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1、黄浦区2017年高考模拟考数 学 试 卷 2017年4月（完卷时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第16题每题满分4分，第712题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1函数的定义域是 2若关于的方程组有无数多组解，则实数_3若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 4已知复数，(其中i为虚数单位)，且是实数，则实数t等于 5若函数 (a0,且a1)是R上的减函数，则a的取值范围是 6设变量满足约束条件 则目标函数的最小值为 7. 已知圆和两点，若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是 8. 已知向量，如果，那么的值为 （第1
2、1题图）9若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 10若将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是 11三棱锥满足：，则该三棱锥的体积V的取值范围是 12对于数列，若存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列是以为周期的周期数列设，对任意正整数n都有若数列是以5为周期的周期数列，则的值可以是 (只要求填写满足条件的一个m值即可) 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（
3、）Ay = sin(2x+ By = cos(2x+ Cy = sin(x+ Dy = cos(x+14如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 （ ） A B C D15已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）A BC D16如图所示，圆与分别相切于点，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ）A B C D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，在直棱柱中，分别是的中点 （1）求证：；
4、（2）求与平面所成角的大小及点到平面的距离18（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分在中，角的对边分别为，且成等差数列（1）求角的大小；（2）若，求的值 19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分如果一条信息有n种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为，则称（其中）为该条信息的信息熵已知（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为）参加，若当时，选手获得冠军的概率为，求“谁获得冠军”的信息熵关于n的表达式20（本题满分16分）本
5、题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 设椭圆M:的左顶点为、中心为，若椭圆M过点，且（1）求椭圆M的方程；（2）若APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求APQ面积的最大值；xy（3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点，且，求证：直线恒过一个定点21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有高三数学参考答案与评分标准一、填空题：（16
6、题每题4分；712题每题5分）1. ；2. ；3.；4.； 5.； 6. ； 7. ；8. ；9.； 10. ；11. ； 12. （或，或）二、选择题：（每题5分）13.A 14.D 15. C 16. B 三、解答题：（共76分）xyzO17解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、为y轴、为z轴建立如图的空间直角坐标系由题意可知，故，4分由，可知，即 6分（2）设是平面的一个法向量，又，故由解得 故 9分设与平面所成角为，则，12分所以与平面所成角为，点到平面的距离为 14分18解：（1）由成等差数列，可得， 2分故，所以， 4分又，所以，故，又由，可知，故，所以 6分（另法：利用求解）（2
7、）在ABC中，由余弦定理得， 8分即，故，又，故，10分所以 12分，故 14分19解：（1）由，可得，解之得. 2分由32种情形等可能，故， 4分所以，答：“谁被选中”的信息熵为 6分（2）获得冠军的概率为，8分当时，又，故， 11分，以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为 14分20解：（1）由，可知，又点坐标为故，可得，2分因为椭圆M过点，故，可得，所以椭圆M的方程为 4分（2）AP的方程为，即， 由于是椭圆M上的点，故可设， 6分所以 8分当，即时，取最大值故的最大值为 10分法二：由图形可知，若取得最大值，则椭圆在点处的切线必平行于，且在直线的下方 6分设方程为，代入椭
8、圆M方程可得，由，可得，又，故 8分所以的最大值 10分（3）直线方程为，代入，可得，又故， 12分同理可得，又且，可得且，所以， 直线的方程为， 14分令，可得故直线过定点 16分（法二）若垂直于轴，则，此时与题设矛盾若不垂直于轴，可设的方程为，将其代入，可得，可得，12分又，可得， 14分故， 可得或，又不过点，即，故所以的方程为，故直线过定点 16分21解：（1）对于函数，当时，又，所以，故是“L函数”. 2分 对于函数，当时， 故不是“L函数”. 4分（2）当时，由是“L函数”，可知，即对一切正数恒成立，又，可得对一切正数恒成立，所以 6分由，可得，故，又，故，由对一切正数恒成立，可得，即 9分综上可知，a的取值范围是 10分（3）由函数为“L函数”， 可知对于任意正数，都有，且，令，可知，即， 12分故对于正整数k与正数，都有， 14分对任意，可得，又，所以，16分同理，故 18分
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