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1、主讲教师：主讲教师：沈沈 良良 E-mail:序序常微分方程常微分方程?偏微分方程偏微分方程常微分方程：定义，解，阶，线性，齐次，系数常微分方程：定义，解，阶，线性，齐次，系数 例：例：)()()(xfyxqyxpy注：二阶，线性注：二阶，线性 假设假设 ，那么称为齐次；否那么为，那么称为齐次；否那么为非齐次。非齐次。0)(xf 假设系数假设系数 为常数，那么称为常系为常数，那么称为常系数方程。数方程。)(),(xqxp偏微分方程：三类典型方程偏微分方程：三类典型方程 波动方程波动方程热传导方程热传导方程位势方程位势方程)(222222222zuyuxuatu)(2222222zuyuxuat
2、u2222220zuyuxu注：三维，齐次注：三维，齐次Green 方程的导出和定解问题方程的导出和定解问题分离变量法分离变量法数学物理方程数学物理方程行波法行波法基本解法基本解法积分变换法积分变换法函数法函数法 贝塞尔函数贝塞尔函数特殊函数特殊函数勒让德函数勒让德函数课程内容：课程内容：第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导根据系统边界所处的物理条件和初始状态列根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；出定解条件；主要内容主要内容从不同的物理模型出发，建立数学物理中三从不同的物理模型出发，建立数学物理中三 类典型方程；类典型方程；提出相应的定解问题提出相应的定
3、解问题例例 1.1.弦的微小横振动弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为设有一条拉紧的弦，长为l l，平衡位置与，平衡位置与x x轴轴的正半轴重合，且一端与原点重合的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。直外力作用后的运动状态。假设与结论：假设与结论：1 1横振动横振动 坐标系坐标系oxuoxu，位移，位移u(x,t)u(x,t)12 xudxdxxuds 21 2微小振动微小振动建立方程建立方程：取微元 MM，研究在水平方向和垂直方向上 MM 在不受外力的情况下的运动情况。3 3弦柔软、均匀弦柔软、均匀.张力张力 ,线密度线密度 ；)(xT牛顿运动定律
4、：牛顿运动定律：F=ma作用在弧作用在弧段段 上的水平方向的力为上的水平方向的力为 MM0coscosTT倾角很小，即倾角很小，即0,0 近似得近似得TT 垂直方向的力为垂直方向的力为22(,)sinsinu x tTTgdsdst1牛顿运动定律：牛顿运动定律：F=ma作用在弧作用在弧段段 上的水平方向的力为上的水平方向的力为 MM0coscosTT倾角很小，即倾角很小，即0,0 近似得近似得TT 垂直方向的力为垂直方向的力为22(,)sinsinu x tTTgdsdst1sintg,sintg,.dsdx(,)(,),.u x tu x dx ttgtgxx22(,)tgtgu x tTT
5、gdxdxt于是等式于是等式1 1变成变成由微积分知识可知，在时刻由微积分知识可知，在时刻t 有有2等式等式2 2可以写成可以写成1|xx dxxxttguuudxTT由于很小牛顿运动定律：牛顿运动定律：F=ma作用在弧作用在弧段段 上的水平方向的力为上的水平方向的力为 MM0coscosTT倾角很小，即倾角很小，即0,0 近似得近似得TT 垂直方向的力为垂直方向的力为22(,)sinsinu x tTTgdsdst1sintg,sintg,.dsdx(,)(,),.u x tu x dx ttgtgxx22(,)tgtgu x tTTgdxdxt于是等式于是等式1 1变成变成由微积分知识可知
6、，在时刻由微积分知识可知，在时刻t 有有2等式等式2 2可以写成可以写成1|xx dxxxttguuudxTT由于很小令令 ，取极限得取极限得0dxxxttguuTT略去重力，可得方程略去重力，可得方程,22222xuatu其中其中Ta2(3)(3)弦振动方程（弦振动方程（3 3）中只含有两个自变量）中只含有两个自变量 和和 ，其中，其中 表示时间表示时间，表示位置表示位置。由于它们描述的是弦的振动或由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为波动现象，因而又称为一维波动方程一维波动方程。xttx 4 2,ttxxua uf其中其中Ff ，而外力可以是压力、重力、阻力等。，而外力可以是压力、
7、重力、阻力等。注注2 2.xt注注1 1.非齐次方程齐次方程；当当,0,0ff),(txF如果在弦的振动方向有外力作用，假设在时刻如果在弦的振动方向有外力作用，假设在时刻 弦上点弦上点 处的外力密度为处的外力密度为 ，那么方程，那么方程3为：为：例 2.热传导方程dSdtnuzyxkdQ),(21),(1ttdtdSnuzyxkQ21)()()(ttdtdVzukzyukyxukxFourier定律：V温度温度u(xu(x,y y,z z;t)t)，通过对任意一个小的体积微元通过对任意一个小的体积微元 内的内的热平衡关系的研究，建立方程热平衡关系的研究，建立方程。高斯公式,21tt内，通过曲面
8、S流进V的热量 其中 ,c分别是物体的比热和密度。温度由),(1tzyxu变到),(2tzyxu吸收热量 tVtucdVtzyxutzyxucQtt21dd),(),(122热量守恒定理 21QQ dtdVtucdtdVzukzyukyxukxtttt 2121)()()(0)(2222222zuyuxuatu化简三维齐次热传导方程 2ack)(其中其中ctzyxFtzyxf/,fzuyuxuatu)(2222222 如果所考察的物体内部有热源，强度为如果所考察的物体内部有热源，强度为 ,那么热传导方程为那么热传导方程为),(tzyxF0)(22222yuxuatu二维热传导方程 0)(222
9、xuatu维热传导方程 0)(2222222zuyuxuatu三维热传导方程 0tu2222222afzuyuxu0222222zuyuxu例3.稳恒温度场：即 Laplace方程 Poisson方程fzuyuxuatu)(2222222当物体内部没有热源时 当我们考察气体的扩散当我们考察气体的扩散,液体的渗透液体的渗透,半导体半导体材料中的杂质扩散等物理过程时材料中的杂质扩散等物理过程时,假设用假设用 表示所表示所扩散物质的浓度扩散物质的浓度,那么浓度所满足的方程形式和热那么浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同传导方程完全相同.所以热传导方程也叫扩散方程所以热传导方程也叫扩散方程.u波动
10、方程 声波、电磁波、杆的振动；热传导方程 物质扩散时的浓度变化规律,土壤力学中的渗透方程;Laplace方程 稳定的浓度分布,静电场的 电位,流体的势.总总 结：结：数量场数量场 向量场向量场方向导数方向导数 梯度梯度),()(zyxfMf),(),(),()(zyxRzyxQzyxPMF),()()(zfyfxfffgradCoszfCosyfCosxfnf),(CosCosCosn zRyQxPFdiv)(),()(yPxQxRzPzQyRFrotRQPzyxkji散度散度旋度旋度牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式dxdyyPxQQdyPdx)(格林公式格林公式 高斯公式高斯公式一维二维
11、三维 badxxfaFbF)()()(dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(Stokes公式：格林公式在三维空间的另一种推广公式：格林公式在三维空间的另一种推广dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRRdzQdyPdx)()()(高斯公式高斯公式dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(),(CosCosCosn),(),(dSCosdSCosdSCosdxdydzdxdydz),(RQPF dVFdivndSF)(Stokes公式公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRRdzQdyPdx)()()(ndSFrot)(Laplace算子：算子：)(2222222zuyuxuuuFFdivgradFrotrot2)()(验证：验证：FFgraddiv2)(
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