抛物线中的最值问题

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1、例一、例一、点点P在抛物线在抛物线y2=x上，定点上，定点A(3,0),求求|PA|的最小值。的最小值。取取最最小小值值时时，当当点点在在抛抛物物线线上上，解解：设设211PA25x411)25x(95xxx96xxy)3x(PAxyP)y,x(P222222 法一、目标函数法法一、目标函数法法二、判别式法法二、判别式法过作同心圆过作同心圆,当圆与抛物线相当圆与抛物线相切时切时,到点的距离最小到点的距离最小,设为设为r x xy y r ry y3 3)(x x 2 22 22 22 2则则由由0 0r r9 95 5x xx x2 22 22 21 11 1r r 0 0)r r(9 91

2、14 4(-5 5):2 22 2 可可得得练习：练习：若若P为抛物线为抛物线y2=x上一动点，上一动点，Q为圆（为圆（x-3)2+y2=1 上上一动点，求一动点，求|PQ|的最小值的最小值1 12 21 11 1例二、例二、设设P P为抛物线为抛物线y=xy=x2 2上的一动点，求上的一动点，求P P点到直线点到直线L:3x-4y-6=0L:3x-4y-6=0的距离的最小值。的距离的最小值。有有最最小小值值为为时时，当当点点在在抛抛物物线线上上，解解：设设8087d83x51687)83x(4564x3x564y3xdxyP)yx,(P222 法一、目标函数法法一、目标函数法y=x2P(x,

3、y)xyo法二、判别式法法二、判别式法解：当解：当L L平移到与抛物线平移到与抛物线y=xy=x2 2只有一个公共点时只有一个公共点时,设此时的设此时的直线为直线为L1L1，其方程为，其方程为3x-4y-b=03x-4y-b=0。则。则L L与与L1L1的距离即为所求。的距离即为所求。.)4(3)(622169为为所所求求的的距距离离是是与与8 80 08 87 7 L LL L1 1 d 3x-4y+b=0 y=x2 代入代入可得：可得：4x2-3x+b=0 =(-3)2-44b=0 可得可得 169 bLy=x2xyoL1练习：练习：已知抛物线已知抛物线y y2 2=4x=4x，以抛物线上

4、两点，以抛物线上两点A(4,4)A(4,4)、B(1,-2)B(1,-2)的连线为底边的连线为底边ABPABP，其顶点，其顶点P P在抛物线的弧在抛物线的弧ABAB上运动，求：上运动，求：ABPABP的最大面积的最大面积及此时点及此时点P P的坐标。的坐标。A(4,4)B(1,-2)xyo分析分析1 1：动点在弧动点在弧ABAB上运动，可以设上运动，可以设出点出点P P的坐标，只要求出点的坐标，只要求出点P P到线段到线段ABAB所在直线所在直线ABAB的最大距离即为点的最大距离即为点P P到到线段线段ABAB的最大距离，也就求出了的最大距离，也就求出了ABPABP的最大面积。的最大面积。分析

5、分析2：我们可以连接我们可以连接ABAB，作平行，作平行ABAB的直线的直线L L与抛物线相切，求出直与抛物线相切，求出直线线L L的方程，即可求出直线的方程，即可求出直线L L与与ABAB间的距离，从而求出间的距离，从而求出ABPABP面积的面积的最大值和点最大值和点P P的坐标。的坐标。LP小结：小结：对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值问题，可以由两点间距离公式或者点到直线的问题，可以由两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用函数最值的方法距离公式建立目标函数，再用函数最值的方法求解；也可以通过一些几何性质和已知条件构求解；也可以

6、通过一些几何性质和已知条件构造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判断方程的判别式寻求题目的答案。断方程的判别式寻求题目的答案。已知定点已知定点M M（3 3，2 2），），F F是抛物线是抛物线y y2 2=2x=2x的焦点，的焦点，在此抛物线上求一点在此抛物线上求一点P P，使，使|PM|+|PF|PM|+|PF|取得最小值，取得最小值，求点求点P P的坐标的坐标抛物线上的点到焦点的距离抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。与到准线的距离相等。即即|PF|=|PN|PM|+|PF|=|PM|+|PN|当当 M M、P P、N N三点共三点共线时

7、距离之和最小。线时距离之和最小。FM例三、例三、如图，由抛物线的定义：如图，由抛物线的定义：分析：分析：FMPN解：解：如图所示如图所示|PF|=|PN|即：即：|PF|+|PM|=|PN|+|PM|PM|+|PN|PM|+|PN|=|PM|+|PF|又又点点P的纵坐标等于点的纵坐标等于点M的纵坐标，即的纵坐标，即y=2所以，点所以，点P的坐标为（的坐标为（2，2）在抛物线在抛物线 y2=2x上任取一点上任取一点P(x,y),作作PN准线准线L，作，作MN L，MN交抛物线于交抛物线于P（x，y）由抛物线的定义得：由抛物线的定义得：当当P和和P重合时，即重合时，即PNL，N、P、M三点共线，三

8、点共线，FMPNPNyxOFAPyxOFAPQ练习、练习、P为抛物线为抛物线x2=4y上的一动点，定点上的一动点，定点A（8,7）,求求P到到x轴与到点轴与到点A的距离之和的最小值的距离之和的最小值所求所求p p点位置点位置9几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的定几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的定义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，将图义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，将图形局部进行转化，使最值问题得以求解形局部进行转化，使最值问题得以求解小结：小结：练习：练习：最小MN使得上求一点N,上的一个定点在抛物线0)的对称轴2px(p为抛物线y1.已知M(a,0)2 2、求抛物线、

9、求抛物线y2=64x上的点到直线上的点到直线4x+3y+46=0 距离最小值，并求取得最小值距离最小值，并求取得最小值时抛物线上的点的坐标时抛物线上的点的坐标课堂小结：课堂小结：在解析几何中，常见的最值问题的求解方法主要在解析几何中，常见的最值问题的求解方法主要有以下几种：有以下几种：函数法：函数法：选择恰当的变量，根据题意建立目标函数，选择恰当的变量，根据题意建立目标函数，再探求目标函数的最值方法。再探求目标函数的最值方法。几何法：几何法：利用数形结合的思想，借助于几何图形中的利用数形结合的思想，借助于几何图形中的一些特点，将图形局部进行转化，使最值问一些特点，将图形局部进行转化，使最值问题得以求解。题得以求解。判别式法：判别式法：利用已知条件构造一个含有某一变量的一利用已知条件构造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判断方程的判别式寻求元二次方程，通过判断方程的判别式寻求题目的答案。题目的答案。