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1、立体几何与空间向量学案【学习目标】1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘2理解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；会用向量工具求空间的角和距离【问题导学】 阅读教材，完成以下问题：空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直1. 建构知识网络2空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量(2) 向量相等：方向 且长度 (3) 向量加法法则： (4) 向量减法法则： (5) 数乘向量法则：
2、 3线性运算律(1) 加法交换律：ab (2) 加法结合律：(ab)c (3) 数乘分配律：(ab) 4共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab等价于存有实数，使 (3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存有，使 5共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存有实数对()，使P 共面向量定理的推论： 6空间向量基本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量(2) 空间向量
3、基本定理：假如a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存有一个唯一的有序实数组，使 空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存有唯一的有序实数组，使 7空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角： (2) 空间向量的长度或模： (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则ab 空间向量的数量积的常用结论：(1) cosa、b ； (2) a2 ；(3) ab (4) 空间向量的数量积的运算律：(5) 交换律ab ； (6) 分配律a(bc) 8. 设a，b(1) ab (2) a (3) ab (4) ab ；ab (5) 设则
4、 ， AB的中点M的坐标为 9.求角：（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；（2）直线和平面所成的角：找出射影，求线线角；求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为,则.（3）二面角：求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；求两个法向量的夹角（或补角）.10.求距离_a _ nNMH（1）点M到面的距离（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.由得距离公式： （2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式.【问题探究】例1.如图已知三棱锥PABC中，P
5、AABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.例2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.例3.如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .【课堂训练】 1
6、.如图在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.2.如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，.（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP. （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存有一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。（第三题） （第二题）3.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD （I）证明：平面PQC平面DCQ； （II）求二面角QBPC的余弦值4.如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，（）证明：;（）求与平面所成角的大小5.在如下图的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小【自主小结】
立体几何与空间向量
