第一节-空间几何体及其三视图、直观图

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1、栏目索引第一节空间几何体及其三视图、直观图栏目索引总纲目录总纲目录教材研读1.空间几何体的结构特征考点突破2.三视图3.直观图考点二空间几何体的三视图考点二空间几何体的三视图考点一空间几何体的结构特征考点三空间几何体的直观图考点三空间几何体的直观图栏目索引教材研读1.空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征教材研读教材研读多面体(1)棱柱:侧棱都平行且相等平行且相等,上、下底面平行且是全等全等的多边形.(2)棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台:可以由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似相似多边形旋转体(1)圆柱:可以由矩形矩形绕其任一边所在直线旋转得到.

2、(2)圆锥:可以由直角三角形绕其直角边直角边所在直线旋转得到.(3)圆台:可以由直角梯形绕其垂直于底边的腰垂直于底边的腰所在直线或等腰梯形绕其上、下底边中点的连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到.(4)球:可以由半圆或圆绕其直径直径所在直线旋转得到栏目索引教材研读2.三视图三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前正前方、正左正左方、正上正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法(i)基本要求:长对正长对正,高平齐高平齐,宽相等宽相等.(ii)画法规则:正侧正侧一样高,正俯正俯一样长,侧俯侧俯一样宽;看不到的线画虚虚线.栏目索引教材研

3、读3.直观图直观图(1)画法:常用斜二测画法.(2)规则:(i)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴,y轴的夹角为45(或或135),z轴与x轴和y轴所在平面垂直.(ii)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半变为原来的一半.栏目索引教材研读1.下列说法正确的是()A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案答案 D D栏目索引教材研读2.下列说法正确的是()A.有两个面平行,

4、其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点D答案答案 D由棱柱和棱锥的概念可知,A、B、C均错误.由于棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的截面与底面之间的部分,故棱台各侧棱的延长线交于一点.栏目索引教材研读3.如图,长方体ABCD-ABCD被截去一部分,其中EHAD,则剩下的几何体是()A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.简单组合体C答案答案 C 栏目索引教材研读4.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱

5、A答案答案 A由三视图知识可知,圆柱的正视图是矩形或圆,不可能为三角形.故选A.栏目索引教材研读5.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.B.C.D.C答案答案 C由几何体的结构可知,圆锥、正四棱锥两个几何体各自的正视图和左视图相同,且不与俯视图相同;正方体的三个视图都相同,正三棱台的三个视图都不相同.栏目索引教材研读6.一个几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()B答案答案 B该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等,因此选B.栏目索引考点突

6、破典例典例1(1)给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3考点一空间几何体的结构特征考点一空间几何体的结构特征考点突破考点突破栏目索引考点突破(2)(2018山东济宁质检)给出下列命题:棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;在四棱柱中,若两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;存在每个面都是直角三角形的四面体;棱台的侧棱延长后交

7、于一点.其中正确命题的序号是 .栏目索引考点突破答案答案(1)A(2)解析解析(1)对于,只有这两点的连线平行于轴时才是母线,故错;对于,当以斜边所在直线为轴旋转时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是一个圆锥,如图所示,故错;对于,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等,故错.因此选A.(2)不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个栏目索引考点突破平面的二面角都是直二面角;正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;正确,如图,正方体ABCD-

8、A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;正确,由棱台的概念可知.栏目索引考点突破方法技巧方法技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全方面分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定;(3)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.栏目索引考点突破1-1下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正

9、棱锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D栏目索引考点突破答案答案 D A错误,如图,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是三棱锥.B错误,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故不正确.C错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.而若以正六边形为底面,则侧棱长必然要大于底面边长.易知D正确.故选D.栏目索引考点突破1-2以下命题:以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数

10、为()A.0 B.1 C.2 D.3B答案答案B由圆台的定义可知错误,正确.对于命题,只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,不正确.栏目索引考点突破考点二空间几何体的三视图考点二空间几何体的三视图命题方向命题视角已知几何体,识别三视图给出具体的空间几何体,判断其三视图的形状已知三视图,判断几何体的形状给出几何体的三视图,还原几何体的直观图已知几何体的某些视图,判断其他视图 给出几何体的某两个视图,还原出几何体的形状,然后确定剩余的三视图栏目索引考点突破典例典例2如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的三视图是

11、(用代表图形)()命题方向一已知几何体命题方向一已知几何体,识别三视图识别三视图B栏目索引考点突破A.B.C.D.栏目索引考点突破答案答案 B解析解析正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正视图是;侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图是;俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是,故选B.栏目索引考点突破典例典例3(1)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D

12、.四棱柱命题方向二已知三视图命题方向二已知三视图,判断几何体的形状判断几何体的形状栏目索引考点突破(2)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3 B.2 C.2 D.2232栏目索引考点突破答案答案(1)B(2)B解析解析(1)由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱,故选B.(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD,PD=2.故选B.2222223栏目索引考点突破典例典例4(1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所

13、示,则该几何体的侧(左)视图为()命题方向三已知几何体的某些视图命题方向三已知几何体的某些视图,判断其他视图判断其他视图栏目索引考点突破(2)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图,则该锥体的正视图可能是()栏目索引考点突破 栏目索引考点突破答案答案(1)B(2)A解析解析(1)由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.该几何体的侧视图为选项B.故选B.(2)由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥,底面是长方形,内侧的侧面垂直于底面,所以正视图为A.栏目索引考点突破方法技巧方法技巧三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图.

14、注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线,看不到的部分用虚线.(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图.先根据已知的一部分视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.栏目索引考点突破2-1将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为()B栏目索引考点突破答案答案 B由几何体知左视图为正方形且对角线AD1为可视线,CB1看不见,在

15、视图中画为虚线,故选B.栏目索引考点突破2-2一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为()D栏目索引考点突破答案答案 D由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD平面BCD,故选D.栏目索引考点突破典例典例5(1)已知三角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2(2)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),ABC=45,AB=AD=1,DCBC,则这块菜地的面积为 .343868616考点三空间几何体的直观图考点三空间几何体的直观图栏目索引考点突破答案答案(1)D(

16、2)2+22解析解析(1)如图所示的实际图形和直观图,由可知,AB=AB=a,OC=OC=a,在图中作CDAB于D,则CD=OC=a.所以SABC=ABCD=aa=a2.故选D.(2)如图,在直观图中,过点A作AEBC,垂足为E,12342268121268616栏目索引考点突破图在RtABE中,AB=1,ABE=45,BE=.四边形AECD为矩形,AD=1,EC=AD=1.BC=BE+EC=+1.2222栏目索引考点突破由此可还原原图形如图.图在原图形中,AD=1,AB=2,BC=+1,且ADBC,ABBC,这块菜地的面积S=(AD+BC)AB=2=2+.22121221 12 22栏目索引

17、考点突破1.用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.规律总结规律总结2.平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图,除掌握斜二测画法外,记住原图形面积S与直观图面积S之间的关系S=S,能更快捷地进行相关问题的计算.24栏目索引考点突破3-1下图是水平放置的某个三角形的直观图,D是ABC中BC边的中点且ADy轴,AB,AD,AC三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,那么()A.最长的是AB,最短

18、的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AD,最短的是ACC栏目索引考点突破答案答案 C由题中的直观图可知,ADy轴,BCx轴,根据斜二测画法的规则可知,在原图形中ADy轴,BCx轴,又因为D为BC的中点,所以ABC为等腰三角形,且AD为底边BC上的高,则有AB=ACAD成立.栏目索引考点突破3-2如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA=6 cm,OC=2 cm,则原图形是()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四边形C栏目索引考点突破答案答案 C如图,在原图形OABC中,应有OD=2OD=22=4(cm),CD=CD=2 cm,OA=OA=6 cm.OC=6(cm),OA=OC,故四边形OABC是菱形.故选C.2222ODCD22(4 2)2栏目索引夯基提能作业