条件极值答案

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1、习题8-3答案(A)1、求下列函数的极值：(1) 极小值点(0,1)；极小值z=0;(2) 求函数z二X3 + y3 -3xy的极值.=3x2 - 3 y = 0Qx解：解方程组得仁，解得驻点(0,0),(1,1)上=3 y 2 - 3 x = 0、QyQ zQ 2 zQ 2 z由于二4 = 6x,=-3,= 6y ,故在(0,0)处 AC 一 B2 = -9 0，且 A = 6 0，函数z在点(1,1)处取得极值，且极小值为z = -1。(3) 极大值点(0,0),极大值1；且(0,0)点为不可导点(4) 极小值点(5,2),极小值302要设计一个容积为a的长方体形无盖水池确定长、宽和高，使

2、水池的表面积最小.分别以x、y和z表示水池的长、宽和高，该例可表述为：在约束条件xyz = a之下求函数S(x, y, z) = 2(xz + yz) + xy的最小值.F (x, y, z,九)=2( xz + yz) + xy + 九(xyz 一 a)F = 2 z + y + 九 yz = 0,x对F求偏导数，并令它们都等于0：F = 2 z + x + 九 xz = 0,yF = 2( x + y) + 九 xy = 0,zF = xyz - a = 0.432a九求上述方程组的解，得x = y = 2z = 32a,a依题意，所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值由上可知，当高为

3、34,长与 宽为高的2倍时，表面积最小.最小值S = 3（2a）2 3.3.提示： 分别以x、y表示矩形的长、宽，则2x + 2y二2p （约束条件），所求圆柱体 体积为V =n x2y构造辅助函数F（x, y,九）二兀x2y +九（2x + 2y - 2p），贝IF = 2 兀 xy + 2 九=0,xF =兀 x 2 + 2九=0,yF = 2 x + 2 y - 2 p = 0.2 1x = _ p y = 一 p解得x = 2y，代入约束条件得：33 ；为唯一的驻点，有实际意义知为最值点。4求函数u = xyz在条件冷+普+ z 2 = 1之下的极值x 2y 2解：构造辅助函数F（x,

4、 y, z,九）=xyz +九（+ z2 -1），贝I24F = yz + xX = 0,xF = xz + X = 0,y2IF = xy + 2Xz = 0,I前三个式子联立去掉X，得斗=韦=z2，结合第四个式z24F = 乂 + 兰 + z2 -1 = 0.X 24J子得到结果为乂 =兰=z2 =1。所以驻点有八个（+, +，+）（+，+，-）243（+, -，+）（+，-，-）（-，+，+）（-，+，-）（-，-，+）（-，-，一）。其中1、4、6、7点为极大值点，2、3、5、8为极小值点。（其中在三个式子联立去掉X的过程中不需要考虑X =0,或者x =0，y =0及z=0,因为此 时

5、它们的函数值为0,不是极值点。5、在半径为R的半球内求一体积为最大的内接长方体。解：设此半球的方程为x2 + y2 + z2 = R2 , z 0，内接长方体在第一象限的一个顶点坐标为（x, y , z）,则内接长方体体积V = 4xyz , x2 + y2 + z2 = R2。考虑函数4 yz + 2 九 x = 04 xz + 2 九 y = 04 xy + 2 九 z = 0解此方程组得x = y = z = 申 ,(注意 x 0 , y 0 , z 0 )半球内体积为最大的内接长方体的体积为仝3竺。(B)1)求 f (x, y) 二 e 2 x (x + y 2 + 2 y) 的极值.

6、解:f = 2e 2 x (x + y 2 + 2 y) + e 2 x = 0 xf = e 2 x (2 y + 2) = 0y1A 二 f(c，1)二 2exx 21B 二 f L,-1)二 0xy 21C 二 f L,-1)二 2eyy 2故 AC 一 B2 = 4e2 0而 A = 2e 0,故f (2,-1)二一2e为极小值。求函数f (x, y) = sin x + sin y -sin(x + y)在区域 d = (x,y)|x 0,y 0,x + y 0 又由0 x + y 兀，f (x, y) = sin x + sin y - sin( x + y) sin x + si

7、n y f (x, y) 0 由于函数最大值只能在极值点和边界点取得。 函数在边界x = 0和y = 0时，对应函数值都为0.所以函数有最小值为0. 在边界x + y=k上，构造条件极值函数 f f (x, y) = sin x + sin y - sin( x + y) x + y=k(x, y,九)=sin x + sin y - sin( x + y) + 九(x + y-兀)cos x = cos yx + y=kF = cos x - cos( x + y) + X = 0F = cos y - cos( x + y) + X = 0 nyl九 丿f x = y兀兀兀、兀 兀/兀兀)

8、n x = y =，此廿时f, ) = sin + sin sin( + )=2l x + y=k22 22222此时函数取得最大值2.在定义域的内部，函数不存在偏导数不存在的点，且f f = cos x - cos( x + y) = 0xnI f = cos y - cos(x + y) = 0l yF =x + y-兀=0cos x = cos( x + y)cos y = cos( x + y)(因为x、y、x + y都在【0,兀】内，在此区间余弦函数为单调递减的)-fx = x + y n x = y=0(舍去，因为已经不在区域的内部了)y = x + y综上所述函数有最大值2和最小

9、值0,且都在边界点取得。3解条件极值问题为:J(x y 2)2d 2 =2构造辅助函数y = x2F(x, y,九)=& y 2 + 九(y - x2)F = x - y - 2 - 2 x 九=0x 0 , A 0，所以这些点是极大值点。112）当 x = 2k兀 + 兀,y = 2 时，A = 1 + , B 0 , C = ，因为 AC B 0 ,所以e2e 2这些点是不是极值点。6（1）求函数f xyz在条件 x 2 + y 2 + z 2 1, x + y + z -0下的极值。做辅助函数:F (x, y, z, t,九)x + y + z +1 + 九(xyzt a 4)” F (

10、x, y, z, t,九)1 + 九yzt 0F (x, y, z, t,九)1 + 九xzt 0 yF (x, y, z, t,九)1 + 九xyt 0zF (x, y, z, t,九)1 + 九 xyz 0tF (x, y, z, t,九)xyzt a4 0v入解得唯一的驻点(a,a,a,a) 即为所求。求函数f - xyz在条件x2 + y2 + z2 - 1,x + y + z - 0下的极值。解令 L xyz + 九(x2 + y2 + z2 1) + 卩(x + y + z)L yz + 2 九x + p = 0,xL xz + 2 九y + p = 0,y21x 2 + px 2

11、1y 2 + py 2 九z 2 + pz,(1)(3)(1)得 2 (x2 y2) p (y x)，2九(y2 z2) p(z y),当x丰y丰z时得2九（x + y） p，2 九(y + z) p故得x = z，代入（2） （3）式得解得稳定点P1 2 1m 由对称性得p3.P (,)也是稳定点.5,6 6 v6 v67抛物面z二x2 + y2被平面x + y + z二1截成一椭圆，求原点到这椭圆的 最长与最短距离.解：设椭圆上点的坐标(X,y,z)，则原点到椭圆上的距离的平方为其中x, y,z需同时满足z二X2 + y2和x + y + z二1令 F(x,y,z,九,九)=x2 + y2

12、 + z2 + 九(z x2 y2) + 九(x + y + z 1),1 2FxFyFz=2 x 2 九 x + 九=012=2 y 2 九 y + 九=012=2 z + 九 +九=01 21 土爲x = 一21 耳y =2z = 2v3可得：d . =J9 5J3 ,mm8求由方程2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 xz - z + 8 = 0确定的隐函数z = f (x, y)的极=弋9 + 5运max解：由隐函数存在性定理知，隐函数具有连续的偏导数，所以它的极值只可能出现在驻点。设三元函数为F(x, y ,z)二 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 xz z

13、+ 8，则方程组F4 x + 8 zn=尸=0;F2 z + 8 x 1/其中F = 2z + 8x 1 丰 0，F4y0 z= = 0.F2 z + 8 x 1zy ；代入 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz z + 8 = 0 中解得 x = 2 z联立解得16x -78z 716所以驻点有两个为:x 7、y 0A z求出xxB z ,注意在此对隐函数求二阶偏导数的过程中把z看成关于x的函数，代入验xyC zyy证两个驻点，一个为极大值点，一个为极小值点。9：首先确定函数在有界闭区域连续，所以必有最大值和最小值。最值必然出现在极值点和边界点：首先在区域内部，由于函数始终存在偏导数，所

14、以极值点只可能出现在驻点。 J f 6 x - 3x 2 0f - 6 y - 0J yf x 0 f x 2 解得驻点:：计 ,L y =叽 y = 0A f 6 - 6 xxx 由于J B f 0 ,代入检验得xyC f 6Lyy(0,0)为极小值点，极小值为0；(2,0)不是极值点。在边界点处即为求条件极值 J f (x, y) 3x2 + 3 y2 x3 打(x, y) x2 + y 2 16 0构造拉格朗日函数F(x, y,九)3x2 + 3y2 - x3 + 九(x2 + y2 -16)F 6 x - 3 x 2 + 2 九 x 0x F 6 y + 2 九 y 0 yF x 2

15、+ y 2 -16 0zf x 4 f x -4 联立解得爲 c，L y 0 L y 0 代入得(4,0) -16; f (-4,0) 112. 所以(4,0)为最小值点,(-4,0)为最大值点。10.求条件极值求条件极值sf( x，y)=d 2=申(x, y) = x2 + 4 y 2 - 4 = 0d = I2 ：+ 3 y 一 622 + 32申(x, y) = x2 + 4 y 2 - 4 = 0构造辅助函数F(x, y,九)=(2x + 3y 一 6)2 + 九(x2 + 4y2 - 4)22 + 32求驻点IF = 2(2 x + 3 y 一 6) + 2 九 x = 0 x13F

16、 = 3(2 x + 3 y 一 6) + 8 九 y = 0 y13= x 2 + 4 y 2 - 4 = 08x =5V3 y =-5 I8 3解得两个驻点：8x = 一一53 y = -5代入验证知（|，5）为最短距离点。11.求一兀函数z = f (x, y) = x2y(4-x- y)在直线x + y = 6， x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解如图，先求函数在D内的驻点,Ifj(X, y)二 2xy(4 x - y) - x2y 二 0| f (x, y)二 x2(4 - x - y) - x2 y 二 0v y得区域D内唯一驻点(2,1)，且f (2,1)二4,再求f (x, y)在D边界上的最值在边界x 0和y 0上f (x，y) 0 ,在边界x + y二6上，即y二6 - x于是 f (x, y)二 x 2(6 - x)(-2),由 广二 4x(x - 6) + 2x2 二 0,x得 x = 0, x = 4 n y 二 6 x I 二 2, f (4,2) = -64,12x=4比较后可知f (2,1)二4为最大值,f (4,2) = -64为最小值.