正态分布 基础

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1、正态分布 基础目录考点一：正态分布 1题型一、正态分布综合题型 2课后综合巩固练习 4考点一：正态分布(1)概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X,则这条曲线称为X 的概率密度曲线曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个数a,b之间的概率就是对应 的曲边梯形的面积(2)正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均 匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布服从正态

2、分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量1(X 甘)2正态变量概率密度曲线的函数表达式为f (x) =e 202 ， x e R，其中卩，O是参数，且b 0，2 n-ng y 式中的参数卩和o分别为正态变量的数学期望和标准差.期望为卩、标准差为o的正态分布通常记作N(y, o2) 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布重要结论： 正态变量在区间(yo , y+o)， (y 2o , y + 2o)， (y 3o , y + 3o)内，取值的概率分别是68.3%， 95.4%，99.7% 正态变量在(g ,+g)内的取值

3、的概率为1，在区间(y-3o，y + 3o)之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取 值几乎都在距x = y三倍标准差之内，这就是正态分布的3o原则.若gN(卩，Q2), f (x)为其概率密度函数，则称F(x) = P(g W x) = fx f (t)dt为概率分布函数，特别的，-gJ匕N(0,12)，称Q(x) = !x -Le-弓dt为标准正态分布函数.Q-八 2nP(ga)=丄，则卩的值为()2A. 0B.1C 2D.3【分析】根据所给的不等式恒成立，把不等式整理成分离参数以后的结果，把a单独整理出来，根据幕函数的性 质，写出不等式右边的取值范围，得到a的值，根据符合正态分布和正态

4、分布的性质，得到结果.【解答】解：丫不等式x 2丫ax 0对任意实数x都成立，x 2 ax，23/. a 孩，e 0， +g)，.在四个选项中a只能取0, a 0 ，T随机变量gN(卩,1)，且P(g a)-，2卩0，故选： A 【点评】本题考查正态分布的性质，考查连续型变量，考查函数恒成立问题，考查幕函数的性质，本题是一个比较 简单的综合题目2.设随机变量gN (PQ 2)，对非负数常数k，则P (I g-卩I ka)的值是()A.只与k有关B只与卩有关C.只与a有关 D.只与卩和a有关【分析】根据g服从正态分布N(PQ2)，先将其转化成标准正态分布，最后利用标准正态分布计算公式即表示出概率

5、P(I g-卩I ka)【解答】解:：考查N(PQ2)与N(0,1)的关系：若g N(p,a2)，则 P(x x 570) = 1 0.4 = 0.1，即可得2到所求人数.W W【解答】解：成绩g服从正态分布N(520,a2)，可得曲线关于直线x = 520对称，P(470 g 570) = 0.8，可得 P(520 g 570) =1 x 0.8 = 0.4，则 P(g 逾0) = 1 0.4 = 0.1，丢 成绩高于570的学生人数约为12000 x 0.1 = 1200 故选： A 【点评】本题考查正态曲线的对称性和运用，考查运算能力，属于基础题4.某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一

6、批枪管，其口径误差(单位：微米)服从正态分布N(1，32)，从已 经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间(4,7)内的概率为(附：若随机变量 g 服从正态分布(p, a 2)，贝y P (pa g p+a) = 68.27%， P (p 2a g p + 2a) = 95.45%)()A31.74%B27.18%C13.59%D4.56%【分析】由题意 P (2 g 4) = 0.6826，P (5 g 8) = 0.9544，可得 P(4 g 7) =1 (0.9545 0.6827). 2【解答】解：由题意 p(_2 g 4) = 0.6827 , P(5 g 7) = 0.95

7、45 ,P(4 g 7) =1 (0.9545 0.6827) = 0.1359.2即从中随机取一件，其长度误差落在区间(4,7) 内的概率是13.59% 故选： C 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量卩和b的应用，考查曲线的对 称性，属于基础题5某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10 件样品检测质量 指标(单位：分)如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70经计算得X二丄刃x = 53.7， s = 穷(x 一 X2) = 9.910 iY10 ii=1i=1生产合同中规定：质量指标在62分以上的

8、产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15% .(I) 以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品 的概率；(II) 根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布N(PQ2)，其中卩近似为样本平均数，b2近似 为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？附：若 X N(卩,b2)， P(卩b X 卩+bu0.6827), P(卩2b 62) P(X 63.6)，则结论可求.【解答】解：(I) 10件产品中优质品的频率为1，记任取3件，优质品数为Y，11 412则 Y B(3,)，P(Y =

9、2) = C2()2 =；53 5 5 125(II)记这种产品的质量指标为X，由题意，XN(53.7， 9.92) ，贝9 P(43.8 X 63.6) = P(卩 -b 62) P(X 63.6) =金=0.15865 0.15 .2.有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.【点评】本题考查服从二项分布随机变量概率的求法，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是基础题 课后综合巩固练习,、1一 (X 从)71.已知两个正态分布密度函数申(x)= 匸e 2丐(x G R，i = 1，2)的图象如图所示，则()iJ2兀biA 卩 卩,Q Q C 卩, Q Q D 卩p , Q

10、 Q1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2【分析】正态曲线关于x二卩对称，且R越大图象越靠近右边，又有Q越小图象越瘦长，得到正确的结果.【解答】解：T正态曲线关于X二卩对称，且卩越大图象越靠近右边，卩 卩；12Q 越小图象越瘦长，.Q Q ，12故选：A【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位 置和形状的影响，是基础题2.某中学组织了“自主招生数学选拔赛”已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为()人.(参考数据P(p-Q X p+

11、Q)= 0.6826，P(卩2q X 卩 + 2q ) = 0.9544)A261B341C477D683【分析】此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，所以数学成绩在75分到86分之间即为数学成绩在(75,75 +11)之间，先根据正态曲线的对称性，求出数学成绩在75分到86分之间概率，再乘以总人数即可估计出数 学成绩在75分到86分之间人数【解答】解：依题意，此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)， 所以数学成绩在75分到86分之间即为数学成绩在(75,75+11)之间，所以 P(75 X 0)，若X在(85,115)内的概率为0.75, 任意选取一名学生，则该

12、生数学成绩高于115的概率为【分析】由题意可得曲线关于直线x = 100对称，可得X在(100,115)内的概率为0.375，可得所求概率.【解答】解：学生的成绩X服从正态分布(100，Q2)(Q 0)，可得曲线关于直线x = 100对称，X 在 (85,115) 内的概率为 0.75，可得X在(100,115)内的概率为-X 0.75 = 0.375 ,2任意选取一名学生，则该生数学成绩高于115的概率为0.5 - 0.375 = 0.125 .故答案为：0.125 【点评】本题考查正态曲线的对称性和运用，考查运算能力，属于基础题4.某工厂抽取了一台设备A在一段时间内生产的一批产品，测量一项

13、质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直 方图(1) 计算该样本的平均值X，方差s2 ；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2) 根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布N(PQ2)，其中 卩近似为样本平均值，b 2近似为样本方差s2 .任取一个产品，记其质量指标值为X .若| X-卩| q，则认为该产 品为一等品；Q 1 X -卩I 2q，则认为该产品为二等品；若I X -卩卜2q ,则认为该产品为不合格品.已知设备A 正常状态下每天生产这种产品1000个.(i)用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3% ?(ii)某公司向该工

14、厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A换得生产相同产品的改进设备B .经测试，设 备B正常状态下每天生产产品1200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概 率是4%.若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40 元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B?参考数据：P(pQ X 卩+Q)= 0.6826 ； P(卩2q X 卩 + 2q) = 0.9544 ； P(卩-3b 0.03，该工厂一天生产的产品中不合格品超过3% ；(ii)设W，W分别为设备A， B 一天为工厂创造的利润，12则 E(W) = 1

15、000 x (50 x 0.6826 + 30 x 0.2718 - 40 x 0.0456) = 1000 x (34.13 + 8.154 -1.824) = 40460 ,1E(W )二 1200 x (50 x 0.7 + 30 x 0.26 - 40 x 0.04)二 1200 x (35 + 7.8 -1.6)二 49440 2采用新设备利润每天增加 E( W) = E(W ) - E(W) = 49440 - 40460 = 8980 ,21因此，只需56天使用设备B产生的利润就超过使用设备A产生的利润和换购费用总和，从长远来看，应该换购设 备B【点评】本题考查由频率分布直方图求

16、平均数与方差，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查计算能 力，是基础题5福建省高考改革试点方案规定：从2018 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021 年开始，高考总成 绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B +、B、C +、C、D +、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、 7%、18%、22%、22%、18%、7%、3%，选考科目成绩计人考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成 绩，依照等比例转换法则，分别转换到91， 100 、 81， 90、 71.80 、 61， 70、

17、 51， 60、 41， 50、 31， 40、 21， 30八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩g 基本服从正态分布N(70,169)(1)求化学原始成绩在区间(57,96) 的人数；(2)以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间71，90的人数，求事件X 2 ”的概率(附：若随机变量 g N (PQ 2),贝y P (卩Qgp+Q)=少.682， P(卩2bgp + 2q) = 0.954、P (卩3Qgp + 3

18、q ) = 0997)【分析(1)由题意，化学原始成绩gN(70，132)，然后利用正态分布曲线的对称性求化学原始成绩在(57,96) 的人数；(2)直接利用二项分布的概率求法求解【解答】解：(1)化学原始成绩gN(70，132)，P(57 g 96) = P(57 g 70) + P(70 g 96)=1 P(70 13 g 70 +13) +1 P(70 2 电3 g 70 + 2 x 13) = 0682 + 0954 = 0.818 /2/2/2/2:.化学原始成绩在(57,96)的人数为2000 x818 = 1636 (人)(2)以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，且等级成绩在区间71，80、81，90的人数所占比 例分别为18%、 7% ，则随机抽取1人，其等级成绩在区间71，90内的概率为1:从全省考生中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0,1, 2，3，1且 X (3,)，41 3 1 5P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = C (4)2 4 + C; (4)3 = 32 -【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查二项分布期望的求法，是中档题.