第二章-光纤传感器测量的理论基础2

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1、第一节 例题例题：在：在迈克耳干涉仪的两臂中迈克耳干涉仪的两臂中,分别插入分别插入l=10.0cm 长的玻璃管长的玻璃管,其中一个抽成真空其中一个抽成真空,另另一个则储有压强为一个则储有压强为1.013105Pa 的空气的空气,用以用以测量空气的折射率测量空气的折射率n.设所用光波波长为设所用光波波长为546nm,实验时实验时,向真空玻璃管中逐渐充入空气向真空玻璃管中逐渐充入空气,直至压强达到直至压强达到 1.013105Pa 为止为止.在此过程在此过程中中,观察到观察到107.2条干涉条纹的移动条干涉条纹的移动,试求空气试求空气的折射率的折射率迈克耳孙干涉仪美国美国LIGOLIGO干涉仪干涉

2、仪（最大迈克尔逊干涉仪，测量臂长约（最大迈克尔逊干涉仪，测量臂长约4 4千米，理论测千米，理论测量精度为量精度为1010-19-19m m，用于测量引力波信号），用于测量引力波信号）解解:设充空气前设充空气前,两相干光的光程差为两相干光的光程差为 1 1,充充入空气后为入空气后为 2 2 ,两种情况下的光程差为两种情况下的光程差为1 2=2(n-1)l有有:2(n-1)l=107.2空气的折射率为空气的折射率为29000.122.1071ln本章内容2.2 光的电磁特性光的电磁特性2.3 光的量子特性光的量子特性 2.4 光的干涉光的干涉2.1 光的本质光的本质 2.5 光源非理想对干涉的影响

3、光源非理想对干涉的影响 2.6 光程光程 2.7 光的衍射光的衍射本章内容2.2 光的电磁特性光的电磁特性2.3 光的量子特性光的量子特性 2.4 光的干涉光的干涉2.1 光的本质光的本质 2.5 光源非理想对干涉的影响光源非理想对干涉的影响 2.6 光程光程 2.7 光的衍射光的衍射 光的光的干涉干涉现象反映了光的现象反映了光的波动性波动性，而波动性的，而波动性的另一特征是波的另一特征是波的衍射衍射现象。光是否具有衍射现象现象。光是否具有衍射现象呢？什么是光的衍射？如果有衍射现象，为什么呢？什么是光的衍射？如果有衍射现象，为什么在日常生活中我们没有观察到光的衍射现象呢？在日常生活中我们没有观

4、察到光的衍射现象呢？水波、声波都水波、声波都会发生衍射现象，会发生衍射现象，它们发生衍射的它们发生衍射的现象特征是什么？现象特征是什么？光的衍射光的衍射?S光线光线拐弯了！拐弯了！一切波都能发生衍射，通过衍射把能量一切波都能发生衍射，通过衍射把能量传到阴影区域，能够发生明显衍射的条件是：传到阴影区域，能够发生明显衍射的条件是：障碍物或孔的尺寸跟波长差不多障碍物或孔的尺寸跟波长差不多 机械波的衍射一般比较明显，机械波的衍射一般比较明显，如：如：声波的衍射声波的衍射（隔墙有耳），（隔墙有耳），声波的波长声波的波长（）：）：17m-1.7cm 光波的衍射一般不明显光波的衍射一般不明显，（，（：0.7

5、m 0.4m)故此时可粗略地认为：光是沿直线传播的故此时可粗略地认为：光是沿直线传播的 光波光波在传播过程遇到在传播过程遇到障碍物障碍物时，光束时，光束偏离原偏离原来的传播方向来的传播方向弯入障碍物的几何阴影区内，并在弯入障碍物的几何阴影区内，并在障碍物后的障碍物后的观察屏观察屏上呈现上呈现光强不均匀分布光强不均匀分布，这种，这种现象称为现象称为光的衍射光的衍射。ESESD光直线传播光直线传播光衍射传播光衍射传播时：衍射效应明显时：衍射效应明显101000D以上时：衍射效应不明显以上时：衍射效应不明显1000D衍射强弱与衍射强弱与障碍物尺寸障碍物尺寸D的关系的关系时：时：向散射过渡向散射过渡D

6、衍射现象使光波发生衍射的障碍物（或光屏）统称为使光波发生衍射的障碍物（或光屏）统称为衍射屏衍射屏。衍射现象的特点衍射现象的特点(1)在什么方向受限制，在什么方向受限制，衍射图样就沿什么方向扩展衍射图样就沿什么方向扩展(2)限制越厉害，衍射越强烈限制越厉害，衍射越强烈 惠更斯原理：在波的传播过程中，波前（波阵面）惠更斯原理：在波的传播过程中，波前（波阵面）上每一点都可以看作一个次级扰动中心，发出球面子波；上每一点都可以看作一个次级扰动中心，发出球面子波；以后任意时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波前。以后任意时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波前。（16901690年）年）a 惠更斯原理可定性地

7、说明衍射现象惠更斯原理可定性地说明衍射现象，但不能解，但不能解释光的衍射图样中光强的分布。释光的衍射图样中光强的分布。3.3.菲涅耳假定：波在传播过程中，波前外任一点的菲涅耳假定：波在传播过程中，波前外任一点的光振动应该是波前上所有子波相干叠加的结果。光振动应该是波前上所有子波相干叠加的结果。(1818(1818年年)4 4、菲涅耳还指出：、菲涅耳还指出：波面波面是一个等位面，是一个等位面，其上各点相位相同。其上各点相位相同。次波在次波在P点的振幅与点的振幅与距离距离r成反比。成反比。d 面元所发出的次波的振幅与面元所发出的次波的振幅与ds面积成正面积成正比。且随比。且随d 面元的法线与面元的

8、法线与r之间的夹角之间的夹角 增大而减增大而减小。小。5.惠更斯惠更斯-菲涅耳积分式菲涅耳积分式目的：以目的：以子波相干叠加子波相干叠加的方法对衍射结果进行定量描述的方法对衍射结果进行定量描述RSQPr研究方法：单色点光源研究方法：单色点光源S发出的球面波波面为发出的球面波波面为，波面，波面半径为半径为R，光波传播空间内任意一点，光波传播空间内任意一点P的振动应是波面的振动应是波面 上发出的所有子波在该点振动的相干叠加。上发出的所有子波在该点振动的相干叠加。ZZC常数 设距点光源设距点光源S单位距离处的振幅为单位距离处的振幅为A，则，则波前波前 任任意一点意一点Q的复振幅为的复振幅为expQA

9、EikRR则则Q点面元点面元 发出的子波在发出的子波在P点的复振幅可表示为点的复振幅可表示为d expQikrdE PCKEdr 为倾斜因子，表示子波的振幅随衍射角为倾斜因子，表示子波的振幅随衍射角 的变的变化。菲涅尔还假设，化。菲涅尔还假设，=0时，时，K有最大值；随着有最大值；随着 增增大，大，K减小；当减小；当 时，时，K为零。为零。K2 因因K的限制，波面的限制，波面上只有上只有 范围内波面上发范围内波面上发出的子波在出的子波在P P点产生相干叠加，叠加后的合振动复振点产生相干叠加，叠加后的合振动复振幅为幅为ZZ exp ikrE PCE QKdr 这就是惠更斯这就是惠更斯-菲涅尔积分

10、公式。菲涅尔积分公式。二、基尔霍夫衍射理论二、基尔霍夫衍射理论 利用惠更斯菲涅耳衍射公式虽然对一些简单形状利用惠更斯菲涅耳衍射公式虽然对一些简单形状的衍射现象解释很好，但倾斜因子引入非常勉强的衍射现象解释很好，但倾斜因子引入非常勉强，而且缺乏理论依据。为了弥补这个不足，而且缺乏理论依据。为了弥补这个不足，基尔霍夫基尔霍夫从微分波动方程出发从微分波动方程出发，利用利用场论中的场论中的格林定理格林定理，给，给出较完善的数学表达式，得到了倾斜因子的具体形出较完善的数学表达式，得到了倾斜因子的具体形式，式，从而得到从而得到基尔霍夫理论基尔霍夫理论。条件：条件：衍射孔径远大于波长衍射孔径远大于波长;观察

11、点与孔径的距离观察点与孔径的距离远大于波长；忽略麦克斯韦方程中电矢量与磁矢量远大于波长；忽略麦克斯韦方程中电矢量与磁矢量的耦合关系，将电矢量视为标量的耦合关系，将电矢量视为标量 标量衍射理论标量衍射理论 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 dlnrnrikrliklAiPE2,cos,cosexpexp1 2,cos,cosexp1lnrnKliklAQEiC惠更斯惠更斯-菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式:,两者是一致的知与菲涅耳积分式对比可 exp ikrE PCE QKdr基尔霍夫公式给出了倾斜因子的具体理论形式：基尔霍夫公式给出了倾斜因子的具体理论形式：1cos,cos,2Kn rn l 它表

12、示子波的振幅在各个方向是不同的，其值在它表示子波的振幅在各个方向是不同的，其值在0 0和和1 1之间。之间。如果点光源离产生衍射的开孔如果点光源离产生衍射的开孔 足够远，则入射光足够远，则入射光可视为垂直入射的平面波。对于可视为垂直入射的平面波。对于 上各点都有上各点都有cos(n,l)=-1,cos(n,r)=cos cos(n,l)=-1,cos(n,r)=cos ,因此因此 2cos1K当当=0时，时，K()=1,表示在波面法线方向上子波的振幅最大；表示在波面法线方向上子波的振幅最大；当当=时，时，K()=0，这一结论证明菲涅耳关于，这一结论证明菲涅耳关于=/2时时K()=0的的结论是不

13、正确的。结论是不正确的。入射光为垂直入射的平面波时，基尔霍夫公式可表示为入射光为垂直入射的平面波时，基尔霍夫公式可表示为exp11cos2ikrE PE Qdir2221111222111,coszrxxyyzxxyyzy1x1yxrz1P(x,y,z)若衍射屏放在若衍射屏放在z=0处，观察屏放在处，观察屏放在z=z1，则，则Q(x1,y1,z)2221111111222111111222111exp,122ikxxyyzE x y zEx yixxyyzzdx dyxxyyz 基尔霍夫卷积公式可表示为基尔霍夫卷积公式可表示为三、巴俾涅原理三、巴俾涅原理三、基尔霍夫衍射公式近似三、基尔霍夫衍射

14、公式近似 在常见的衍射中，衍射孔线度比光源和观察屏到在常见的衍射中，衍射孔线度比光源和观察屏到衍射屏的距离小得多，据此可作两点假设：衍射屏的距离小得多，据此可作两点假设：1.1.傍轴近似傍轴近似（1）取）取 ，从而取，从而取K()=1。cos1（2）在衍射孔范围内，在衍射孔范围内，r的变化也不大，且的变化也不大，且r变化只变化只影响各子波在影响各子波在P点的振幅，所以可取点的振幅，所以可取1/r1/z1.从而基尔霍夫衍射公式变为：从而基尔霍夫衍射公式变为：dikrQEziPEexp112.2.菲涅尔近似菲涅尔近似用泰勒定理对用泰勒定理对r进行二项式展开：进行二项式展开：222221111122

15、1111128x xy yx xy yrzzz 若取头若干项近似若取头若干项近似r，则近似的精度不仅取决于项，则近似的精度不仅取决于项数的多少，还取决于孔径、观察范围和数的多少，还取决于孔径、观察范围和z1的大小。的大小。当当z1大到使得自第三项后对位相大到使得自第三项后对位相kr的作用远小于的作用远小于时，时，则其可忽略，从而则其可忽略，从而2211121222211111111,11222xxyyrzzxxyyxyxyzzzz对菲涅耳衍射 只取展开式的前两项：这一近似称为这一近似称为菲涅尔近似菲涅尔近似。当观察屏置于菲涅尔近似成立的区域（菲涅尔区）当观察屏置于菲涅尔近似成立的区域（菲涅尔区

16、）所观察到得衍射现象称为所观察到得衍射现象称为菲涅尔衍射。菲涅尔衍射。221111111expexp2ikzikE PE Qxxyydx dyi zz从而得菲涅尔衍射计算公式从而得菲涅尔衍射计算公式 在夫琅和费衍射中，在夫琅和费衍射中，z1 进一步增大，此时可进一步进一步增大，此时可进一步将将r的表达式简化为：的表达式简化为：22111112xxyyxyrzzz 1221111111expexpexp2ikzikikE PxyE Qxxyydx dyi zzz3.3.夫琅和费近似夫琅和费近似 这一近似称为这一近似称为夫琅和费近似夫琅和费近似。当观察屏置于夫琅和费近似成立的区域（夫琅和当观察屏置

17、于夫琅和费近似成立的区域（夫琅和费）所观察到得衍射现象称为费）所观察到得衍射现象称为夫琅和费衍射。夫琅和费衍射。从而得夫琅和费衍射计算公式从而得夫琅和费衍射计算公式两类衍射条件实现干涉与衍射都是相干叠加，其相同点是主要的。干涉与衍射都是相干叠加，其相同点是主要的。不同点是次要的：不同点是次要的：1)干涉是离散点源发出的光波的相干叠加，干涉是离散点源发出的光波的相干叠加，衍射是连续次波源发出的次波的相干叠加。衍射是连续次波源发出的次波的相干叠加。2)干涉的叠加是用求和计算，衍射的叠加用积干涉的叠加是用求和计算，衍射的叠加用积分分 计算。计算。3)离散点源的光线遵循几何光学规律传播，次离散点源的光

18、线遵循几何光学规律传播，次 波源的光线一般不服从几何光学传播规律。波源的光线一般不服从几何光学传播规律。三、衍射与干涉的相同点与不同点区别三、衍射与干涉的相同点与不同点区别五、衍射现象的傅里叶分析方法五、衍射现象的傅里叶分析方法1.1.夫琅和费衍射夫琅和费衍射1221111111111exp,exp,2exp2ikzikE x yxyE x yi zzxyixydx dyzz 则若令则若令 ,则则11,xyuvzz12211111111exp,exp,exp22ikzikE x yxyE x yiuxvydx dyi zz表明夫琅和费衍射场的复振幅分布为孔径平面上复振表明夫琅和费衍射场的复振幅

19、分布为孔径平面上复振幅分布的傅里叶变换，幅分布的傅里叶变换，u、v为空间频率。为空间频率。在我们只关心衍射场相对强度分布时，夫琅和费衍射在我们只关心衍射场相对强度分布时，夫琅和费衍射图样的强度分布可直接由图样的强度分布可直接由 得傅里叶变换求出得傅里叶变换求出11,E x y111122211,xyxyuvuvzzzzI x yE x yF E x yE u v其中，其中，F表示傅里叶变换，表示傅里叶变换，表示孔径平面的复表示孔径平面的复振幅分布的频谱。振幅分布的频谱。,E u v 衍射波可以看作是不同方向传播的对应于不衍射波可以看作是不同方向传播的对应于不同空间频率的平面波的线性叠加。同空间

20、频率的平面波的线性叠加。原函数原函数频谱函数频谱函数缝函数缝函数 二维矩形函数二维矩形函数 高斯函数高斯函数 函数函数 (x)1常数常数 1圆函数圆函数)(21)(21)(00fffff10)(rectax22axax)af(asinc10rectrect)by()ax(22by,ax其它各处)(sinc)(sincxxbfafab1022circ)ayx(ayx22其它各处222212yxyxff)ffa(aJ)xf0)x(gcos(21022LxLx)(exp)(2axxg)af(a22exp()f傅傅里里叶叶变变换换对对单缝衍射夫 琅 禾 费 单 缝 衍 射 基 本 光 路单缝子波单缝子

21、波设单位复振幅的单色光垂直入射单缝，则缝上的复振设单位复振幅的单色光垂直入射单缝，则缝上的复振幅分布为幅分布为 1221,sinxuzaxI x yE uacz利用傅里叶变换的相似性定理，可得单缝的衍射光强利用傅里叶变换的相似性定理，可得单缝的衍射光强分布分布111112,0 xaxE x yrecta其他单缝衍射条纹的特征单缝衍射条纹的特征1 1、中央亮纹宽而亮、中央亮纹宽而亮2 2、两侧条纹具有对称性，亮纹较窄、较暗、两侧条纹具有对称性，亮纹较窄、较暗缝宽因素波长因素2.2.菲涅尔衍射菲涅尔衍射11122221111111111111122221111111,exp,exp,exp22ex

22、p2expexp,exp22xyuvzzikzikikE x yxyE x yxyi zzzxyixydx dyzzikzikikxyFE x yxyi zzz表明菲涅尔衍射的复振幅分布为孔径平面复振幅分布和表明菲涅尔衍射的复振幅分布为孔径平面复振幅分布和一个二次位相因子一个二次位相因子 乘积的傅里叶变换乘积的傅里叶变换22111exp2ikxyz2221111111222111111222111exp,122ikxxyyzE x y zEx yixxyyzzdx dyxxyyz222111222112221exp,122ikxyzE x y zEx yixyzzxyz即即3.3.基尔霍夫基尔

23、霍夫衍射衍射 对上式做傅里叶变换，可的基尔霍夫卷积公式卷积对上式做傅里叶变换，可的基尔霍夫卷积公式卷积模式快速算法模式快速算法222111222112221exp,122ikxyzF E x y zF Ex yFixyzzxyz李俊昌李俊昌.激光的衍射及热作用计算激光的衍射及热作用计算.科学出版社科学出版社.(第四章第四章:衍射积分在频域的快速计算衍射积分在频域的快速计算)第二章参考书目第二章参考书目3.李俊昌李俊昌.激光的衍射及热作用计算激光的衍射及热作用计算.科学出版社科学出版社.1.梁铨廷梁铨廷.物理光学物理光学.机械工业出版社机械工业出版社2.J.W.Goodman.傅里叶光学导论傅里叶光学导论.秦克诚秦克诚 等译等译.电子工业出版社电子工业出版社