905数字电路与逻辑设计

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1、数字电路与逻辑设计数字电路与逻辑设计授课特点：授课特点：1、只讲知识点、难点和重点、只讲知识点、难点和重点 2、多讲习题、多讲习题 3、重视应用，分析设计题为主。、重视应用，分析设计题为主。4、网上答疑网上答疑 教学要求：教学要求：1、会看书自学、会看书自学 2、多做习题、作业成绩、多做习题、作业成绩20%3、应用、应用PSpice仿真仿真第一章第一章 数制和码制数制和码制1.1 数字量和模拟量数字量和模拟量 数字量数字量：时间上和数值上都离散变化的物理量，：时间上和数值上都离散变化的物理量，最小数量单位最小数量单位 模拟量模拟量：时间上和数值上都连续变化的物理量。：时间上和数值上都连续变化的

2、物理量。处理数字信号处理数字信号(Digital Signal)的电路称为数字电的电路称为数字电路，路，处理模拟信号（处理模拟信号（Analog Signal)的电路称为模拟的电路称为模拟电路。电路。数字信号传输可靠、易于存储、抗干扰能力强、数字信号传输可靠、易于存储、抗干扰能力强、稳定性好。稳定性好。数字信号是一种脉冲信号数字信号是一种脉冲信号(Pulse Signal)，边沿，边沿陡峭、持续时间短，凡是非正弦信号都称为脉冲陡峭、持续时间短，凡是非正弦信号都称为脉冲信号。信号。数字信号有两种传输波形，电平型、脉冲型。数字信号有两种传输波形，电平型、脉冲型。电平型数字信号以一个时间节拍内信号是

3、高电平还电平型数字信号以一个时间节拍内信号是高电平还是低电平来表示是低电平来表示“1”或或“0”，脉冲型数字信号是以一个时间节拍内有无脉冲来表脉冲型数字信号是以一个时间节拍内有无脉冲来表示示“1”或或“0”。1.2 几种常用的数制几种常用的数制数制中允许使用的数码个数称为数制的基数。数制中允许使用的数码个数称为数制的基数。常用的进位计数制有十进制、二进制、八进制和十常用的进位计数制有十进制、二进制、八进制和十六进制。六进制。D=kj Ni，ki是第是第j位的系数，位的系数，N是基数，是基数，N=10，2，8，16；Ni称为第称为第i位的权，位的权，10i，2i，8i，16i。2009=2103

4、+0102+0101+9100（1）十进制：十进制数一般用下标）十进制：十进制数一般用下标10或或D表示，如表示，如2310，87D等。等。（2）二进制：基数）二进制：基数N为为2的进位计数制称为二进制的进位计数制称为二进制（Binary），它只有），它只有0和和1两个有效数码，两个有效数码，进位关系进位关系“逢二进一，借一为二逢二进一，借一为二”。二进制数下标二进制数下标2或或B，如，如1012，1101B等。等。(1001.11)2=123+022+021+120+12-1+12-2 =(9.75)10（3)八进制：基数八进制：基数N为为8的进位计数制，共的进位计数制，共8个有效个有效数码

5、，数码，0 1 2 3 4 5 6 7，下标，下标8或或O。(456.1)8=482+581+680+18-1=(302.125)10（4）十六进制：基数）十六进制：基数N为为16，十六进制有，十六进制有09、A、B、C、D、E、F共共16个数码，个数码，“逢十六进一，借一为十六逢十六进一，借一为十六”。下标。下标16或或H表示，表示，如如A116，1FH等。等。(3AE.7F)16 =3162+10161+14160+716-1+1516-2 =(942.4960937)10 1.3 不同数制间的转换不同数制间的转换（1）二）二十转换：按位权展开，将所有值为十转换：按位权展开，将所有值为1的

6、数的数位的位权相加。位的位权相加。【例【例1.1】（11001101.11）B=1 27+1 26+0 25+0 24+1 23+1 22+0 21+1 20+1 2-1+1 2-2=128+64+8+4+1+0.5+0.25=（205.75）D（2)十十二转换二转换 要分别对整数和小数进行转换。整数部分转换要分别对整数和小数进行转换。整数部分转换除除2取余法取余法。【例【例1.2】(13)D=(1101)B第一次的余数最低有效位第一次的余数最低有效位(LSB)，最后一次的余数最高有效位最后一次的余数最高有效位(MSB)(98)10=(1100010)210110000111小数部分转换小数部

7、分转换乘乘2取整法取整法 第一次积的整数第一次积的整数MSB，最后一次积的整数，最后一次积的整数LSB。【例1.3】(0.8125)D=()B 积的整数0.81252=1.625 1 MSB 0.6252=1.25 10.252=0.5 0 0.52=1 1 LSB(0.8125)D=(0.1101 )B(3)十六十六十转换十转换 按位权展开按位权展开【例【例1.7】1A7.CH=1162+10161+7160+1216-1=1256+1016+7+120.0625=423.75D(4)十十十六转换十六转换 与十与十二转换方法相似，整数部分转换除二转换方法相似，整数部分转换除16取余法，小数部

8、分转换乘以取余法，小数部分转换乘以16取整法取整法 【例【例1.8】287D=11FH 转换过程：转换过程：287/16=17余余15 17/16=1余余1【例【例1.9】0.62890625D=0.A1H 转换过程：转换过程：0.6289062516=10.0625 0.062516=1(5)二二十六转换十六转换 【例【例1.12】10111010111101.101B =0010 1110 1011 1101.1010 B =2EBD.A H(6)十六十六二转换二转换【例【例1.13】十六进制数：】十六进制数：1 C 9.2 F H 二进制数：二进制数：1 1100 1001.0010 1

9、111 B（7)二二八转换八转换【例【例1.14】010 111 011.101 100B =273.54O（8)八八二转换二转换 361.72O =11 110 001.111 010B 1.5码制码制 在数字系统中，常用在数字系统中，常用0和和1的组合来表示不同的数字、符的组合来表示不同的数字、符号、事物，叫做编码，这些编码组合称为代码（号、事物，叫做编码，这些编码组合称为代码（Code)。代码可以分为数字型的和字符型的，有权的和无权的。代码可以分为数字型的和字符型的，有权的和无权的。数字型代码用来表示数字的大小，字符型代码用来表示数字型代码用来表示数字的大小，字符型代码用来表示不同的符号

10、、事物。不同的符号、事物。有权代码的每一数位都定义了相应的位权，无权代码的有权代码的每一数位都定义了相应的位权，无权代码的数位没有定义相应的位权。数位没有定义相应的位权。书第书第13页表页表1.5.1给出有权码：给出有权码：8421、2421、5211码码 无权码：余无权码：余3码、余码、余3循环码。循环码。十进制数码8421码 余3码2421码 5121码 余3循环码012345678900000001001000110100010101100111100010010011010001010110011110001001101010111100000000010010001101001011

11、110011011110111100000001001000110111100011001101111011110010011001110101010011001101111111101010三种常用的代码三种常用的代码:8421BCD码，格雷码，格雷(Gray)码，码，ASCII码。码。（1）8421BCD码：码：BCD（Binary Coded Decimal）码，即二码，即二十进制代码，用四十进制代码，用四位二进制代码表示一位十进制位二进制代码表示一位十进制数码。数码。8421BCD码是有权码，四位码是有权码，四位的权值自左至右依次为：的权值自左至右依次为：8、4、2、1。余余3码码=8

12、421BCD码码+3数值 8421BCD01234567890000000100100011010001010110011110001001（2）格雷）格雷(Gray)码：码：格雷码是一种无权循环码，它的特点是:相邻的两个码之间只有一位不同。十进制数十进制数 格雷码格雷码十进制数十进制数 格雷码格雷码012345670000000100110010 0110011101010100 891011121314151100110111111110 1010101110011000（3）ASCII码码 ASCII码，即美国信息交换标准码码，即美国信息交换标准码(American Standard C

13、ode for Information Interchange)，是目前国际上广泛采用的一种字符码。是目前国际上广泛采用的一种字符码。ASCII码用七位二进制代码来表示码用七位二进制代码来表示128个不同的字个不同的字符和符号。符和符号。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 逻辑代数是由英国数学家乔治逻辑代数是由英国数学家乔治布尔于布尔于1849年首先年首先提出的，称为布尔代数。提出的，称为布尔代数。逻辑代数是研究逻辑变量间的因果关系，是分析逻辑代数是研究逻辑变量间的因果关系，是分析和设计逻辑电路的数学工具。和设计逻辑电路的数学工具。逻辑变量是使用字母表示的变量，只有两种取值逻辑变量是使用字

14、母表示的变量，只有两种取值1、0，代表两种不同的逻辑状态：高低电平、有无脉冲、代表两种不同的逻辑状态：高低电平、有无脉冲、真或假、真或假、1或或0。2.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 逻辑代数基本运算有逻辑代数基本运算有与、或、非与、或、非三种，逻辑与、逻辑或三种，逻辑与、逻辑或和逻辑非。和逻辑非。1.逻辑与逻辑与 只有决定某事件的全部条件同时具备时，该事件才只有决定某事件的全部条件同时具备时，该事件才发生，逻辑与，或称逻辑乘。发生，逻辑与，或称逻辑乘。开关开关A=B=1开关接通，电灯开关接通，电灯F=1灯亮，灯亮，A=B=0开关断开、灯开关断开、灯灭，逻辑与灭，逻辑与“”，写成，写

15、成F=AB或或F=AB A BY0 00 11 01 10001与逻辑符号与逻辑符号 and逻辑真值表(Truth Table)：自变量的各种可能取值与函数值F的对应关系。与逻辑真值表与逻辑真值表2.逻辑或逻辑或 决定某事件的诸多条件中，只要有一个或一个以决定某事件的诸多条件中，只要有一个或一个以上条件具备时，该事件都会发生，或称逻辑加。上条件具备时，该事件都会发生，或称逻辑加。开关开关A和和B中有一个接通或一个以上接通（中有一个接通或一个以上接通（A=1或或B=1）时，灯时，灯F都会亮（都会亮（F=1），逻辑或），逻辑或“+”。写成写成F=A+BA BF0 00 11 01 10111或逻辑

16、真值表或逻辑真值表或逻辑符号或逻辑符号 or3.逻辑非逻辑非 在只有一个条件决定某事件的情况下，如果当条件具在只有一个条件决定某事件的情况下，如果当条件具备时，该事件不发生；而当条件不具备时，该事件反而发生，备时，该事件不发生；而当条件不具备时，该事件反而发生，称为逻辑非，也称为逻辑反。称为逻辑非，也称为逻辑反。开关接通（开关接通（A=1）时，电灯）时，电灯F不亮（不亮（F=0），而当开关断开），而当开关断开（A=0）时，电灯）时，电灯F亮（亮（F=1）。）。逻辑反，写成逻辑反，写成F=A AF0110非逻辑真值表非逻辑真值表非逻辑符号非逻辑符号 inverter4.其他常见逻辑运算其他常见逻

17、辑运算常见的复合逻辑运算有常见的复合逻辑运算有:与非、或非、异或、同或等与非、或非、异或、同或等运算的表达式：运算的表达式：与非：与非：Y=(AB)先与后非先与后非或非：或非：Y=(A+B)先或后非先或后非与或非表达式：与或非表达式：Y=(AB+CD)先与再或后取非先与再或后取非与非逻辑与非逻辑或非逻辑或非逻辑A BYA BY0 00 11 01 111100 00 11 01 11000与或非逻辑的真值表与或非逻辑的真值表 A B C DY 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0

18、0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 11110111011100000nand nor 异或逻辑异或逻辑A BY0 00 11 01 10110异或表达式：异或表达式：Y=A B =AB+AB A、B不同，不同，Y为为1；A、B相同，相同，Y为为0。可以证明：奇数个可以证明：奇数个1相异或，等于相异或，等于1；偶数个偶数个1相异或，等于相异或，等于0。A 0=A A=1,1 0=1;A=0,0 0=1;A 1=A A=1,1 1=0;A=0,0 1=1 A A=0 A A=1 0 1 0 1 1 1 1110101同或逻辑同或逻辑

19、A BY0 00 11 01 11001同或表达式：同或表达式：Y=A B =AB+AB A、B相同，相同，Y为为1；A、B不同，不同，Y为为0。A B=(A B)A B=(A B)A 0=A A 1=A A A=1 A A=0 A B=A B=A B=A B A B=A B=A B=A B异或逻辑异或逻辑A BY0 00 11 01 101102.2 逻辑代数的公式逻辑代数的公式1 基本公式基本公式 关于变量和常量的公式关于变量和常量的公式 00=0 0+0=0 11=1 1+1=1 01=0 0+1=1 0=1 1=0(1)0A=0 (2)0+A=A (3)1A=A (4)1+A=1互补律

20、互补律(5)AA=0 (6)A+A=1 重叠律重叠律(7)AA=A(8)A+A=A 交换律交换律(9)AB=BA (10)A+B=B+A 结合律结合律(11)A(BC)=(AB)C (12)A+(B+C)=(A+B)+C分配律分配律(13)A(B+C)=AB+AC (14)A+BC=(A+B)(A+C)用真值表证明公式用真值表证明公式 A+BC=(A+B)(A+C)A B C BCA+BCA+BA+C(A+B)(A+C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10001000100011111001111110101111100011111反演律（德反演律

21、（德摩根定律摩根定律）(15)(A+B)=AB (16)(AB)=A+B 还原律还原律(17)A=A A B(A+B)AB0 00 11 01 110001000(AB)A+B111011102 常用公式常用公式（1）A+AB=A 证明：证明：A+AB =A1+AB =A(1+B)=A1=A 例如：例如：(A+B)+(A+B)CD =A+B（2）A+AB=A+B 应用分配律应用分配律 证明：证明：A+A B =(A+A)(A+B)=1(A+B)=A+B 例如：例如：A+B+(A B)C =A+B+(A+B)C =A+B+C 在两个乘积项相加时，在两个乘积项相加时，如果其中一项是另一个项如果其中

22、一项是另一个项的一个因子，则另一项可的一个因子，则另一项可以被吸收。以被吸收。一个乘积项的部分一个乘积项的部分因子是另一乘积项的补，因子是另一乘积项的补，这个乘积项的部分因子这个乘积项的部分因子是多余的。是多余的。（3）AB+AB=A 证明：证明：AB+AB =A(B+B)=A1 =A （4）A(A+B)=A 证明：证明：A(A+B)=AA+AB =A+AB =A(1+B)=A1 =A 当两个乘积项相加时，当两个乘积项相加时，若它们分别包含若它们分别包含B和和B两个两个因子而其它因子相同，则因子而其它因子相同，则两项可以合并，可将两项可以合并，可将B和和B两个因子消去。两个因子消去。变量变量A

23、和包含和包含A的和的和相乘时，结果等于相乘时，结果等于A。（5）AB+A C+BC=AB+AC 证明：AB+A C+BC =AB+A C+BC(A+A)=AB+A C+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC 例：ABC+(A+B)D+CD =(AB)C+(AB)D+CD =ABC+(AB)D =ABC+(A+B)D 在一个与或表达在一个与或表达式中，如果一个与式中，如果一个与项中的一个因子的项中的一个因子的反是另一个与项的反是另一个与项的一个因子，则由这一个因子，则由这两个与项其余的因两个与项其余的因子组成的第三个与子组成的第三个与项是多余项。项是多余项。推论：AB+A

24、C+BCDE =AB+AC 在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则包含这两个与项其余因子作为因子的与项是多余项。例：ABC+(A+B)D+CD(E+FG)=ABC+(A+B)D（6）A(AB)=AB A(AB)=A 证明：证明：A(AB)=A(A+B)=AA+AB =AB证明：证明：A(AB)=A(A+B)=AA+AB =A(1+B)=A 交叉互换律交叉互换律（7）AB+AC =(A+C)(A+B)证明：证明：(A+C)(A+B)=AA+AB+AC+BC =AB+AC+BC =AB+AC2.3 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理代入定理：代入定理：在一个逻

25、辑等式两边出现某个变量（逻辑式）的所有位置都代入另一个变量（逻辑式），则等式仍然成立。例：已知(AB)=A+B 在等式两边出现B的所有位置都代入BC 左边(A(BC)=A+(BC)=A+B+C 右边右边A+(BC)=A+B+C 等式仍然成立例：已知(A+B)=AB，在等式两边B的位置都代入B+C 左边左边(A+(B+C)=A(B+C)=ABC 右边右边 AB=A(B+C)=ABC 等式仍然成立反演定理反演定理 对一个逻辑函数对一个逻辑函数Y进行如下变换：进行如下变换：将所有的将所有的“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量原变量换成换成反变量反变量

26、，反变量反变量换成换成原变量原变量，则得到函数则得到函数Y的反函数的反函数Y例：例：Y=AB+(AC)+D)Y=(A+B)(A+C)D)注意两点：保持原函数中逻辑运算的优先顺序；逻注意两点：保持原函数中逻辑运算的优先顺序；逻辑式上（不是单个变量上）的反号可以保持不变。辑式上（不是单个变量上）的反号可以保持不变。对偶定理对偶定理 对一个逻辑函数Y进行如下变换：将所有的“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到函数Y的对偶函数YD。例：Y1=A(B+C)，Y1D=A+BC Y2=AB+AC，Y2D=(A+B)(A+C)Y3=(AB+CD)Y3D=(A+B)(C+D)Y4

27、=AB+(C+D)Y4D=(A+B)(CD)对偶规则：如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。例：已知A(B+C)=AB+AC则两边求对偶 A+BC=(A+B)(A+C)2.4 逻辑函数的描述方法逻辑函数的描述方法(1)逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 逻辑函数常用的描述方法逻辑函数常用的描述方法有有逻辑表达式、真值表、卡诺图逻辑表达式、真值表、卡诺图和和逻辑图逻辑图等。等。逻辑真值表逻辑真值表 用来反映变量所有取值组用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，称为真合及对应函数值的表格，称为真值表。值表。例如，在一个判奇电路中，当例如，在一个判奇电路中，当A、B、C三个变量中有奇数个三

28、个变量中有奇数个1时，时，输出输出Y为为1；否则，输出；否则，输出Y为为0。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 01 0 11 1 01 1 101101001判奇电路的真值表判奇电路的真值表 从真值表写逻辑函数式：从真值表写逻辑函数式：Y=1的组合，的组合，1写写原变量原变量0写写反变量，反变量，乘积项相加。乘积项相加。ABC ABC ABC ABC001 010 100 111 判奇电路的表达式：判奇电路的表达式：Y=ABC+ABC+ABC+ABCA B CY0 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 01 0 11 1 01 1 1 01101001 表达

29、式表达式 常用的逻辑表达式有常用的逻辑表达式有与或与或表达式、表达式、标标准与或准与或表达式、表达式、或与或与表达式、表达式、标准或与标准或与表达式、表达式、与非与非与非与非表达式、表达式、或非或非或非或非表达式、表达式、与或非与或非表达表达式等。式等。与或表达式：与或表达式：Y=AB+ACD 标准与或表达式：标准与或表达式：Y=ABCD+ABCD+ABCD 或与表达式：或与表达式：Y=(A+B)(A+C+D)标准或与表达式：标准或与表达式：Y=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)与非与非表达式：与非与非表达式：Y=(AB)(AD)或非或非表达式：或非或非表达式：Y=(A+B

30、)+(C+D)与或非表达式：与或非表达式：Y=(AB+CD)逻辑图逻辑图 由逻辑门电路符号构成的，表示逻辑变量之由逻辑门电路符号构成的，表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。P1=AP2=BP3=C DP4=(P1P2)P5=(P2P3)Y=(P4+P5)Y=(AB)+(B(C D)(2)不同描述方法之间的转换不同描述方法之间的转换表达式表达式真值表真值表 首先按自然二进制码的顺序首先按自然二进制码的顺序列出所有逻辑变量的不同取值列出所有逻辑变量的不同取值组合，确定出相应的函数值。组合，确定出相应的函数值。逻辑函数逻辑函数 Y=AB+BC

31、+CA 的的真值表真值表 10X X10 0X1从逻辑式列出真值表从逻辑式列出真值表 Y=A+BC+ABC 1XX X01 010 Y=m1+m2+m4+m5+m6+m7A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101111110A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101111真值表真值表表达式表达式Y=ABC+ABC+ABC+ABC A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101001逻辑式逻辑式逻辑图逻辑图Y=(A+B)+(A+

32、B)=A B 逻辑图逻辑图逻辑式逻辑式 (3)逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式：标准与或表达式和标准或与表达式。标准与或表达式和标准或与表达式。最小项表达式：每个与项都包含了所有相关的逻最小项表达式：每个与项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量仅出现一次。辑变量，每个变量以原变量或反变量仅出现一次。标准与项，又称最小项。标准与项，又称最小项。n变量的最小项有变量的最小项有2n个。个。ABC三变量的最小项有三变量的最小项有ABC ABCABC 最小项的性质（了解）最小项的性质（了解）(1)每个最小项都有一个取值组合使其值为每个最小项都有一个取值组合使其值为1，其余，其

33、余任何组合均使该最小项为任何组合均使该最小项为0。(2)全体的最小项之和为全体的最小项之和为1。(3)任意两个不同最小项的乘积为任意两个不同最小项的乘积为0。(4)相邻的两个最小项合并成一项，消去一对不同的相邻的两个最小项合并成一项，消去一对不同的因子。只有一个因子不同的最小项具有相邻性。因子。只有一个因子不同的最小项具有相邻性。最小项编号：最小项对应变量取值组合的大小，为最小项编号。最小项编号：最小项对应变量取值组合的大小，为最小项编号。例：例：ABC对应的变量取值组合为对应的变量取值组合为101，其大小为，其大小为5，所以，所以ABC的的编号为编号为5，记为，记为m5。最小项变量取值组合，

34、原变量取值为最小项变量取值组合，原变量取值为1；反变量取值为；反变量取值为0。【例【例1】Y=A+BC+ABC的最小项表达式。的最小项表达式。Y=A+BC+ABC =A(B+B)(C+C)+(A+A)BC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =m1+m2+m4+m5+m6+m7或或 Y(A,B,C)=mi(i=1,2,4,5,6,7)或或Y(A,B,C)=(1,2,4,5,6,7)一个与项如果缺少一个变量，生成两个最小项；一个与一个与项如果缺少一个变量，生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，生成四个最小项；一个

35、与项如果缺少项如果缺少两个变量，生成四个最小项；一个与项如果缺少n个变量，则生成个变量，则生成2n个最小项。个最小项。【例2】从真值表写出逻辑函数的最小项表达式。解：Y(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC =m1+m2+m4+m7 =mi(i=1,2,4,7)A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101001最大项表达式最大项表达式 每个或项都包含了所有相关的每个或项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出现逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次。一次且仅出现一次。标准或项，又称最大项。标准或项，

36、又称最大项。例：最大项例：最大项(A+B+C)的变量取值组合为的变量取值组合为010，其大小为其大小为2，因而，因而，(A+B+C)的编号为的编号为2，记，记为为M2。由真值表求函数的标准或与由真值表求函数的标准或与表达式时，找出真值表中函数值表达式时，找出真值表中函数值为为0的对应组合，将这些组合对的对应组合，将这些组合对应的最大项相与。应的最大项相与。【例】【例】已知逻辑函数的真值表，已知逻辑函数的真值表，写出函数的标准或与表达式。写出函数的标准或与表达式。解：函数解：函数F的最大项表达式为的最大项表达式为A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01

37、 1 110010110Y(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M1M2M4M7 =Mk(1,2,4,7)最小项表达式和最大项表达式之间的转换最小项表达式和最大项表达式之间的转换 Mi=mi 同一函数，标准与或式中最小项的编号最小项的编号和标准或与式中最大项的编号最大项的编号是互补的，最小项的编号与最大项的编号在同一逻辑函数的表达式不相同。逻辑函数 ，则Y=0的最小项之和为Y 得到最小项最小项编号编号最小项最小项十进制十进制变量取值变量取值A B Cm0m1m2m3m4m5m6m7ABC ABCABC ABCABC ABCABC ABC012345670 0

38、 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1imYikkmikkMY最大项最大项编号编号最大项最大项M0M1M2M3M4M5M6M7A+B+CA+B+CA+B+CA+B+C A+B+CA+B+C A+B+CA+B+C【例】已知Y=(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC，写出最小项表达式。Y=(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC=(1,2,4,7)=(0,3,5,6)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)【例】已知 Y=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)，写出标准与或表达式。Y=(A+B+C)(A+B+C

39、)(A+B+C)(A+B+C)=(1,3,5,7)=(0,2,4,6)=ABC+ABC+ABC+ABC2.5逻辑函数的化简逻辑函数的化简 最简表达式有很多种，最常用的有最简与或表达式和最简或与表达式。最简与或表达式必须满足的条件：(1)乘积项个数最少。(2)乘积项中变量的个数最少。Y=ABC+BC+ACD=AC+BC最简或与表达式必须满足的条件有：(1)或项个数最少。(2)或项中变量的个数最少。常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。一、公式法化简一、公式法化简 公式法化简逻辑函数，是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。常用方法有以下四种。并项法并项法 AB+AB=A 将两个与项合并

40、为一个，消去其中的一个变量。【例】Y=AB+AB+AB+AB =(AB+AB)+(AB+AB)=A+A=1吸收法吸收法 A+AB=A 吸收多余的与项。【例】F=(A+AB+ABC)(A+B+C)=A(A+B+C)=AA+AB+AC =A+AB+AC =A消因子法消因子法 A+AB=A+B 消去与项多余的因子。【例】Y=AB+AC+BC+CD+D =AB+AC+BC+C+D =AB+A+B+C+D =B+A+B+C+D=1消项法消项法 AB+AC=AB+AC+BC 进行配项，以消去更多的与项。【例】Y=AB+BD+DA+DCE =AB+BD+AD+DA+DCE =AB+BD+D+DCE =AB+

41、D 配项法配项法A+A=A，A+A=1配项，能更加简化表达式。方法Y=ABC+ABC+ABC=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB(C+C)+BC(A+A)=AB+BC方法2：Y=AB+AB+BC+BC=AB+AB(C+C)+BC+(A+A)BC=AB+ABC+ABC+BC+ABC+ABC=(AB+ABC)+(ABC+BC)+(ABC+ABC)=AB+BC+AC公式法公式法常用常用4种化简方法种化简方法并项法并项法 AB+AB=A吸收法吸收法 A+AB=A消因子法消因子法 A+AB=A+B消项法消项法 AB+AC=AB+AC+BC配项法配项法A+A=A，A+A=1【例】Y=AB+BC+

42、BC+AB =AB+BC+(BC+AB)=AB+BC+BC+AB+AC =AB+BC+(BC+AC+AB)=AB+BC+BC+AC =(AB+AC+BC)+BC =AB+AC+BC 【例】Y=AB+AC+BC+BD+BD+BC+ADE(F+G)=A(B+C)+BC+BD+BD+BC+ADE(F+G)=A(BC)+BC+BD+BD+BC+ADE(F+G)=A+BC+BD+BD+BC+ADE(F+G)=A+BD+BD+BC+CD =A+BD+BC+CD 求与非与非-与非式与非式 两次求反 Y=(A+BD+BC+CD)=(A(BD)(BC)(CD)BD+CD=BCBC+CD=BDCD【例【例】Y=A

43、(A+B)(A+C)(B+D)(A+C+E+F)(B+F)(D+E+F)求求Y的对偶式并化简的对偶式并化简YD=A+AB+AC+BD+ACEF+BF+DEF =A+AC+BD+BF =A+C+BD+BF 再求对偶式再求对偶式 Y=(YD)D=AC(B+D)(B+F)求或非求或非-或非式或非式 两次求反两次求反 Y=(AC(B+D)(B+F)=(A+C+(B+D)+(B+F)+DF二、卡诺图法化简二、卡诺图法化简1.表示最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图 将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。具有逻

44、辑相邻相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。01AB101ABC011ABC010ABC100ABC110ABC 方格中的数字为该方格对应最小项的十进制数，称该方格的编号。一个四变量函数的卡诺图，方格中的0和1表示在对应变量取值组合下该函数的取值。真值表真值表卡诺图卡诺图 找出真值表中函数值为1的变量组合，在卡诺图中具有相应编号的方格中标上1。A B C DFA B C DF0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1011011011 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0 1 1 0 11 1 1

45、 01 1 1 1010100101111111100000000表达式表达式卡诺图卡诺图【例】画出逻辑函数Y=AC+(B+A+D)+ABCD 的卡诺图。Y=AC+(B+A+D)+ABCD =AC+ABD+ABCD 一个与项如果缺少一个变量，对应卡诺图中两个方格；一个与项如果缺少两个变量，对应卡诺图中四个方格；一个与项如果缺少n个变量，则对应卡诺图中2n个方格。1111111000000000100120ABCD0001000100170111011011300101800110卡诺图卡诺图标准表达式标准表达式 Y=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD =(0,2,7,8

46、,10,13)000000100111100010101101卡诺图卡诺图标准或与式标准或与式【例】Y=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)=(1,5,9,15)10111ABCD00010001105111110111101511010911000000010101100111112.卡诺图化简法求最简与或式卡诺图化简法求最简与或式卡诺图的相邻性卡诺图的相邻性 最小项的相邻性定义：两个最小项，最小项的相邻性定义：两个最小项，只有一个变量的形式不同，其余变量的都只有一个变量的形式不同，其余变量的都不变，这两个最小项是逻辑相邻的。不变，这两个最小项是逻辑相邻的

47、。ABC ABC ABC ABC 卡诺图的相邻性判别：在卡诺图的两卡诺图的相邻性判别：在卡诺图的两个方格中，如果只有一个变量的取值不同，个方格中，如果只有一个变量的取值不同，其余变量的取值都不变，则这两个方格对其余变量的取值都不变，则这两个方格对应的最小项是逻辑相邻的。应的最小项是逻辑相邻的。111110100000 卡诺图化简法的一般规律卡诺图化简法的一般规律（1）两个相邻的两个相邻的1方格方格圈在一起，消去一个变量消去一个变量。ABC+ABC=AB 000 001 00X ABC+ABC=AC 001 011 0X1 ABC+ABC=BC 101 001 X01 ABC+ABC=AC 10

48、0 110 1X0 ABCD+ABCD=BCD 0101 1101 X101 ABCD+ABCD=BCD 0011 1011 X011（2）四个相邻的四个相邻的1格格圈在一起，消去两个变量消去两个变量。0000+0010 1000+1010111100X010X0+=X0X0 BD（3）八个相邻的八个相邻的1方格方格圈在一起，消去三个消去三个变量变量。(4）2n个相邻的个相邻的1方格圈在一起，消去方格圈在一起，消去n个变个变量。量。2n个相邻的个相邻的1方格对应的方格对应的2n个最小项中，个最小项中，有有n个变量的形式变化过，将它们相或时可个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这以消去这n个

49、变量，只剩下不变的因子。个变量，只剩下不变的因子。（5）如果卡诺图中所有的方格都为）如果卡诺图中所有的方格都为1，将它，将它们圈在一起，结果为们圈在一起，结果为1。卡诺图化简法的步骤和原则卡诺图化简法的步骤和原则 卡诺图化简最简与或式的一般步骤：卡诺图化简最简与或式的一般步骤：（1）画出函数的卡诺图；）画出函数的卡诺图；（2）先圈孤立）先圈孤立1格；格；（3）再圈只有一个方向的最小项（）再圈只有一个方向的最小项（1格）组合；格）组合；（4）合并其余最小项，每个圈内必须有一个）合并其余最小项，每个圈内必须有一个1格未被圈过。格未被圈过。（5）写出最简与或表达式。）写出最简与或表达式。Y(A,B,

50、C,D)=m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)写出最简与或式。写出最简与或式。Y=ABCD+ABD+CD+BC+ABD111111111ABCDABDCDBCABD 卡诺图化简最简与或式的原则：卡诺图化简最简与或式的原则：（1）每个）每个1格至少被圈一次。当某个方格被圈多于格至少被圈一次。当某个方格被圈多于一次时，相当于对这个最小项使用同一律一次时，相当于对这个最小项使用同一律A+A=A，并不改变函数的值。并不改变函数的值。（2）每个圈中至少有一个）每个圈中至少有一个1方格是其余所有圈中不方格是其余所有圈中不包含的。包含的。如果一个圈中的任何一个如果一个圈中的任何一个1方格都出现方格

51、都出现在别的圈中，则这个圈就是多余的。在别的圈中，则这个圈就是多余的。（3）任一圈中不能包含）任一圈中不能包含0格。格。（4）圈的个数越少越好。）圈的个数越少越好。圈的个数越少，得到的圈的个数越少，得到的与项就越少。与项就越少。（5）圈越大越好。）圈越大越好。圈越大，消去的变量越多，所圈越大，消去的变量越多，所得与项包含的因子就越少。每个圈中包含的得与项包含的因子就越少。每个圈中包含的1方方格的个数必须是格的个数必须是2的整数次方。的整数次方。【例】化简函数 Y=D(A+B)+B(C+AD)写出最简与或式。解：Y=D(A+B)+B(C+AD)=AD+BD+BC+ABD 填卡诺图 =D+BC11

52、111111111111DBC【例】Y=m（0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15），写出最简与或式。（a）Y=BD+ABC+ACD+ABC+ACD两次求反实现与非-与非表达式 (Y)=(BD)(ABC)(ACD)(ABC)(ACD)（b）Y=BD+ABC+ACD+ABC+ACD (Y)=(BD)(ABC)(ACD)(ABC)(ACD)1111BDABCACDACDABC3.卡诺图化简求最简或与式卡诺图化简求最简或与式 对相邻的0格进行合并。【例】Y=ACD+AB+ABCD+ABCD，最简或与式。解：方法直接圈0格，写或与表达式Y=(A+B)(B+D)(A+B+C)方法圈0格

53、，求反函数的最简与或式，再取反。Y=AB+BD+ABCY=(A+B)(B+D)(A+B+C)求与或非式：圈求与或非式：圈0格，写反函数格，写反函数Y最小项式。最小项式。Y=ABC+BD+AB 取反 Y=(ABC+BD+AB)(A+B)(B+D)(A+B+C)ABBDABC2.6 带无关项逻辑函数的化简带无关项逻辑函数的化简1.逻辑函数中的无关项逻辑函数中的无关项 变量的某些取值组合是不会发生的，这些不会发生的组合所对应的最小项称为约束项约束项。对变量所有可能的取值，约束项的值都等于0。对变量约束的具体描述叫做约束条件约束条件。例如，AB+AC=0，(5,6,7)=0,d(5,6,7)等。在真值

54、表和卡诺图中，约束一般记为“”或“”d”。例：交通灯，红黄绿(RYG)亮为1，控制电路(Y)正常工作为1。Y=RYG+RYG+RYG约束条件：RYG+RYG+RYG+RYG+RYG=0 有时我们只关心变量某些取值组合情况下函数的值，而对变量的其他取值组合所对应的函数值不加限定，取0或者取1都可以。函数值取值可0可1的变量组合所对应的最小项常称为任意项任意项。约束项和任意项统称为无关项无关项。在对具有无关项的逻辑函数进行化简时，加不加无关项，要以得到的函数表达式最简为原则。在用卡诺图化简具有无关项逻辑函数时，无关项对应的方格可圈也可以不圈。0000-1001，1010、1011、1100、110

55、1、1110、1111 对应的输入不出现对应的输入不出现2.带约束项逻辑函数的化简带约束项逻辑函数的化简 下面举例来说明带约束项逻辑函数的化简。【例】求函数的最简与或表达式 Y=ABC+ABCD+ABCD 约束条件 ACD+ACD=0解:下面分别用公式法和卡诺图法进行求解。（1）公式法。由约束条件得：ACD=0 ACD=0Y=ABC+ABCD+ABCD=ABC+A(B+B)CD=ABC+ACD=ABC+ACD+ACD=ABC+AC(D+D)=ABC+AC=A(BC+C)=A(B+C)=AB+AC（2）卡诺图法 Y=ABC+ABCD+ABCD 约束条件 ACD+ACD=0 ACD 和 ACD 用

56、X表示 最简与或表达式为 Y=AB+AC 约束条件 ACD+ACD=0无关项可圈，可不圈，圈内必须有1格。ABACXXXX3.带任意项逻辑函数的化简带任意项逻辑函数的化简【例】【例】求函数的最简与或表达式。求函数的最简与或表达式。F=(0,2,3,4,8)+d(10,11,12,13,14,15)解解:最简与或表达式如下：最简与或表达式如下：Y=CD+BC圈0格化简时，无关项可以作为0格CDBCXXXXXX【例】已知真值表，其中“”表示任意项，求最简与或表达式。解：Y=A+BCA B CF0 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1111 1 0 0 ABCXX作作 业业题1.1，（1.2 1.3）（1）（3）题1.4、1.5、1.6、1.9、中奇数题 题2.1(4)、2.3(2)(4)、2.4(2)、2.5(1)(3)(5)(7)、2.6 2.7、2.8 2.9奇数题