14函数的奇偶性与周期性

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1、1.若对于函数若对于函数 f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个 x,都有都有 f(-x)=f(x),则则称称 f(x)为为偶函数偶函数.一、函数的奇偶性一、函数的奇偶性2.若对于函数若对于函数 f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个 x,都有都有 f(-x)=-f(x),则则称称 f(x)为为奇函数奇函数.二、简单性质二、简单性质 研究半个区间！研究半个区间！1.奇函数的图象关于奇函数的图象关于原点原点对称对称,偶函数的图象关于偶函数的图象关于 y 轴轴对称对称.反之成立！反之成立！2.单调性单调性:3.奇函数奇函数:f(0)=0(0 在定义域中在定义域中),偶函数偶函数:f(x)=f(

2、|x|).3.若若函数函数 f(x)不具有上述性质不具有上述性质,则则称称 f(x)不具有奇偶性不具有奇偶性;若若函数同时具有上述两条性质函数同时具有上述两条性质,则则 f(x)既是奇函数既是奇函数,又是偶函数又是偶函数.例例:函数函数 f(x)=0(xD,D关于原点对称关于原点对称)是是既奇又偶函数既奇又偶函数.三、三、函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法 1.根据定义判定根据定义判定:首先看函数的定义域是否关于首先看函数的定义域是否关于原点对称原点对称,若不对称若不对称,则函则函数是非奇非偶函数数是非奇非偶函数;若对称若对称,再判定再判定 f(-x)=f(x)或或 f(-x)=-f(x

3、).2.利用定理利用定理,借助函数的图象判定借助函数的图象判定:3.性质法判定性质法判定:在公共定义域内在公共定义域内,两奇函数之积两奇函数之积(商商)为偶函数为偶函数;两偶函数之积两偶函数之积(商商)也为偶函数也为偶函数;一奇一偶函数之积一奇一偶函数之积(商商)为奇函数为奇函数.(注意取商时分母不为零注意取商时分母不为零!)!)有时判定有时判定 f(-x)=f(x)比较困难比较困难,可考虑判定可考虑判定 f(-x)f(x)=0或判定或判定 =1.f(x)f(-x)四、函数的周期性四、函数的周期性 如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意使得对于函数定义域内的任

4、意 x,都有都有 f(x+T)=f(x),则称函数则称函数 f(x)为为周期函数周期函数,T 为函数的一个周为函数的一个周期期.若若f(x)的周期中的周期中,存在一个最小的正数存在一个最小的正数,则称它为函数的则称它为函数的最小最小正周期正周期.五、典型例题五、典型例题1.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：偶函数偶函数 奇函数奇函数 既奇又偶函数既奇又偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 若周期函数若周期函数 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 T,则则 f(x)(0)也为周也为周期函数期函数,且最小正周期为且最小正周期为 .|T(1)f(x)=;2x(1+2x)2(2)f(x)=lg

5、(x+x2+1);(3)f(x)=log2(1-x2 +x2-1+1);(4)f(x)=(1-x);1-x 1+x 奇函数奇函数(5)f(x)=;|x+3|-3 lg(1-x2)偶函数偶函数(6)f(x)=x(+).3x-1 1 12 2.(1)设函数设函数 f(x)的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇判断下列函数的奇偶性偶性:F(x)=f(x)+f(-x);G(x)=f(x)-f(-x);1212(2)试将函数试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数的和表示为一个奇函数与一个偶函数的和.3.设设f(x)与与g(x)分别为奇函数和偶函数分别为奇函数和偶函数,若若f

6、(x)-g(x)=()x,比比12较较 f(1)、g(0)、g(-2)的大小的大小.4.设函数设函数 f(x)的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称,且满足且满足:存在正常存在正常数数 a,使使 f(a)=1;f(x1-x2)=.求证求证:(1)f(x)是奇函是奇函数数;(2)f(x)是周期函数是周期函数,并且有一个周期为并且有一个周期为 4a.f(x1)f(x2)+1 f(x2)-f(x1)f(1)g(0)g(-2)偶函数偶函数 奇函数奇函数 y=(2x-2-x)+(2x+2-x)1212g(x)=-(2-x+2x).12f(x)=(2-x-2x),12f(a+x)=1-,f(x)+1 2

7、f(2a+x)=-,f(x)1f(4a+x)=f(x).5.已知定义在已知定义在 R 上的函数上的函数 y=f(x)满足满足 f(2+x)=f(2-x),且且 f(x)是偶函数是偶函数,当当 x 0,2 时时,f(x)=2x-1,求求 x-4,0 时时 f(x)的表的表达式达式.6.若对任意的若对任意的 xR,都有都有 f(a+x)=f(a-x),且且 f(b+x)=f(b-x),其其中中 ba.则则 f(x)是以是以 2(b-a)为周期的周期函数为周期的周期函数.8.已知已知 f(x)是定义在是定义在 R 上的不恒为零的函数上的不恒为零的函数,且对于任意的且对于任意的 a,bR 都满足都满足

8、:f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求求 f(0),f(1)的值的值;(2)判断判断 f(x)的奇偶性的奇偶性,并证明你的结论并证明你的结论.9.已知已知 f(x)是定义在是定义在 R 上的函数上的函数,且对于任意的且对于任意的 a,bR 都都满足满足:f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)且且 f(0)0.(1)求证求证:f(x)是偶函数是偶函数;(2)若存在正数若存在正数 m,使使 f(m)=0,求满足求满足 f(x+T)=f(x)的一个的一个 T(T 0)的值的值.f(x)=2x+7 (-4x-2)-2x-1 (-21,f(2)=a,则则()A.a2 B.a1 D.a0

9、时的表达式为时的表达式为 f(x)=2x-,则当则当 x0 B.f(x)0 C.f(x)+f(-x)0 课堂练习 3.函数函数 f(x)=的奇偶性是的奇偶性是()A.奇函数奇函数 B.偶函数偶函数 C.非奇非偶函数非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数|x-2|4-x2 D B C 4.已知已知 y=f(x-1)是偶函数是偶函数,则则 y=f(x)的图象关于的图象关于()A.直线直线 x+1=0 对称对称 B.直线直线 x-1=0 对称对称 C.直线直线 x-=0 对称对称 D.y 轴对称轴对称 12A 5.奇函数奇函数 f(x)在在 3,7 上是增函数上是增函数,在在 3

10、,6 上的最大值为上的最大值为 8,最小值为最小值为-1,则则 2f(-6)+f(-3)的值为的值为()A.5 B.-5 C.-13 D.-15 6.奇函数奇函数 f(x)在在-1,0 上是减函数上是减函数,是锐角三角形的两是锐角三角形的两个内角个内角,且且 ,则下列不等式中正确的是则下列不等式中正确的是()A.f(cos)f(cos)B.f(sin)f(sin)C.f(cos)f(cos)D.f(sin)f(cos)D D 7.已知已知 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x=a 对称对称,又关于点又关于点(m,n)对称对称,其中其中 m a.求证求证 f(x)是以是以 4(a-m)为周期的周期函数为周期的周期函数.证证:由已知由已知,f(x)=f(2a-x),且且 f(x)+f(2m-x)=2n,f4(a-m)+x=f2a-(4m-2a-x)=f(4m-2a-x)=f2m-(2a+x-2m)=2n-f(2m-x)=2n-2n-f(x)=f(x).f(x)是以是以 4(a-m)为周期的周期函数为周期的周期函数.=2n-f(2a+x-2m)=2n-f2a-(2m-x)