传递函数.ppt

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1、上海大学机电工程与自动化学院2.3 传递函数传递函数 微分方程的求解十分繁琐，而且从其本身很难分析研究微分方程的求解十分繁琐，而且从其本身很难分析研究系统的动态性能，尤其是对复杂的系统及高阶微分方程。系统的动态性能，尤其是对复杂的系统及高阶微分方程。2.数学模型与传递函数 如果对微分方程进行拉氏变换，得到代数方程如果对微分方程进行拉氏变换，得到代数方程(复数域复数域)，将使解算简化而方便。传递函数是在拉普拉斯变换基础上产将使解算简化而方便。传递函数是在拉普拉斯变换基础上产生的，可以用来方便直观地描述零初始条件下的单输入单输生的，可以用来方便直观地描述零初始条件下的单输入单输出系统，是对元件及系

2、统进行分析、研究与综合的有力工出系统，是对元件及系统进行分析、研究与综合的有力工具。具。根据传递函数在复平面上的形状可以直接判断系统的动根据传递函数在复平面上的形状可以直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。传递函数是经典控制理态性能，找出改善系统品质的方法。传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。论的基础，是极其重要的基本概念。上海大学机电工程与自动化学院2.3.1 传递函数的定义传递函数的定义 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统（或环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。（或环节）输出量的拉氏变换与输入

3、量的拉氏变换之比。2.3 传递函数传递函数零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数 即即)()()()()(ioiosXsXtxLtxLsG)()()(iosGsXsX 可见传递函数是描述系统的一种数学方式。可见传递函数是描述系统的一种数学方式。G(s)Xo(s)Xi(s)输入信号经系统输入信号经系统(或环节或环节)传递传递乘以乘以G(s)，得到输出信号。，得到输出信号。称称G(s)为传递函数为传递函数上海大学机电工程与自动化学院2.3.2 传递函数的求法传递函数的求法 设线性定常系统（或环节）由下述设线性定常系统（或环节）由下述n阶线性常微分方程阶线性常微分方程描述描述2.3

4、传递函数传递函数式中，式中，nm。)(d)(dd)(dd)(do0o11o1n1nontxattxattxattxannn )(d)(dd)(dd)(di0i11i11mimtxbttxbttxbttxbmmmm 上海大学机电工程与自动化学院 当初始条件全为零，即：当初始条件全为零，即：xi(t)和和xo(t)及其各阶导数在及其各阶导数在 t=0 的值均为零的值均为零时，对上式进行拉氏变换时，对上式进行拉氏变换2.3.2 传递函数的求法传递函数的求法)(o0111nnsXasasasann )(i0111mmsXbsbsbsbmm 由此可知，只要知道系统微分方程，就可求出其传递函由此可知，只要

5、知道系统微分方程，就可求出其传递函数。数。得到系统（或环节）传递函数的一般形式得到系统（或环节）传递函数的一般形式01110111io)()()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmm上海大学机电工程与自动化学院2.3.3 传递函数的特点传递函数的特点 2.3 传递函数传递函数 (1)传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特性，分子代表输入与输出的关系。因此，传递函数表达有特性，分子代表输入与输出的关系。因此，传递函数表达了系统本身的动态性能，与输入量的大小及性质无关。了系统本身的动态性能，与输入量的大小及性质无关。(2

6、)传递函数不说明被描述系统的物理结构。只要动态性传递函数不说明被描述系统的物理结构。只要动态性能相似，不同的系统可以用同一类型的传递函数描述。能相似，不同的系统可以用同一类型的传递函数描述。(3)传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，这要传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，这要看系统输入、输出量的量纲，以及两者的比值。看系统输入、输出量的量纲，以及两者的比值。(4)传递函数是复变量传递函数是复变量s的有理真分式，的有理真分式，mn，且所具有复，且所具有复变函数的所有性质。变函数的所有性质。上海大学机电工程与自动化学院2.3 传递函数传递函数 传递函数分母中的最高阶次，等于输出量最高阶

7、导数的传递函数分母中的最高阶次，等于输出量最高阶导数的阶次。如果阶次。如果 s 的最高阶次等于的最高阶次等于n，则称这种系统为，则称这种系统为 n 阶系统。阶系统。)()(d)(dd)(d00202tftkxttxDttxmi例题例题 已知系统微分方程，求其传递函数。已知系统微分方程，求其传递函数。解：解：在零初始条件下，对上式两边取拉普拉斯变换，得在零初始条件下，对上式两边取拉普拉斯变换，得)()()()(iooo2sFskXsDsXsXms整理得到描述系统的传递函数整理得到描述系统的传递函数kDsmssFsXsG2io1)()()(上海大学机电工程与自动化学院2.4 典型环节的典型环节的传

8、递函数传递函数 控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成，从控制控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成，从控制理论来看，物理本质和工作原理不同的元件可以有完全相同理论来看，物理本质和工作原理不同的元件可以有完全相同的数学模型。的数学模型。2.数学模型与传递函数 在控制工程中，一般将具有某种确定信息传递关系的元在控制工程中，一般将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节称为典型环节。称为典型环节。复杂控制系统常常由一些简单的典型环节组成，求出这复杂控制系统常常由一些简单的典型环节组成，求出这些典型环节的

9、传递函数，就可以获得整个系统的传递函数。些典型环节的传递函数，就可以获得整个系统的传递函数。上海大学机电工程与自动化学院 控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。2.4 典型环节的典型环节的传递函数传递函数2.4.1 比例环节比例环节 比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为KsXsXsG)()()(io 如果一个环节的输出与输入如果一个环节的输出与输入，既，既也也，则称此环节为比例环节，也称放大环节。其数学模型为，则称此环节为比例环节，也称放大环节。其数

10、学模型为)()(iotxKtx，或称，或称KXo(s)Xi(s)比例环节的方框图比例环节的方框图上海大学机电工程与自动化学院2.4.1 比例环节比例环节KzztNtNsG21io)()()(例题例题 求图示一齿轮传动副的传递函数。求图示一齿轮传动副的传递函数。ni、no 分别为输分别为输入轴及输出轴转速，入轴及输出轴转速，z1 和和 z2 为齿轮齿数为齿轮齿数(假定系统为：齿轮假定系统为：齿轮副无传动间隙，且传动系统刚性无穷大的理想状态副无传动间隙，且传动系统刚性无穷大的理想状态)。解：解：因为因为)()(o2i1tnztnz经拉氏变换后经拉氏变换后)()(o2i1sNzsNz ：略去弹性的杠

11、杆、作为测量元件的测速发电：略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电机机(输入为转速、输出为电压输入为转速、输出为电压)、电子放大器，等等、电子放大器，等等z1z2no(t)ni(t)上海大学机电工程与自动化学院2.4 典型环节的典型环节的传递函数传递函数2.4.2 惯性环节惯性环节 形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：1)()()(ioTsKsXsXsG 凡运动方程为一节微分方程：凡运动方程为一节微分方程：)()(d)(diootxKtxttxT，或称或称惯性环节的方框图惯性环节的方框图KTs+1Xo(s)Xi(s)惯性环节元件中，总含有惯性环节元件中，

12、总含有。对于突变形式的输。对于突变形式的输入而言，输出总落后于输入。入而言，输出总落后于输入。上海大学机电工程与自动化学院2.4.2 惯性环节惯性环节例题例题1 求图示质量求图示质量-弹簧弹簧-阻尼器环节传递函数。阻尼器环节传递函数。解：解：若质量若质量m相对很小，可相对很小，可略去其影响略去其影响(忽略惯性力忽略惯性力)。此。此时的系统动力学方程为时的系统动力学方程为)()(d)(diootkxtkxttxc经拉氏变换后经拉氏变换后)()()(iooskXskXscsXmxo(t)kcxi(t)系统传递函数为系统传递函数为11)()()(ioTskcsksXsXsGkcT 上海大学机电工程与

13、自动化学院2.4.2 惯性环节惯性环节例题例题2 求图示简单阻容电路的传递函数。求图示简单阻容电路的传递函数。经拉氏变换后经拉氏变换后)()()(ioosUsUsRCsU系统传递函数为系统传递函数为1111)()()(ioTsRCssUsUsGRCT RCi(t)ui(t)uo(t)解：解：电路方程为电路方程为ttiCtiRtuid)(1)()(ttiCtuod)(1)()()(d)(diootututtuRC上海大学机电工程与自动化学院2.4.2 惯性环节惯性环节例题例题3 图示为简化了的直流发电机电路。转子恒速转动，图示为简化了的直流发电机电路。转子恒速转动，输入为激磁电压输入为激磁电压u

14、i，输出为电压，输出为电压uo，求此系统的传递函数。，求此系统的传递函数。解：解：激磁电路电压方程为激磁电路电压方程为ttiLtRitud)(d)()(i经拉氏变换后，系统传递函数为经拉氏变换后，系统传递函数为1)()()(1ioTsKRLsKsUsUsGRLT LRi(t)ui(t)uo(t)M 输出电路中转子恒速，故输出电路中转子恒速，故)()(1otiKtuttuKLtuKRtud)(d)()(o1o1iRKT1上海大学机电工程与自动化学院2.4 典型环节的典型环节的传递函数传递函数2.4.3 微分环节微分环节 因此，理想微分环节的传递函数为因此，理想微分环节的传递函数为TssXsXsG

15、)()()(io 理想微分环节的输出量正比于输入量的微分，即理想微分环节的输出量正比于输入量的微分，即ttxTtxd)(d)(ioTsXo(s)Xi(s)当输入量为阶跃函数时，理论上输出量将是一个幅值为当输入量为阶跃函数时，理论上输出量将是一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲，实际上不可能。无穷大而时间宽度为零的脉冲，实际上不可能。因此，在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它因此，在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。环节一起出现。上海大学机电工程与自动化学院2.4.3 微分环节微分环节例题例题1 仍考虑直流发电机电路。当激磁电压仍考虑直流发电机电路。当激磁电压ui恒定时

16、，取恒定时，取输入为转子转角输入为转子转角，输出为电枢电压，输出为电枢电压uo，求此时的传递函数。，求此时的传递函数。解：解：由于由于ui恒定，磁通量恒定，磁通量为定值，所以电枢电压与转为定值，所以电枢电压与转速成正比，即速成正比，即ttKtud)(d)(o系统传递函数为系统传递函数为KsssUsG)()()(oLRi(t)ui(t)uo(t)M 经拉氏变换后得经拉氏变换后得)()(osKssU上海大学机电工程与自动化学院2.4.3 微分环节微分环节例题例题2 图示液压阻尼器原理。求系统传递函数。图示液压阻尼器原理。求系统传递函数。解：解：液压缸力平衡液压缸力平衡方程为方程为)(o12tkxp

17、pA过阻尼的流量方程过阻尼的流量方程)()(oi12txtxARppqp1p2qAxo(t)kRxi(t)以上两式中消去以上两式中消去p1、p2，得，得)()()(o2oitxRAktxtx)()()(io2otxtxRAktx上海大学机电工程与自动化学院2.4.3 微分环节微分环节经过拉氏变换后得到经过拉氏变换后得到得到传递函数得到传递函数1)()()(2ioTsTsRAksssXsXsG 由上面传递函数形式看出，液压阻尼器是包含有惯性环由上面传递函数形式看出，液压阻尼器是包含有惯性环节和积分环节的系统，称之为具有惯性的微分环节。节和积分环节的系统，称之为具有惯性的微分环节。若若|Ts|1时

18、，时，G(s)Ts，系统近似成为理想微分环节。，系统近似成为理想微分环节。)()()(io2ossXsXRAkssXkRAT2上海大学机电工程与自动化学院2.4.3 微分环节微分环节例题例题3 图示电路系统为具有惯性的微分环节。求此系统的图示电路系统为具有惯性的微分环节。求此系统的传递函数。传递函数。CR1iRuiuoiCiR2解：解：电路方程为电路方程为oCid1utiCutiCRid1C1RCC1CRd1itiCRiiiC2C122odiRtiCRRRiu)()()(C2C12osIRsICsRRsU)()(1)(oCisUsICssU拉氏变换拉氏变换上海大学机电工程与自动化学院2.4.3

19、 微分环节微分环节消去消去IC(s)后，得后，得得到传递函数得到传递函数1)1()1()1()()()(11212ioKTsTsKRCsRRCsRRsUsUsG)()(1)(o2o11isURsUCsRRsUCRT1212RRRK上海大学机电工程与自动化学院2.4.3 微分环节微分环节当当R1时，时，得到传递函数得到传递函数11)()()(22ioTsTsCsRCsRsUsUsGoid1utiCuCRT22oiRu 经拉氏变换后，得经拉氏变换后，得)(11)(o2isUsCRsU具有惯性的微分环节具有惯性的微分环节上海大学机电工程与自动化学院2.4 典型环节的典型环节的传递函数传递函数2.4.

20、4 积分环节积分环节 因此，积分环节的传递函数为因此，积分环节的传递函数为TssXsXsG1)()()(io 积分环节：输出量正比于输入量对时间的积分，即积分环节：输出量正比于输入量对时间的积分，即ttxTtxd)(1)(io 当输入量当输入量xi为定值时，输为定值时，输出量将正比于时间出量将正比于时间T。1TsXo(s)Xi(s)txoxixo(t)xi(t)o上海大学机电工程与自动化学院2.4.4 积分环节积分环节例题例题1 图示齿轮齿条传动机构，取齿轮转速图示齿轮齿条传动机构，取齿轮转速n为输入量，为输入量，齿条的位移量齿条的位移量x为输出量，求此机构的传递函数。为输出量，求此机构的传递

21、函数。解：解：由齿轮齿条的转速关系由齿轮齿条的转速关系Dntxdd系统传递函数为系统传递函数为sDsNsXsG)()()(经拉氏变换后得经拉氏变换后得)()(sDNsXxn上海大学机电工程与自动化学院2.4.4 积分环节积分环节例题例题2 图示电路系统，求此环节的传递函数。图示电路系统，求此环节的传递函数。解：解：取输入量为回路电流取输入量为回路电流i，输出，输出量为电容器两端电压量为电容器两端电压u，则，则tiCud1系统传递函数为系统传递函数为sKsCsIsUsG1)()()(经拉氏变换后得经拉氏变换后得)(1)(sICssUCuiCK1上海大学机电工程与自动化学院2.4.4 积分环节积分

22、环节例题例题3 图示液压缸，其输入为流量图示液压缸，其输入为流量q，输出为活塞位移，输出为活塞位移x，求此环节的传递函数。求此环节的传递函数。解：解：活塞有效面积为活塞有效面积为A，则，则Aqtxdd系统传递函数为系统传递函数为sKsAsQsXsG1)()()(经拉氏变换后得经拉氏变换后得)(1)(sQAssXAK1Axq即即tAqxd上海大学机电工程与自动化学院2.4 典型环节的典型环节的传递函数传递函数2.4.5 振荡环节振荡环节 2nn22n2)(sssG 振荡环节是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所振荡环节是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出

23、带有振荡的性质。存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质。传递函数为传递函数为 若若 1、输入为单位阶、输入为单位阶跃函数时，输出将是衰减跃函数时，输出将是衰减振荡过程。振荡过程。Xo(s)Xi(s)n2S2+2ns+n2上海大学机电工程与自动化学院2.4.5 振荡环节振荡环节例题例题1 图示质量图示质量-阻尼阻尼-弹簧系统，求其传递函数。弹簧系统，求其传递函数。解：解：考虑质量考虑质量m的影响，写出的影响，写出动力学方程动力学方程oio2o2ddddxxktxctxm传递函数传递函数2nn22nio2)()()(sssXsXsGmxokcxi或或ioo2o2ddddkxkxtxct

24、xm经拉氏变换经拉氏变换)()()()(iooo2skxskxscsxsxmsmknmkc2上海大学机电工程与自动化学院2.4.5 振荡环节振荡环节例题例题2 由电感、电阻及电容组成的串、并联电路。由电感、电阻及电容组成的串、并联电路。ui为输为输入电压时，入电压时，uo为输出电压，求此系统的传递函数。为输出电压，求此系统的传递函数。拉氏变换拉氏变换)()()()(ooo2isUssURLsULCssULRiRuiuoCiCiL解：解：电路方程电路方程oLiddutiLutiCRiud1LRoRCLiii联立后得联立后得oo2o2iddddutuRLtuLCu上海大学机电工程与自动化学院2.4

25、.5 振荡环节振荡环节传递函数为传递函数为2nn22n2io211)()()(sssRLLCssUsUsG 振荡环节的主要特征是含有两种形式的储能元件，而且振荡环节的主要特征是含有两种形式的储能元件，而且能够将储存的能量相互转换，如动能与位能、电能与磁能间能够将储存的能量相互转换，如动能与位能、电能与磁能间的转换等等。在能量转换过程中使输出量产生振荡。的转换等等。在能量转换过程中使输出量产生振荡。LC1nCLR21上海大学机电工程与自动化学院2.4 典型环节的典型环节的传递函数传递函数2.4.6 延时环节延时环节 也称纯滞后环节。延时环节是输出量和输入量相同而仅也称纯滞后环节。延时环节是输出量

26、和输入量相同而仅延迟一时间延迟一时间。若输入为。若输入为x(t)，输出则与输入的信号形状完全相，输出则与输入的信号形状完全相同，而仅时间延迟同，而仅时间延迟 ，即输出为，即输出为x(t-)。Xo(s)Xi(s)e-s)()(iotxtx 延时环节输出量延时环节输出量xo(t)与输入量为与输入量为xi(t)的关系为的关系为 拉氏变换后得拉氏变换后得)()(iosXesXs传递函数传递函数sesXsXsG)()()(io上海大学机电工程与自动化学院2.4.6 延时环节延时环节 工业上经常会遇到纯时间延迟或传输滞后现象。如各种工业上经常会遇到纯时间延迟或传输滞后现象。如各种传动系统（液压传动、气压传

27、动、机械传动）和计算机控制传动系统（液压传动、气压传动、机械传动）和计算机控制系统，有时需要经过一定的延迟时间，才能允许输出对输入系统，有时需要经过一定的延迟时间，才能允许输出对输入作出响应。作出响应。轧辊处带钢厚度与检测厚度之轧辊处带钢厚度与检测厚度之间的传递函数是一个延时环节间的传递函数是一个延时环节 中带钢在轧辊中带钢在轧辊 点轧出时，由于压力系统或者轧点轧出时，由于压力系统或者轧辊本身的原因，可能产生厚度偏差，但到达辊本身的原因，可能产生厚度偏差，但到达 点时才能被测厚点时才能被测厚仪检测到。此延迟时间为仪检测到。此延迟时间为 uLABLu轧辊轧辊测厚仪测厚仪上海大学机电工程与自动化学院2.4 典型环节的典型环节的传递函数传递函数延时环节与惯性环节的区别延时环节与惯性环节的区别 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。延时环节从输入开始之初，在延时环节从输入开始之初，在0 时间内没有输出，但时间内没有输出，但在在 t=之后，输出完全等于输入。之后，输出完全等于输入。上海大学机电工程与自动化学院2.4 典型环节的典型环节的传递函数传递函数作业：P36372-2、2-3、2-4、2-5、2-8