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1、正态分布的实际应用问题例5 (2019黄冈模拟)某市高中某学科竞赛中，某区4000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(1) 求这4 000名考生的平均成绩x (同一组中数据用该组区间中点值作代表);(2) 认为考生竞赛成绩z服从正态分布N，02)，其中“，呪分别取考生的平均成绩x和 考生成绩的方差S2，那么该区4000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多 少？(3) 如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考 生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为乙求P(dW3).(精确到0.001)附：s2=204.75, “(2
2、04.75=14.31； zN(w, 02)，贝9 P(poz+o) = 0.6826， P(w2ozw+2o) = 0.954 4； 0.841340.501.解析 (1)由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1 T =45X0.1 + 55X0.15 + 65X0.2 + 75X0.3 + 85X0.15 + 95X0.1 = 70.5(分),这4 000名考生的平均成绩X为70.5分.(2)由题知z服从正态分布N(p , 02)，其中二x二70.5.o2= 204.75， o=14.31，z 服从正态分布 N(p , 02)，即 N(70.5,
3、14.312).而 P(p - oz卩 + o)二 P(56.19z84.81)二 0.6826 ,P(z三84.81)二 1 - ；6826 二 0.158.7.竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.1587X4000二634.8634.(3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1-0.1587=0.8413.而 dB(4,0.8413),F(dW3)=l - P二4)二1 - C4XO.84134F - 0.501=0.499.名师点拨解决正态分布问题的三个关键点若随机变量ENQ , 02)，则(1) 对称轴x二卩；(2) 标准差 0；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值
4、；由,o,分布区间的特征进行转 化，使分布区间转化为30特殊区间，从而求出所求概率变式训练3(2017全国卷丨)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产 线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N, 02).(1) 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在幺一3o, +3o)之 外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在少一3o, +3o)之外的零件，就认为这条生产 线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查
5、. 试说明上述监控生产过程方法的合理性； 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.12 9.96 9.9610.01 9.92 9.9810.0410.26 9.9110.1310.02 9.2210.04 10.05 9.95经计算得x =寺史x.=9.97，s=令史(x厂x卫千出史(x?16 x 2戶0.212，其中兀了为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,，16.AA用样本平均数x作为卩的估计伽，用样本标准差s作为O的估计值。，利用估计值判A A A A断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除幺一3。，”+3。)之外的数据，用剩下的数据估计 卩和0(精确到0.01).附:
6、若随机变量 Z服从正态分布 N3,02)，则 P(w-3ozw+3o)=0.997 4,0.997 4160.9592, J0.0080.09.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在3 - 3o , + 3o)之内的概率为0.997 4，从而零件的 尺寸在3 - 3o，“+ 3o)之外的概率为 0.0026，故 XB(16,0.0026) 因此 P(X21)二 1 - P(X=0)=1- 0.997 4160.040 8.X的数学期望为 EX= 16 X 0.0026 二 0.0416.(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在刃-3a , + 3o)之外的概率只有0.0026 ,天 内抽取的16个零件
7、中，出现尺寸在幺-3o , + 3o)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的 概率很小因此旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这天的生产过程可能出现 了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的由-二9.97 , s0.212 ,得“的估计值为公二9.97 , a的估计值为2二0.212 ,由样本数据 可以看出有一个零件的尺寸在S-3，M 3仝)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除S -氓川+ 3句之外的数据9.22，剩下数据的平均数为5(16X9.97 - 9.22) = 10.02 , 因此卩的估计值为10.02.史2= 16 X 0.2122+ 16 X 9.9721591.134 ,i = 1易I除 -迄,備+ 3句之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为右(1591.134 - 9.222 - 15X 10.022戶0.008 ,因此a的估计值为p0硕0.09.
正态分布的实际应用问题
