线性代数与空间解析几何12

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1、1.2 1.2 n 阶行列式阶行列式,1,2,nn为为了了定定义义阶阶行行列列式式 我我们们需需要要数数字字的的全全排排列列及及它它们们的的一一个个重重要要属属性性-奇奇偶偶性性.1,2,.nnnAn由由数数字字组组成成的的一一个个有有序序数数组组称称为为一一个个我我们们表表示示一一切切【定定元元排排义义1 1列列元元】排排列列的的集集合合.3123,132,213,312,321,231,A !.nAn有有个个元元素素121212,.,().)nnijnnijp ppApppipppjpppp 设设若若则则称称数数对对为为一一个个排排列列中中所所有有逆逆序序对对的的【个个数数称称为为此此排排

2、列列的的记记定定义义逆逆序序对对逆逆序序数数为为2 2】此此排排列列中中的的,2431:例例如如 排排列列中中的的所所有有逆逆序序对对有有31,41,21,43;(2431)4.【逆逆序序数数的的计计算算】12,nip ppiti在在中中 若若数数字字的的前前面面(左左边边)有有个个数数字字大大于于则则121(0).nnnttttt ,例例如如.(12)0000;n.(21)(1)(2)1nnn(1).2n n 12.()np pp 121212.(),.();,nnnp ppp ppp pp 若若为为偶偶数数 则则称称排排列列偶偶【定定为为奇奇数数 则则称称此此排排列列义义3 3为为排排列列

3、】奇奇排排列列.(2431)4,例例如如2431;为为偶偶排排列列(45321)9,45321为为奇奇排排列列.【评评注注】,对对任任意意几几不不同同自自然然数数构构成成的的排排列列 我我们们同同可可以以定定义义其其逆逆序序数数和和奇奇偶偶性性.234678(768423)tttttt 443100 12,768423:例例如如为为偶偶排排列列对对换换改改变变排排列列的的【定定理理1 1】奇奇偶偶性性.652413654213:654213652413:645132625134(相隔相隔 3 个数个数)645132654132 651432 651342 651324 651234652134

4、 625134 我们仅用实例说明证明的原理我们仅用实例说明证明的原理:【证证明明】(1)(2)(3)逆序数加逆序数加1;逆序数减逆序数减1;(分解为下面两步分解为下面两步):(3+1次相邻对换次相邻对换);(3次相邻对换次相邻对换)(共用共用 23+1 次次)【证证明明】(1)11,t用用次次相相邻邻对对换换可可将将 调调到到首首位位 这这不不改改变变(2,3,);itin(2)这这也也不不改改变变(3,4,);itin 22,t用用次次相相邻邻对对换换可可将将调调到到第第2 2位位12,()12n.ntttt依依次次类类推推 最最终终此此排排列列经经过过次次相相邻邻对对换换调调成成排排列列【

5、思思考考题题】1221.(2)(),()?.nnp pppp pt若若问问(1)nA说说明明中中奇奇偶偶排排列列各各占占一一半半.111213212223313233aaaaaaaaa123231312123123131231231231233322121 a a aa a aa a aa a aa a aa a a:我我们们先先观观察察三三阶阶行行列列式式的的特特点点(1)123123!,;pppaaa 行行列列式式为为个个单单项项式式的的和和(每每一一个个3 3元元排排列列都都对对应应一一项项)每每个个单单项项式式为为1,2,3;所所有有单单项项式式的的列列指指标标排排列列为为的的所所有有

6、全全排排列列(2)123123,231,31,123,231,31221;p p p 当当排排列列为为时时 单单项项式式的的系系数数为为为为偶偶排排列列(3)123321,213,13,123,231,31221p p p 当当排排列列为为时时 单单项项式式的的系系数数为为为为奇奇排排列列.(4)由此观察由此观察,我们不难给出我们不难给出 n 阶行列式的定义阶行列式的定义:,|,.ij nijaaijn为为简简记记为为数数称称为为阶阶行行列列第第行行第第列列的的式式元元素素12121211121212221212()(1)nnnnnnppnpnnnnAp ppp ppaaaaaaaaaaaa

7、2(,1,2,),ijnai jn 对对于于个个数数【定定义义4 4】我我们们称称【评评注注】(2)111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332(123)(231)(312)(321)(213)(132)(1)(1)(1)+(1)(1)(1)a a aa a aa a aa a aa a aa a a 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a 现在的三阶行列式与以前的一现在的三阶行列式与以前的一致致【例例1 1】0 0 0

8、 10 0 2 0.0 3 0 04 0 0 0计计算算行行列列式式【解解】23411234ppppaaaa11,2,3,4,4:p 在在中中0;0;21,2,3,3:p 在在中中23414342pppaaaa0;31,2,2:p 在在中中34314234ppa aaa41:p 最最后后仅仅有有142334120.a a a a 仅仅有有14233241(4321)0 0 0 10 0 2 0(1)0 3 0 04 0 0 0a a a a 4!24计算计算上三角行列式上三角行列式111212220.00nnnnaaaaaDa【例例2 2】【解解】:npn 1212nppnpaaa11:npn

9、 111,1nnppnnaaa 22:p 213321nppnaaaa,(12)331122(10;)nnnaa aa 最最后后:不不同同于于的的项项必必为为1122nnDa aa;0 0;0;同理同理,下三角行列式下三角行列式特别是特别是,对角形行列式对角形行列式112122112212000;nnnnnnaaaa aaaaa 12120000.00nnddd ddd:DD 转转置置行行列列式式为为DD 行行列列式式与与其其转转置置行行列列【行行列列式式转转置置理理式式定定】相相等等.111212222211nnnnnnaaaaaDaaaa 111222121122nnnnnnaaaDaaa

10、aaa 【评评注注】此性质说明行列式中行和列的地位是对称的此性质说明行列式中行和列的地位是对称的.在行列式的理论中在行列式的理论中,关于行有什么结论关于行有什么结论,对于对于列也有完全类似的结论列也有完全类似的结论.(,1,2,3),ijjii jba 令令则则123123111213212223313233123()(1).pppp p pbbbbbbbbbbbb 112131122232132333Daaaaaaaaa 123123123123;ppppppabbbaa:下下面面我我们们改改写写此此和和式式的的一一般般项项3,n (假假设设不不是是想想通通过过直直接接计计算算验验证证)【证

11、证明明】,3.n 为为了了简简明明 不不失失一一般般性性 假假设设123123123123:pppqqqaaaaaa现现在在等等值值改改写写为为123 123;p p p此此过过程程中中行行指指标标排排列列被被调调为为123 123 .q q q列列指指标标排排列列被被调调为为由于调换是同步的由于调换是同步的,故可用同样个数的相邻对换完成故可用同样个数的相邻对换完成;123123()123;p p pp p p 可可用用个个相相邻邻对对换换调调为为123123()().p p pq q q123123()123;q q qq q q 可可用用个个相相邻邻对对换换调调为为123123123123123123()()(1)(1)pppqqqp p pp p pbbbaaa 1231 2 3123()(1)qqqq q qaaa 123123123123ppppppabbbaa 123123123()(1)pppp p pDbbb 1231 2 3123()(1)qqqq q qaaa 111213212223313233.Daaaaaaaaa123123,3,3p p pq q q很很明明显显 当当取取遍遍一一切切元元排排列列时时也也取取遍遍一一切切 元元排排列列:【思思考考题题】01?.10n 行行列列式式