第一章-振动和波动

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1、2023-1-231第一章 振动和波动振动(Vibration):任何一个物理量在某一 定 值附近随时间作反复变化。其中物体位置随时间的变更称为机械振动。波动（Wave)：振动的传播2023-1-23制作：于国伟 吉林大学2 内容提要n第一节 简谐振动n第二节 两个简谐振动的合成n第三节 平面简谐波动n第四节 两个平面简谐波动的合成2023-1-23制作：于国伟 吉林大学3第一节 简谐振动 简谐振动的基本特征 简谐振动的能量 简谐振动的方程 简谐振动的矢量图解法 一 简谐振动的基本特征kxF)cos(0tAx)(是劲度系数或倔强系数注：k2:24受力的形式:弹性力（回复力)运动的形式:例一直径

2、d的U形管，装有质量为m的液体,若液体一个小的初始位移，液体在管中作微振动，这种振动是否是简谐振动.vgmgF 是简谐振动kxxgd221gdx222 二 简谐振动的方程n方程的建立00Fx弹簧伸长弹簧压缩00Fx平衡位置00Fx图1-2n公式的推导22dtxdmmaFkxFkxdtxdm22令为微分常数）(2mk0222xdtxd022xmkdtxd得到简谐振动的微分方程：其解为：)sin(0tAdtdxv)cos(0222tAdtxda)cos(0tAx 0为积分常数与A加速度 速度利用速度和加速度的数学定义，可得：位移 简谐振动的位移、速度和加速度的函数曲线 振动方程中参数的物理意义 A

3、 的物理意义:maxxA 00cos0Axt000cos)2cos(2xAAxt0000sincosAvAx2020)(vxA 的物理意义,分三步分析（1）T 的引入 A 是物体离开平衡位置的最大幅度-振幅，A 的大小由弹簧振子的初始状态决定。单位 m T 表示完成一次完整振动所需要的时间-周期，T 的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位 2TT1221T（2）的引入表示在单位时间内完成整振动的次数-频率，的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位Hz（3）的引入 表示在2 秒内完成整振动的次数-角频率（圆频率），的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位弧度/秒mkmk2mk212kmTT21固有角频率固

4、有频率固有周期n 的物理意义：我们称 为位相。则 表示初始时刻的位相-初位相，的大小由弹簧振子的初始状态决定。单位rad.取值范围求 方法：已知 00,00vx0000sincosAvAx000tanxv0 t00000已知的符号00,vxA00cosAx Ax010cos00sinAv00sin000sin0000000则则vv例二已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的简谐振动方程。0,00,2,41100vxvcmxcmAcmA4)cos(40tx解 从图中可以看出,求振动方程需分三步：从图中可以看出（1）求A23)3cos(40652301v)365cos(4tx03000v3

5、cos4200（2）求)3cos(4tx（3）求例三如图，一长为L的弹簧上端固定，下端挂一重物后长度变(L+S)，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。)(sxkmgFkskxmgkxmgkxmg 是简谐振动。（1）证明重物的运动是简谐振动。解 （2）求 ,AsxA0sgksmgmksg212sxt0,0时x2020)(vxA00v且 静止放手代入 解（3）若以放手时开始计时，求简谐振动方程 )cos(0tAx00cosss)cos(tsgsx)cos(0tsgs0,000vsxt将初始条件代入上式：解三 简谐振动的矢量图解法 简谐振动可以用一

6、个旋转矢量描绘。n 矢量的长度代表振幅n 矢量逆时针旋转的角速度代表角频率n 矢量在初始时刻与x轴的角度代表初位相n 矢量在任一时刻与x轴的角度代表位相AAAAA00tn矢量在x轴投影00cosAx)cos(0tAx0tx0 x例四一物体作简谐振动，振幅为15cm,频率为4Hz,求物体从平衡位置运动到 x=+12cm(且向x轴正向运动）处，所需的最短时间。0000vxa0000vxb解：用矢量图解法 平衡位置有两个X=+12cm 位置有两个 dbcbdacacb mint8.01512sinmint927.0mintst037.0min有四个时间 其中最短时间为d X=+12cm v0四 简谐

7、振动的能量总能量=振子的动能+弹簧的势能 pkEEE221mvEk221kxEp)(2mk注：)(sin21022tkA)(sin210222tAm20)sin(21tAm)(cos21022tkA20)cos(21tAk其中)(cos21)(sin21022022tkAtkAE系统的动能 Ek随时间周期性变化系统的势能 Ep 随时间周期性变化系统的总机械能与时间变化无关，即简谐振动的总能量守恒221kA)(cos)(sin2102022ttkA例五一长度为L的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬挂一质 量为m、体积很小的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点O，这是振动系统的平衡位置，如图

8、。若将物体移离平衡位置，使细线与竖直方向夹一小角，然后将物体静止释放，物体就在平衡位置附近 往返摆动起来。这种装置称为单摆。证明单摆的振动是简谐振动，并分析其能量。sin22mgdtdml)cos(0t解得：221mvEk0222dtd即：mgdtdml22很小时当)(2lg其中)(sin2122202tml2)(21dtdlm2022202121mlmglEEEpk221mglEp21.!6!4!21cos2642又mghEplmg)cos1()(cos21220tmgl2023-1-23制作：于国伟 吉林大学31 本讲小结n 简谐振动方程)cos(0tAxAx010cos221kAE 方向

9、相反与00vn 振动能量守恒n初位相的求解作业一直径d=1.2cm的U形管装有质量m=624g水银，使水银在管中作微振动，试求其振动周期（水银密度 ，水银与U形管摩擦忽略不计）。（答案：0.9s）36.13cmg作业二根据图中所示位移时间曲线，分别写出这两个振动的表达式。（答案：）365costAxa(b)(a)2costAxb作业三一弹簧悬挂10g砝码伸长8cm,现将这根弹簧下悬挂25g的物体，使它做自由振动，按下列情况分别求其振动方程。(1)开始时使物体从平衡位置向下移动4cm后松手。（答案：x=4cos7t）(2)开始时，物体在平衡位置，给以向上21cm/s的初速度，同时开始计时。（答案

10、：x=3cos(7t+/2)）(3)把物体从平衡位置拉下4cm后，又给以向上21cm/s的初速度，同时开始计时。（答案:x=5cos(7t+370)）作业四n在半径为R的半球形碗中有一小球质量为m，若将小球移开一个很小的位移，放开令其运动，求证小球做简谐振动，并求其振动周期2023-1-23制作：于国伟 吉林大学第二节 两个简谐振动的合成（1）两个简谐振动的步调比较.本节主要内容（4）两个方向互相垂直、频率成简单整数比的简谐振动的合成-李萨如图形。（3）两个同方向、频率近似相等的简谐振动的合成-拍现象。（2）两个同方向、同频率的简谐振动的合成-简谐振动.两个简谐振动的步调比较n同相：若两个简谐

11、振动的频率相同、初位相相同，则两个简谐振动同时达到最大和最小。,0同相 1 2t1t2t3t4n反相：若两个简谐振动的频率相同、初位相相差，则一个振动达到最大时，另一个振动却是最小。,反相 x t 1 2t1t2t3t4n超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初位相之差为 则称2振动超前1振动，也称1振动落后2振动。00102振动超前2,0010221两个同方向、同频率的简谐振动的合成-简谐振动已知两个同方向、同频率的简谐振动方程为：)cos(0111tAx)cos(0222tAx21xxx)cos()cos(022011tAtA?222YXA如图：)cos(tAx用矢量图示法求得合成结果：代

12、入X,Y的表达式cos2212221AAAAA222YXA)sinsin()coscos(0220112022011AAAAsinsincoscos202010201212221AAAA)cos(20102212221AAAAsinsincoscos)cos(注：nA值的讨论，有三种情况：k2)1(1cos21AAA值最大A)12()2(k1cos21AAA值最小A为其它值)3(2121AAAAAXY1tan21211tanxxyy022011022011coscossinsinAAAA例六n已知一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,求合振动的方程。mtx)32cos(05.01mtx)

13、322cos(06.02)cos(tAx0201)32(3解：设合振动的方程为cos2212221AAAAAcos06.0*05.0*206.005.022m01.0343202也可以用矢量图解法直接看出：mAAA01.012AA1=0.053231A2=0.06两个同方向、频率近似相等的简谐振动的合成-拍现象已知两个同方向、频率近似相等（1和2都很大）的简谐振动，若设初位相相等，振幅相等，则：tAx101cosm1k2ktAx202cos21t=0时刻t时刻(设 2 1)某一时刻 t 以后tAxcoscos2202020AAAA)cos1(20 A)cos1(2120A2cos20AtA2c

14、os21202cos)cos1(2112tt注：从角度可分析：NoImagettt1122t212tAxcosttAx2cos2cos221210可以看出，合振动x出现振幅时大时小、时强时弱的现象-拍将A与t表达式代入因为1和2都很大，且差值很小，所以有：则有:随时间变化比 慢得多!1212t2cos2t2cos2221tA2cos2210可以将拍看成以为振幅，以 为圆频率的简谐振动。函数变化周期为t2cos21T2cos21122T2112T12是拍振动时振幅周期性变化的频率-拍频12ttt拍的视频演示40s两个方向互相垂直、频率成简单整数比的简谐振动的合成-李萨如图形。若两个弹簧的劲度系数

15、都是k,则21)cos(tAX)cos(tBY)(sin)cos(222222ABXYBYAX的情况：）（1112 利用消元法消去变量t，得方程：讨论0 若XABY 若XABY同相，1、3象限振动反相，2、4象限振动2212222BYAX001YAXtBYXt0220223YAXtBYXt0234BYXt00112222BYAX022YAXtBYXt02230234YAXt1t2t3t4t1t2t3t4tY超前/2Y落后/2右旋振动左旋振动例七一质点同时参与相互垂直的两个振动：请你画出合振动运动轨迹图。cmtX)63cos(8cmtY)33cos(6632Y落后/2，左旋振动画一个2A*2B的

16、矩形，内切画椭圆，标出左旋箭头即可2A2B解：若频率不相等，但是整数比，则合振动的轨迹是有规则的稳定的闭合曲线-李萨如图形。49s的情况：）（nm122例八在示波器Y端输入一个简谐振动信号 ，同时在X端输入另一个未知频率的简谐振动信号，在示波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求Hzy1000?x100023xyxHzx1500方向切点数方向切点数XYnmyx解：本讲小结同方向2121cos2212221AAAAAnmyx12方向切点数方向切点数XYyx李萨如图垂直方向拍同方向简谐振动作业一n两物体作简谐振动，它们的振幅和周期分别是10cm和2s。当t=0时，它们的位移分别为10cm和-10

17、cm，二者的位相差是多少？是同相还是反相？当t=1s时，它们的位移各是多少？作业二n已知 两个振动方向相同的简谐振动：其中x、t的单位采用SI制。求（1）合振动的振幅和周期。)4310cos(51tx)410cos(62tx（2）另有一同方向的简谐振动问何值时，的振幅最大，的振幅最小。)10cos(73tx31xx 32xx 作业三n两个同频、同向的简谐振动合成后的振幅0.10m，合振动与第一分振动的位相差为/6，若后者振幅A1=0.080m，求第二分振动的振幅以及第一、第二两个分振动的位相差。2023-1-23制作：于国伟 吉林大学69第三节 简谐波 本节内容一、关于简谐波的一些概念二、波动

18、方程三、波的能量、波强四、波的衰减一、关于简谐波的一些概念（1）机械波产生和传播的条件：n 波源 a.弹性介质振动是波动的基础，波动是振动的传播波形传播只是现象，振动传播才是实质，能量传播是度量（2）简谐波的分类：76s由质点振动方向与波传播方向的由质点振动方向与波传播方向的关系可分为：关系可分为：横波、纵波横波、纵波.按波源的性质可分为：按波源的性质可分为：机械波机械波(如声波、次声波、超声如声波、次声波、超声 波等波等)、电磁波电磁波(如可见光、无线电波、红外线如可见光、无线电波、红外线)根据波的波振面形状分为：根据波的波振面形状分为：平面波平面波、球面波球面波、椭球面波椭球面波等。等。由

19、波传播的空间分为：由波传播的空间分为：一维波一维波、二维波二维波(水面波水面波)、三维波三维波(声波、光波声波、光波)；根据波传播期间的行为可分为：1、脉冲波，、脉冲波，2、波列波列，3、周期性波列、周期性波列（3）描述简谐波的三个物理量密度弹性模量u2731332tu波速的大小与温度有关 例如：声速波速的大小与介质有关c.波速（u）单位时间内，任一振动状态传播的距离；波面、波形前进的速度，单位m/s。（不是质点的振动速度）b.波长（）在周期T时间内同一振动状态传播的距离；两个相邻的振动状态相同点（位相差为2的两点）之间的距离；两相邻波峰或波谷之间的距离，单位m。a.波频（）波源的简谐振动的频

20、率；单位时间内通过某点的完整波数目，单位 Hz三个物理量的关系Tu重要结论：例九在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波.（1）它们的波长是否可能相等？为什么？22112121 答：不可能相等。21222111uuuu（2）如果这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长是否可能相等，为什么？答：可能介质不同，则：21uu221121可能相等与21（4）简谐波的几何描述波线波面球面波波线波面平面波为了形象的描述简谐波在空间的传播，引入了几何的线和面：波线-从波源沿各传播方向所画的带箭头的线 波面-波在传播过程中，所有振动位相相同的点连成的面波线垂直波面，有两种特殊的波面：球面、平面。演 示（5）简

21、谐波遵从的基本原理a.叠加原理-在相遇的区域内的某一质点的振动是各列波在该质点所引起的振动的合成。b.惠更斯原理-波所到之处各点都可以看作是发射子波的波源，在以后任一时刻，这些子波的包络就是在该时刻的波面。二、一维平面简谐波的波动方程波动方程的建立)(0)(tttpYYP点的振动方程：0)(costtA0)(cosuxtA00costAY已知原点振动方程：uxt 由P点的任意性得波动方程：0)(cosuxtAY0)(2cosxTtAY0)(cosuxtAYO点为已知振动状态波动方程的其它形式0)2cosxtAY反向与xu重要结论：00)(cosuxxtAY00)(cosuxxtAYa点为已知点

22、0 x0 x波动方程的物理意义)(cos00uxtA00)(cosuxtAYtAcos00)(cosuxtAY)(cos00tuxAcosxA若t=t0摄像,特写照相,全体照若x=x0 x=x0Yt振动曲线oYx波形曲线t=t0o若 x、t都不确定0)(2cosxTtAY摄像、全体摄像例十有一列平面简谐波，坐标原点按照 的规律振动。已知A=0.10m，T=0.50s，=10m，试求：（1）波动方程。)(cosuxtAY)105.0(2cos1.0 xt)(2cosxTtAtAycos选x轴与u方向相同，则（2）波线上相距2.5m的两点的位相NoImage)105.0(211xt)105.25.

23、0(212xt2105.2221（3）假如t=0时处于坐标原点的质点的振动位移为y0=+0.050m，且向平衡位置运动，求初位相和波动方程mY050.000cos1.005.03000v3000v得波动方程3105.02cos1.0 xtY解：例十一如图，一沿x轴正向传播的平面余弦波，在t=0时的波形，其波动方程可表示为 求0、2、3三个点的初位相)(cosuxtAY20得波动方程2)(2cosxTtAYtAcos代入方程解：0点：Y0=0 v00 t=0 代入波动方程223cos2AA3233233点 Y0=-A/2 v00 t=0代入波动方程 三、波的能量、波强 波的能量 载波的质点不随波

24、逐流，向前传播的是振源载波的质点不随波逐流，向前传播的是振源的振动状态和能量，波到达的地方，媒质振动、发生的振动状态和能量，波到达的地方，媒质振动、发生变形，因而使体积元变形，因而使体积元V（体积很小）内的媒质具有动（体积很小）内的媒质具有动能和弹性势能。能和弹性势能。经数学推导动能与势能相等cxtmAEEpk222sin21cxtmAEEEpk222sin总能量 Em =V A22 VEw2221Aw能量密度平均能量密度 cxtA222sin 波强定义uAuwSPI222121mSJ表示单位时间内流过单位面积的能量单位 瓦特/米2证明SSI 的平均能量单位时间内流过SSuwuwuA2221I

25、tSE u能量St时间间隔内通过截面S的波动总能量：重要结论：us1、平面余弦波平面余弦波讨论：讨论：通过两个面的平均通过两个面的平均能量分别为：能量分别为：uSASIE211121 uSASIE222221 若若则有：则有：21EE r1r2若若得得2、球面波、球面波uAruAr22222221212121 2112rrAA21EE 22212144IrIr 设半径为单位长度的球面上振幅设半径为单位长度的球面上振幅为为 a，半径为，半径为 r 的球面上振幅为的球面上振幅为 A，则：，则：A=a/r相应的球面波的波函数为：相应的球面波的波函数为：)(cosuxtray四、波的衰减 机械波传播时

26、，强度随距离的增大而减小，振幅机械波传播时，强度随距离的增大而减小，振幅A也随之减小，此现象即为波的衰减。也随之减小，此现象即为波的衰减。衰减原因有：衰减原因有：1 1、吸收吸收衰减衰减：由于介质的粘滞性（内摩擦性）或其：由于介质的粘滞性（内摩擦性）或其他原因，波的能量转为其他形式的能量，如热能。他原因，波的能量转为其他形式的能量，如热能。2 2、扩散扩散衰减衰减：如由于波的扩散，波的能量虽不减少，：如由于波的扩散，波的能量虽不减少，但强度在其行进方向上减弱。但强度在其行进方向上减弱。3 3、散射散射衰减衰减等等。等等。首先讨论：首先讨论：由于吸收而引起平面波的衰减由于吸收而引起平面波的衰减(

27、不考虑发散、反射不考虑发散、反射等等)：平面波的吸收衰减增量 dI=II，dI为负值实验表明：dI与入射波强度I 及该层媒质的厚度dx 成正比。即：dI=I dx称为吸收系数,其与媒质的性质、波的频率有关。利用边值条件x=0,I=I0解方程可求出：I=I0 ex此公式称为布给尔朗伯定律，它表明平面波在传播过程中按指数规律衰减。r2讨论讨论球面波发散球面波发散引起的衰减引起的衰减(不考虑吸收不考虑吸收)单位时间通过两球面的单位时间通过两球面的能量应相等，能量应相等，即：即：E E1 1=E=E2 2 I I1 1 4r4r1 12 2=I=I2 2 4 r4 r2 22 2即以球面波传播的波强度

28、与离波源的距离即以球面波传播的波强度与离波源的距离r 的平方成比。的平方成比。212221rrII2023-1-23制作：于国伟 吉林大学105 本讲小结n平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 )(cosuxtAYu2AI n波强度波强度n波长波长 波速波速 u波频波频作业一一列平面简谐波的波动方程为)410cos(05.0 xty)(制SI（2）传波质点的最大振动速度、加速度值。（1）求振幅、波速、频率、波长。(A=0.05m,u=2.5m/s,=5Hz,=0.5m)=0.5m)(vmax=1.57m/s amax=49.3m/s2)（3）x=0.2m处的质点在t=1.0s时的位相，它是

29、坐标原点哪一时刻的位相，这一位相在t=1.25s时可传播到哪一质点。)825.0,92.0,2.9(0mxst作业二一列平面简谐波的波动方程为dcxbtay)(cos（1）求波的振幅、波速、圆频率、周期、波长以及传波质点经过平衡位置时的振动速度加速度值。0,2,2,aabvcbTbcbuaA（2）若t=0时刻的波形如图所示，试指出坐标原点O及点1、2的初位相。)2,0,2(210作业三n一列沿x轴正向传播的平面简谐波波速v=5.0010-2m/s 周期T=2.00s,振幅A=2.0010-2m.在x=0.10m处的质点p在t=3.0s时的位移yp=0，振动速度0.（1）x=0处的质点在t=5.

30、0s时的位移和振动速度。(Y=0,v=6.2810-2m/s)（2）以点P为坐标原点写出波动方程。)2105cos102(22xtY作业四已知某平面简谐波波源振动方程为波速v=2m/s.（1）求距波源5m处的质点的振动方程。2sin06.0ty)(制SI)472cos06.0(ty（2）该质点某时刻t的运动状态相当于哪一时刻波源的同样状态。（t=t-0.25）2023-1-23制作：于国伟 吉林大学114 第四节 简谐波动的合成 本节内容一、两列同方向同频率波的合成二、两列反向传播的完全相同波的公式 一、波的干涉同方向同频率处位相差固定的两列检谐波的合成-波的干涉。45s振源S1与S2发出两列

31、简谐波：0)(cosuxtAY0111)(cos1urtAYp0222)(cos2urtAYp根据波动方程：两列波引起点p的振动分别为：合成结果tAYpcoscos2212221AAAAA2112rru12 若ru则：r2合成振幅表达式：其中：光程差位相差2重要结论：什么是波的干涉现象？频率相同，振动方向相同，初位相相同，或相差固定的波源发出的波叠加时，叠加区内出现某些地方振动加强，另一些地方振动减弱或完全抵消，这种现象称为波的干涉现象。演示 演示 演示若使A=Amax则有：1cosk2.)3,2,1,0(krk22kr干涉极大的条件光程差是波长的整数倍的地方为干涉极大点讨论两个特殊情况：代入

32、中：r21cos)12(k)21(kr干涉极小的条件若使A=Amin则有：光程差是波长的半整数倍的地方为干涉极小点代入中：r2rk2)12(例十二P P和Q Q是两个同位相、同频率、同振幅并在同一介质中振动的相干波源，其频率为、波长为，P P和Q Q相距3 3/2/2。R R为P P、Q Q连线上的任意一点，试求（1）自P P点发出的波在R R点引起的振动与自点Q Q发出的波在R R点引起的振动的位相差23xxx)(cos1uxxtAYp)(cos1uxtAYQ（2）R点的合振幅xuxPQRxx32xcos2212221AAAAA02212221AAA21AA 二、驻波两个完全相同的简谐波，沿

33、同一直线相反方向传播，合成结果-驻波。120s)(cos1uxtAY)(cos2uxtAY21YYY)(cos)(cosuxtAuxtAuxtAcoscos2tuxAcos)cos2(tAcos写出两列波的表达式：合成结果：驻波的特点每个质点都在做简谐振动，但振幅不同，有些点的振幅为0-波节，有些点的振幅最大-波腹，而波形不走动。波节波节波腹波腹2kxk=0,1,2,3.相邻波腹的距离：相邻波腹的距离：波节：波节：始终不动的点。始终不动的点。4)12(kx相邻波节的距离：相邻波节的距离：波腹：波腹：振幅最大的点。振幅最大的点。AxA22cos22x02cos2xAk=0,1,2,3.2x例十三

34、频率为100Hz的一列波在两端固定的弦上传播，形成了如图所示的驻波，试从图上确定其波长和波速。5.2252.5mm11100usm/100解：从图中已知，五个波节间距=2.5m此例题为驻波法测波速的实验原理换能器换能器示波器信号发生器2023-1-23制作：于国伟 吉林大学134 本讲小结波的干涉现象 kr)21(kr21x 驻波波腹波节间距 干涉极小的条件 干涉极大的条件 作业一S1、S2是由同一振子所带动的波源，但S1的位相超前S2/2/2，那么点P P为干涉为极大的条件是二者的波程差为多少？)41(kr答案：作业二弦线上的驻波相邻波节的距离为65cm，弦的振动频率为2.3102Hz,求波

35、的传播速率u和波长.)/99.2,3.1(smum答案：本章重点内容简谐振动方程简谐振动方程)cos(0tAxAx010cos221kAE 方向相反与00v振动能量守恒振动能量守恒初位相的求解初位相的求解同方向同方向2121cos2212221AAAAAnmyx12方向切点数方向切点数XYyx李萨如图李萨如图垂直方向垂直方向拍拍同方向同方向简谐振动简谐振动平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 )(cosuxtAYu2AI 波强度波强度波长波长 波速波速 u波频波频波的干涉现象波的干涉现象 kr)21(kr21x 驻波波腹波节间距驻波波腹波节间距 干涉极小的条件干涉极小的条件 干涉极大的条件

36、干涉极大的条件 作业一直径d=1.2cm的U形管装有质量m=624g水银，使水银在管中作微振动，试求其振动周期（水银密度 ，水银与U形管摩擦忽略不计）。（答案：0.9s）36.13cmg作业二根据图中所示位移时间曲线，分别写出这两个振动的表达式。（答案：）365costAxa(b)(a)2costAxb作业三一弹簧悬挂10g砝码伸长8cm,现将这根弹簧下悬挂25g的物体，使它做自由振动，按下列情况分别求其振动方程。(1)开始时使物体从平衡位置向下移动4cm后松手。（答案：x=4cos7t）(2)开始时，物体在平衡位置，给以向上21cm/s的初速度，同时开始计时。（答案：x=3cos(7t+/2

37、)）(3)把物体从平衡位置拉下4cm后，又给以向上21cm/s的初速度，同时开始计时。（答案:x=5cos(7t+370)）作业四n在半径为R的半球形碗中有一小球质量为m，若将小球移开一个很小的位移，放开令其运动，求证小球做简谐振动，并求其振动周期作业五n两物体作简谐振动，它们的振幅和周期分别是10cm和2s。当t=0时，它们的位移分别为10cm和-10cm，二者的位相差是多少？是同相还是反相？当t=1s时，它们的位移各是多少？作业六n已知 两个振动方向相同的简谐振动：其中x、t的单位采用SI制。求（1）合振动的振幅和周期。)4310cos(51tx)410cos(62tx（2）另有一同方向的

38、简谐振动问何值时，的振幅最大，的振幅最小。)10cos(73tx31xx 32xx 作业七n两个同频、同向的简谐振动合成后的振幅0.10m，合振动与第一分振动的位相差为/6，若后者振幅A1=0.080m，求第二分振动的振幅以及第一、第二两个分振动的位相差。作业八一列平面简谐波的波动方程为)410cos(05.0 xty)(制SI（2）传波质点的最大振动速度、加速度值。（1）求振幅、波速、频率、波长。(A=0.05m,u=2.5m/s,=5Hz,=0.5m)=0.5m)(vmax=1.57m/s amax=49.3m/s2)（3）x=0.2m处的质点在t=1.0s时的位相，它是坐标原点哪一时刻的

39、位相，这一位相在t=1.25s时可传播到哪一质点。)825.0,92.0,2.9(0mxst作业九一列平面简谐波的波动方程为dcxbtay)(cos（1）求波的振幅、波速、圆频率、周期、波长以及传波质点经过平衡位置时的振动速度加速度值。0,2,2,aabvcbTbcbuaA（2）若t=0时刻的波形如图所示，试指出坐标原点O及点1、2的初位相。)2,0,2(210作业十n一列沿x轴正向传播的平面简谐波波速v=5.0010-2m/s 周期T=2.00s,振幅A=2.0010-2m.在x=0.10m处的质点p在t=3.0s时的位移yp=0，振动速度0.（1）x=0处的质点在t=5.0s时的位移和振动速度。(Y=0,v=6.2810-2m/s)（2）以点P为坐标原点写出波动方程。)2105cos102(22xtY作业十一已知某平面简谐波波源振动方程为波速v=2m/s.（1）求距波源5m处的质点的振动方程。2sin06.0ty)(制SI)472cos06.0(ty（2）该质点某时刻t的运动状态相当于哪一时刻波源的同样状态。（t=t-0.25）