高斯型求积公式课件

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1、高斯型求积公式：一个求积公代数精度的概念式的准确程度4.3 4.3 高斯型求积公式高斯型求积公式=0(1()d)nbkkakkkkAxxnxnfxxAf：对于一般的插值求积公式来说，不管在积分区间上的个插值结点如何选取，其至少为；而只要选取合适的与，此插值求积公注代数精度代数式的达精度到最大。问题问题:是否有比等距节点的是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式型求积公式 更高代数精度的求积公式更高代数精度的求积公式?最高能达到多大最高能达到多大?对于给定的求积节点,代数精度最高的求积公式是插值型求积公式.事实上,插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定.节点数目固定后,节

2、点分布不同,所达到的代数精度也不同.问问题题:寻:寻找找最最高高代代数数精精度度的的求求积积公公式式010,()()22!nnbkkakxxxbf x dxA f xn对于任意的求积节点a及求积系数求积公式的代数精度必小于220112100()()()()()()0,I()()0nnbannkkknkkkf xxxxxxxxf x dxA f xAxn这是因为 对于2n+2次代数多项式 有 I=而数值积分 故最高可能代数精度为2n+1.高斯求积公式高斯求积公式=0)d()(1nkbkkaf xxxfAmmm：如果求积公式对于所有次数不超过的多项式均能准确成立，但对于次多项式不一定准确成立，则称

3、该数值求积公式具有次定义4-1代数精度。高斯求积公式高斯求积公式=0()(d)21nkkbkakkxxxffnAxA定义4-2代数精：若插值求积公式具有次，则称该插值求积公式为，其中结点称为；求度高斯求积系数称积公式高斯点高为斯求积系数。=0d)()(1)bkkankxx f xf xfAmmmx：若带权插值求积公式对所有次数不超过的多项式均能准确成立，但对次多项式不一定准确成立，则称该带权插值求积公式 定具有次义4-3代数精度。=0d()()()21bkkankkkxxf xfxAnxA：若带权插值求积公式具有次，则称该带权插值求积公式为，其中结定义4-4代数精度带权高斯求积公式带权高点称为

4、；求积系数称斯点带权高斯为求积系数。权函数定义定义:设a,b是有限或无限区间,(x)是定义在a,b上的非零可积函数，若其满足则称(x)是a,b上的一个权函数。baba,2,1)()2(0)(1)ndxxxdxxn存在在高等数学中介绍付立叶级数时，曾提到函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,中，由于任意两个函数乘积在区间-，+上的积分 都等于零，则说这个函数系在-，+上是正交的，并称这个函数系为正交函数系。定义定义1(a)1(a)：设函数f(x),g(x)a,b,且 则称f(x)与g(x)在a,b上正交.(,)()()0bafgfxgxd x正交多项式正

5、交多项式 定义定义1(b)：设函数f(x),g(x)a,b,且 则称f(x)与g(x)在a,b上带权(x)正交.0)()()(),(dxxgxfxgfba正交多项式正交多项式称为称为权函数权函数定义定义2高斯点与正交多项式的零点高斯点与正交多项式的零点1001=()()d()()()()d)0=nkbkkkankbnnakAxxf xfP xP xxxnxxxx定：插值求积公式其节点为的充要条件是以这些点为零点的多项式与任何次数不超过的多项式在积分区间上理4-1高，斯点均即正交1n+1()Gaussa,b)nkxPx求积公式的特点：1.代数精度达到最高(针对n+1个节点而2n+1次正交多项言)

6、2.高斯点 是上的式的根=0101()(d)()()()()()()()d0=kkbknankknkbnnnaf xf xxxPAxxxnxxxxxP xx：带权插值求积公式其结点为的充要条件是以这些点为零点的多项式与任何次数不超过的多项式在积分区间上关于权函数均定理4-2带权高斯点正交，即。1()a,bn()+1()knxxPx高斯点 是上关于权函数的次 正即交多项式的根常见的正交多项式及高斯求积公式常见的正交多项式及高斯求积公式勒让德多项式(Legendre)切比雪夫多项式(Chebyshev)拉盖尔多项式(Laguerre)埃尔米特多项式 (Hermite)高斯高斯-勒让德求积公式勒让德

7、求积公式111012()d,11d(1)2!d1LegendreLegend(re()()(1,21,)1)0nnnnnnnPxx P xxnnnnP xPxxPnxPx=：定义在区间上阶是正交的函数系，其阶与任何次数不超过的多项式在区间-1.勒让德()多项式勒让德()多项式勒让德多1,1上均正交即式，项2.Legendre多项式的性质多项式的性质:011(1):1,1,0,(,)()()2,21nnnmnmPmnP PP x P x dxmnn正交性是上的正交多项式序列 即0111(2)()1,()(1)()(21)()()1,2,nnnP xP xxnPxnxP xnPxn递推公式(3)(

8、)(1)()nnnPxP x(4),(1,1)所有根都是单根 并在上关于原点对称分布.011=1()(d)3.()1Legendre,Gauss1121 kkkkknnkfxxxxfxGaussLegendrePxnAnA 以多项式的个零点作为区间 上的高斯点，则其插值求积公式称为求积公式高斯-勒让德求积公式，具有次。其中点,及代数精度求积系数可查表求得.nxkAknxkAk10260.93246951420.66120938650.23861918610.17132449240.36076157300.467913934620.5773502692130.774596669200.55555

9、555560.888888888970.94910791230.74153118560.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.417959183740.86113631160.33998104360.34785484510.652145154980.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.362683783450.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050

10、.5688888889高斯高斯-切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式2211111111(d)(),cos()cos(arccos)()1()()1()1()0nxnxnx P xTxnnnxnnxP xTxTxx=1.切比雪夫(Chebyshev)多项：定义在区间上阶是关于权函数正交的函数系式切比雪夫多项式切，其阶与任何次数比雪夫多项式不超过的多项式在区间上关于权函数均正交，即2.Chebyshev多项式的性质多项式的性质:2101121(1)1,1(),0,()()(,),021,0nnxmnmnChebyshevTxmnTx T xT Tdxmnxmn多项式是上带权 的正交多项式组 即011

11、1(2)()1,(),()()2()nnnT xT xxTxTxxT x递推公式(3),1,1)()(21)cos,(1,2,)2kxkxknnn所有根都是单根 在(上与原点对称分布,且T的n个根为22111=11110111()()()dd3.Gauss-C,(21)cos,22111121hebyshev()nxkxkkknkknf xflxxxxxnkTnnxAnTA 以的个零点作为区间上的带权高斯点，其带权插值求积公式为的零求积公式高斯-切比雪夫求积公点称为带权，具有次式代数精度。一般积分区间a,b的处理22,tbabax 先令,a b 1,1a,b 再利用标准区间 上的求积公式:1=

12、01(1)(1(1)(1)ddt22()()()2,222nkbkkaknnknkkknkbabaxxtxbaf xffbabAAAAabatt-为上高斯求积公式的高斯点及求1,1积系数.使得:2220(),0,1,()02,()()(),.kknbki kikailx knlxnx lx dxAlxA设为Lagrange基函数.为次代数多项式 其Gauss数值积分等于精确积分,即有0所有 高斯积分公式具有数值稳定性高斯积分公式的数值稳定型GaussGauss型求积公式的构造方法型求积公式的构造方法(1)求出区间a,b上权函数为W(x)的正交多项式pn(x).(2)求出pn(x)的n n个零点x1,x2,xn 即为Gsuss点.(3)计算积分系数 复习提纲复习提纲应用数值分析应用数值分析第四章第四章：4.2.5小节中的例题小节中的例题 及例题及例题4.3.1；习题习题 4.14.7、4.12、4.13、4.17、4.19