2017届广州市普通高中毕业班综合测试(二)(理数)

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1、2017届广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）本试卷共4页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A BC D2若复

2、数满足，则复数所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A4 B3 C D4从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）A B C D5函数的大致图象是（ ）6已知，则（ ）A B C D7已知点在抛物线（）上，该抛物线的焦点为，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的平分线所在的直线方程为（ ）A BC D8在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A B C D9已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（ ）A15 B9 C1 D10

3、已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）A B C D11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A B C D1612定义在上的奇函数为减函数，若，满足，则当时，的取值范围为（ ）A B C D第卷（共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本小题共4题，每小题5分。13已知点，若点在轴上，则实数 14孙子算经是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的孙子算经共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.

4、三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个15设，则 16在平面四边形中，连接对角线，已知，则对角线的最大值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分12分）设等比数列的前项和，已知，（）.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.18（本小题满分12分）如图，是边长为的菱形，平面，平面，.（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值.19（本小题满分12分）某商场拟对

5、某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令表示实施方案的第二个月的销量是促销前销量的倍数.（）求，的分布列；（）不管实施哪种方案，与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更

6、大.20（本小题满分12分）已知双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（）求椭圆的方程；（）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.21（本小题满分12分）已知函数在点处的切线方程为.（）求实数的值；（）若存在，满足，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设直线与曲线交于，两点.（）求线段的长；（）已知点在曲线上运动，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积.23（本小题满分10分）选修

7、4-5：不等式选讲（）已知，证明：；（）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.数学（理科）参考答案评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一选择题（1）A （2）B （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D

8、（8）C （9）B （10）C （11）B （12）D二填空题（13） （14） （15） （16）三解答题（17）解：（）因为数列是等比数列，所以因为，所以，解得1分 因为，所以，即2分因为，所以3分因为等比数列的公比为，所以数列的通项公式为4分（）因为等比数列的首项为，公比， 所以6分因为，所以7分所以 8分设，则所以10分因为， 11分所以所以数列的前项和12分（18）（）证明：连接， 因为是菱形，所以1分因为平面，平面， 所以2分因为，所以平面3分因为平面，平面，所以所以，四点共面4分 因为平面，所以5分（）解法1：如图，以为坐标原点，分别以，的方向 为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标

9、系6分可以求得，7分 所以，8分设平面的法向量为，则即不妨取，则平面的一个法向量为10分因为，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为12分解法2：如图，设，以为坐标原点，分别以，的方向为 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系6分可以求得，7分所以，8分设平面的法向量为，则即不妨取，则平面的一个法向量为10分因为，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为12分（说明：若本题第（）问采用向量法证明正确，第（）问给6分，仍将建系、写点的坐标与向量的坐标等分值给到第（）问）（19）解：（）依题意，的所有取值为，1分 因为， ，3分 所以的分布列为4分 依题意，的所有取值为，5分 因为， ，7分 所以的分布列

10、为8分9分（）令表示方案所带来的利润，则 10分 所以， 因为， 所以实施方案，第二个月的利润更大12分（20）解：（）双曲线的焦点坐标为，离心率为1分因为双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得 故椭圆的方程为3分（）因为，所以直线的斜率存在4分 因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为代入椭圆方程得5分因为，所以6分设， 根据根与系数的关系得，7分则 因为，即8分 整理得9分 令，则 所以10分等号成立的条件是，此时，满足，符合题意11分故的最大值为12分（21）解：（）函数的定义域为 因为，所以1分所以函数在点处的切线方程为，即2分已知函数在点处的切

11、线方程为，比较求得所以实数的值为3分（）解法1：由，即4分所以问题转化为在上有解5分令， 则7分令，所以当时，有8分所以函数在区间上单调递减9分所以 10分所以，即在区间上单调递减 11分所以所以实数的取值范围为12分解法2：命题“存在，满足”等价于“当时，有”4分由（）知，（1）当时，即函数在区间上为减函数，5分所以由，得，解得所以6分（2）当时，注意到函数在区间上的值域为 7分，在区间上恒成立，即函数在区间上为增函数 所以由于，所以，解得，这与矛盾 8分若，由函数的单调性（单调递增）和值域知，存在唯一的，使，且满足当时，即为减函数；当时，即为增函数所以9分由，得，即因为，即，所以将代入，得

12、，其中10分令，则，当时，即在区间上为减函数所以，与矛盾，所以不存在，使成立11分综上可知，实数的取值范围为12分（说明：当时，也可转化为，其中，从而构造函数解答；还可转化为，从而构造函数解答；还有其他解法均参照给分！）（22）（）解：曲线的普通方程为1分将直线代入中消去得，2分解得或3分所以点，4分所以5分（）解法1：在曲线上求一点, 使的面积最大，则点到直线的距离最大设过点且与直线平行的直线方程为6分将代入整理得，令，解得7分将代入方程，解得易知当点的坐标为时，的面积最大8分且点到直线的距离为9分的最大面积为10分解法2：在曲线上求一点, 使的面积最大，则点到直线的距离最大设曲线上点，其中，6分则点到直线的距离为8分因为，则，所以当，即时，9分此时点的坐标为，的最大面积为10分（23）（）证明1：因为， 所以所以要证明，即证明1分 因为 2分，3分所以4分因为，所以所以5分证明2：因为， 所以所以要证明，即证明1分因为，3分所以4分因为，所以所以5分证明3：因为，3分 所以4分因为，所以5分（）解：设， 则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”6分当时，此时，要使恒成立，必须，解得7分当时，不可能恒成立8分当时，此时，要使恒成立，必须，解得9分综上可知，实数的取值范围为10分16