,2,3)x1x2x，即123=101120-1-1-1x1x2x3,解得x1=10,x2=-4,x3=-9，所以向量=(1,2,3)T在基1,2,3下的坐标为(10,-4,-9)T.由定理1.5的第(3)条知()在基1,2,3下的坐标为 y1y2y3=1-1-1-11201110-4-9=23-32-13. (3) 向量在基1,2,3下的坐标为A-110-4-9=101-1-1111010-4-9=1-156.()在基1,2,3下的坐标为A-1-23-32-13=101-1-11110-23-32-13=10-4-9.1.3.2 线性变换的特征值和特征向量

28、线性变换的特征值和特征向量是矩阵理论的重要概念，它在矩阵理论中占有十分重要的地位，在物理、力学、工程中具有实际意义.定义1.9 设是n维线性空间Vn(F)上的线性变换，0F是一个常数，如果存在非零向量XFn，使得(X)=0X, (1-11)则称0是线性变换的一个特征值，X是属于0的特征向量.下面讨论特征值和特征向量的具体求法.设1,2,n是线性空间Vn(F)的一个基，线性变换在这个基下的矩阵为A, 0是线性变换的一个特征值，X是属于0的特征向量，如果X=(1,2,n)x1x2xn,代入式(1-11)有(X)=0(1,2,n)x1x2xn. (1-12)由于(1,2,n)=(1,2,n)A,代入

29、式(1-12)有(1,2,n)Ax1x2xn=0(1,2,n)x1x2xn,由于1,2,n是线性无关的，故有Ax1x2xn=0x1x2xn. (1-13)式(1-13)是特征向量X在基1,2,n下的坐标(x1,x2,xn)T所满足的条件，因此有(0-a11)x1-a12x2-a1nxn=0,-a21x1-(0-a22)x2-a2nxn=0, -an1x1-an2x2-(0-ann)xn=0, (1-14)由于特征向量是非零向量，即式(1-14)有非零解，由克拉默(Cramer)法则知，必有|0I-A|=0-a11-a12-a1n-a210-a22-a2n-an1-an20-ann=0. (1-

30、15)将式(1-15)展开得|0I-A|=n0-(a11+a22+ann)n-10+(-1)n|A|=0. (1-16) 由上面的讨论知，如果0是线性变换的特征值，则0满足式(1-16).反之，如果0满足式 (1-16)，则0是线性变换的特征值，即有以下结论.定理1.7 是线性变换的特征值的充分必要条件是满足方程|I-A|=0. (1-17) 式(1-17) 称为线性变换的特征方程，式(1-16) 中|0I-A|的展开式称为线性变换的特征多项式.由于线性变换与矩阵A具有一一对应关系，所以也称式(1-17) 为矩阵A的特征方程，式(1-16)中的展开式为矩阵A的特征多项式，亦称为A的特征值，而X

31、称为A的特征向量.今后如无特别声明，对线性变换和矩阵的特征值、特征向量等不加区别. 将特征值0代入方程组 (0I-A)X=0, (1-18)所得的解即为属于0的特征向量.A的特征值全体称为A的谱，记为(A).对于矩阵有以下结论.定理1.8 相似矩阵具有相同的特征多项式和相同的谱.1.4 线性子空间子空间的概念前面已经讲过，这里对子空间的概念作进一步的讨论.设V(F)是一线性空间，则0及V(F)本身也是V(F)的子空间，称0为V(F)的零子空间.这两个子空间称为V(F)的平凡子空间，而其他的子空间称为V(F)的非平凡子空间.例1.15 设X1,X2,Xm为Vn(F)的一个向量组，令T=X|X=m

32、i=1aiXi, aiF, XiVn(F), im,则T是Vn(F)的线性子空间.一般地，称T为由向量组X1,X2,Xm生成的子空间，记为spanX1,X2,Xm或LX1,X2,Xm,即T=spanX1,X2,Xm.例如,取X1=(1,0,0)T,X2=(0,1,0)T，则LX1,X2=x,y,0Tx,yR,即LX1,X2为三维几何空间中的xOy平面.定理1.9 设XiV(F),im，则dimLX1,X2,Xm=rankX1,X2,Xm,其中rankX1,X2,Xm表示向量组X1,X2,Xm的秩.(证略)定理1.10 设Xi,YjVn(F),im,js，则spanX1,X2,Xm=spanY1

33、,Y2,Ys的充要条件为向量组X1,X2,Xm与Y1,Y2,Ys等价.注 两向量组等价系指两向量组可相互线性表示.定理1.11 (基可扩充定理)设Wm是Vn(F)的子空间，X1,X2,Xm是Wm的一个基，则这个基一定可以扩充为Vn(F)的基.即可找到n-m个向量Xm+1,Xm+2,Xn，使X1,X2,Xn为Vn(F)的基.(证略)定义1.10 设U,W均为线性空间Vn(F)的子空间，则称UW=X|XU 且 XW (1-19)为U与W的交；称U+W=X|X=u+w,uU,wW (1-20)为U与W的和，特别当UW=0时，和U+W称为U与W的直和，为区别起见，直和记为“ ，即UW.注 这里的交与集

34、合的交的概念一致，但子空间的和与集合的并的概念是不同的.例1.16 在R3中，设子空间U为xOy面，W为xOz面，则UW为x轴，而U+W为R3.定理1.12 设U与W均为V(F)的子空间，则由式(1-19)和式(1-20)所定义的集合UW,U+W均为V(F)的子空间,分别称为V(F)的交空间和和空间.注 在子空间的运算中，交相对于和的分配律一般不满足，即假设Q,S,T均为V(F)的子空间，一般有Q(S+T)(QS)+(QT). (1-21)例如,在R2中，任取两个线性无关的向量X1,X2，令Q=spanX1, S=spanX2, T=spanX1+X2,则Q(S+T)=QR2=Q，而(QS)+

35、(QT)=0，可见式(1-21)中等号不成立.定理1.13 设U, W均为线性空间V(F)的子空间，则下列诸条件等价： (1) U+W是直和；(2) ZU+W的表达式唯一；(3) 若X1,X2,Xr是U的基，Y1,Y2,Ys是W的基，则X1,Xr,Y1,Ys是U+W的基；(4) dim (U+W) =dimU+dimW.证 (1)(2)设U+W=UW，则UW=0，若某个ZU+W的表达式不唯一，即设Z=x+y=x+y, x,xU, y,yW, xx.令u=x-x=y-y，则uUW，且u0，这与UW=0矛盾.(2)(3)设ZU+V,Z的表达式唯一，由(3)的条件知U+W=spanX1,Xr,Y1,

36、Ys，要证(3)，只需证X1,Xr,Y1,Ys线性无关即可.设X1,Xr,Y1,Ys线性相关，则存在aRr,bRs不全为零，使X1,Xra+Y1,Ysb=0,于是0有两个不同的表达式，这与(2)矛盾,故(3)成立.(3)(4)显然.(4)(1)反证： 设UW0，取0uUW，则存在不全为零的数ai,bjF,ir,js使u=ri=1aiXi=sj=1bjYj,于是X1,Xr,Y1,Ys线性相关，所以dim (U+W) r+s=dimU+dimW,矛盾.故必有UW=0，即(1)成立，其中X1,Xr与Y1,Ys分别为U与W的基.定理1.14 设U与W均为V(F)的子空间，则dimU+dimW=dim

37、(U+W) +dim (UW) , (1-22)该定理称为子空间的维数定理.证 设dimU=r,dimW=s，且X1,Xm是UW的基，易知UW分别为U与W的子空间，由基可扩充定理知，可由X1,Xm扩充为U的基X1,Xm,m+1,r及W的基X1,Xm,m+1,s,于是只须证dim (U+W) =r+s-m. (1-23)显然U+W=spanX1,Xm,m+1,r,m+1,s,要证式(1-23),只须证X1,Xm,m+1,r,m+1,s线性无关.为此，设有等式a1X1+amXm+bm+1m+1+brr+lm+1m+1+lss=0, (1-24)令u=a1X1+amXm+bm+1m+1+brr=-l

38、m+1m+1-lss, (1-25)则uU且uW，于是uUW，故有u=k1X1+kmXm.代入式(1-25)有k1X1+kmXm+lm+1m+1+lss=0. (1-26)由X1,Xm,m+1,s的线性无关性知lm+1=lm+2=ls=k1=km=0,代入式(1-24)及由X1,Xm,m+1,r的线性无关性知a1=a2=am=bm+1=br=0, 于是由式(1-24)知向量组X1,Xm,m+1,r,m+1,s线性无关,故式(1-23)成立.推论 设U (F)是线性空间V(F)(V (F) 0)的子空间，则一定存在V(F)的另一个子空间W(F)，使得V(F)=U(F)W(F).(证略)此推论表明

39、，线性空间可作直和分解.但这种分解不是唯一的.定理1.15 设:V(F)U(F)为线性映射，W1、W2是V(F)的子空间，则(1) (W1+W2)=(W1)+(W2);(2) (W1W2)(W1)(W2).这里(W1)表示W1中所有元素的像组成的空间，其他意义相同. （证略）注 一般来讲(W1W2)(W1)(W2).例1.17 设V(F)=U(F)=R2,F=R，且=A=1000:R2R2,W1=span12, W2=span10是R2的两个子空间，由于W1W2=0，故(W1W2)=A(W1W2)=A(0)=0,而(W1)=span10=(W2),(W1W2)=A(W1W2)A(W1)A(W2

40、) =(W1)(W2). 定理1.16 设Vn(F)是线性空间，则ker()=X|(X)=0,XVn是Vn(F)的子空间，称ker()为Vn(F)在线性变换下的核或化零空间.且dim+dim=n, (1-27)其中Vn(F)称为的值域.记为R () .证 ker()为Vn(F)的子空间的证明留给读者，这里只证式(1-27).设dim =r,1,r是ker()的一个基，由基可扩充定理，可将1,r扩充为Vn(F)的基1,r,r+1,n，令U(F)=spanr+1,r+2,n,则Vn(F)=ker()U(F).由于(i)=0,ir，故=span(1),(2),(r),(r+1),(n)=span(r

41、+1),(n). (1-28)要证式(1-27)，只需证(r+1),(n)线性无关.令nj=r+1kj(j)=0, kjF,有nj=r+1kjj=0, 故nj=r+1kjjker(),所以有 nj=r+1kjj=rj=1(-kj)j,得nj=1kjj=0. 由于1,n线性无关，故k1,kn全为零,即有(r+1),(n)线性无关.由式(1-28)有dim=dimspan(r+1),(n)=n-r=n-dim,所以式(1-27)成立.推论 设A=(a1 a2 an)Fmn，其中ai为A的第i列，令R(A)=spana1,a2,an, N(A)=X|AX=0,XFn,则dimR(A)=rankA, dimR(A)+dimN(A)=n,称R(A)为A的列空间，N(A)为A的零空间.注 不能由dim+dim=n就认为Vn(F)=(Vn)ker(). 例1.18 在n+1维空间Pxn中，定义f(x)=f(x), f(x)Pxn, 则