第23课时-矩形、菱形及正方形.

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1、第第23课时课时 矩形、菱形及正方形矩形、菱形及正方形中考考点清单中考考点清单考点一考点一 矩形的概念、性质及判定矩形的概念、性质及判定定义定义有一个角是有一个角是_的平行四边形的平行四边形叫矩形叫矩形(1)矩形的四个角都是矩形的四个角都是_；(2)矩形的对角线矩形的对角线_；(3)矩形既是矩形既是_对称图形又对称图形又是轴对称图形是轴对称图形,有有_条对称轴条对称轴;(4)面积面积S=_（a、b表示长表示长和宽）和宽）性质性质直角直角直角直角相等相等中心中心2ab判判定定(1)有一个角是有一个角是_的平行四边的平行四边形是矩形；形是矩形；(2)_是直角的四边形是矩是直角的四边形是矩形；形；(

2、3)对角线对角线_的平行四边形是的平行四边形是矩形矩形直角直角三个角三个角相等相等定义定义有一组邻边有一组邻边_的平行四边形的平行四边形叫菱形叫菱形(1)菱形的四条边都菱形的四条边都 _；(2)菱形的对角线菱形的对角线 _且每且每一条对角线都平分一条对角线都平分 _;(3)菱形既是菱形既是 _对称图形，对称图形，又是又是 _对称图形，对称轴条对称图形，对称轴条数为数为 _；(4)菱形的面积菱形的面积S=_(l1、l2为对角线长为对角线长)考点二考点二 菱形的概念、性质及判定菱形的概念、性质及判定性质性质相等相等相等相等11 12 13 14 15 16 互相垂直互相垂直一组对角一组对角中心中心

3、21 212l l17 轴轴菱形性质菱形性质的应用的应用判判定定(1)有一组邻边有一组邻边 _的平行四的平行四边形是菱形；边形是菱形；(2)四条边都四条边都 _的四边形是的四边形是菱形；菱形；(3)对角线对角线 _的平行四的平行四边形是菱形边形是菱形相等相等相等相等互相垂直互相垂直18 19 20 考点三考点三 正方形的性质及判定（正方形的性质及判定（高频考点高频考点）（1）正方形的对边平行，四）正方形的对边平行，四边都边都 _；（2）正方形的四个角都是）正方形的四个角都是 _；（3）对角线互相垂直平分且）对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对相等，每条对角线平分一组对角；角；（4）面

4、积）面积S=a2(a表示正方形表示正方形的边长的边长)性质性质21 22 相等相等直角直角判定判定（1）有一组）有一组 _相等，并且有一相等，并且有一个角是个角是 _的平行四边形是正方的平行四边形是正方形；形；（2）有一组邻边相等的）有一组邻边相等的 _是正是正方形；方形；（3）有一个角是直角的）有一个角是直角的 _是正是正方形；方形；（4）_相等且互相垂直的平相等且互相垂直的平行四边形是正方形行四边形是正方形23 24 25 26 27 邻边邻边直角直角矩形矩形菱形菱形对角线对角线考点四考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系关系常考类型剖析常考类型剖析典

5、例精讲典例精讲类型一类型一 矩形的判定及性质矩形的判定及性质 例例 1（13云南云南）已知在）已知在ABC中中AB=AC=5,BC=6,AD是是BC边上的中线，四边上的中线，四边形边形ADBE是平行四边形是平行四边形.（1）求证：四边形）求证：四边形ADBE是矩形；是矩形；（2）求矩形）求矩形ADBE的面积的面积.1题图例题图例（1）【思路分析思路分析】利用三线合一定理可证得利用三线合一定理可证得ADB=90，根据有一个角是，根据有一个角是90的平行四的平行四边形是矩形即可证得边形是矩形即可证得.证明证明：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ADBC，ADB90，四边形四边形ADBE

6、是平行四边形，是平行四边形，平行四边形平行四边形ADBE是矩形是矩形.（2）【思路分析思路分析】利用等腰三角形的性质利用等腰三角形的性质及勾股定理分别求得及勾股定理分别求得BD和和AD的长，然后利的长，然后利用矩形的面积公式即可求得用矩形的面积公式即可求得.解解：ABAC5，BC6，AD是是BC边上边上的中线，的中线，BDDC6 3，在在RtACD中，中，AC5，DC3，AD 4，S矩形矩形ADBEBDAD3412.12222253ACDC 【方法指导方法指导】1.1.矩形判定的一般思路：首先矩形判定的一般思路：首先判定是否为平行四边形，然后找角或者对角判定是否为平行四边形，然后找角或者对角线

7、的关系，若角度容易求，则可找其一角为线的关系，若角度容易求，则可找其一角为9090，便可判定是矩形；若对角线容易求，便可判定是矩形；若对角线容易求，则证明其对角线相等即可判定其为矩形则证明其对角线相等即可判定其为矩形.2.应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长是常用的思路，又根据矩形对角线线段的长是常用的思路，又根据矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到

8、全等三角形到全等三角形.矩形的两条对角线把矩形分矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系得到线段或角度的等量关系.针对演练针对演练1.在矩形在矩形ABCD中，下列不一定正确的是中，下列不一定正确的是()A.ADBCB.AB=CDC.对角线对角线AC与与BD互相平分互相平分D.对角线对角线ACBDD【解析解析】选项选项正误正误逐项分析逐项分析A矩形的对边平行，所以矩形的对边平行，所以ADBC正确，故不符合题意正确，故不符合题意B矩形的对边

9、相等，所以矩形的对边相等，所以AB=CD正正确，故不符合题意确，故不符合题意C矩形的对角线互相平分，所以对矩形的对角线互相平分，所以对角线角线AC与与BD互相平分正确，故互相平分正确，故不符合题意不符合题意D矩形的对角线不一定垂直，所以矩形的对角线不一定垂直，所以对角线对角线ACBD错误错误,故符合题意故符合题意2.（14衡阳衡阳）如图，在矩形）如图，在矩形ABCD中，中，BOC=120，AB=5，则，则BD的长为的长为_.第第2题图题图10【解析解析】四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，AC=2AO，BD=2BO,AC=BD,OA=OB，BOC=120,AOB=60，AOB是等边三角形，是等

10、边三角形，OB=AB=5，BD=2BO=103.(14巴中巴中）如图，在四边形）如图，在四边形ABCD中，点中，点H是边是边BC的中点，作射线的中点，作射线AH，在线段，在线段AH及其及其延长线上分别取点延长线上分别取点E、F，连接，连接BE、CF.（1）请你添加一个条件，使得）请你添加一个条件，使得BEH CFH，你添加的条件是，你添加的条件是_，并证明，并证明.（2）在问题（）在问题（1）中，当）中，当BH与与EH满足什么满足什么关系时，四边形关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由是矩形，请说明理由.EH=FH第第3题图题图证明：证明：点点H是是BC的中点，的中点，BH=CH,在在BEH

11、和和CFH中，中，BH=CH BHE=CHF,EH=FHBEH CFH(SAS);(2)当当BH=EH时时,四边形四边形BFCE是矩形是矩形.理由如下：连接理由如下：连接BF、CE，由（，由（1）知）知BEH CFH,HE=HF,HB=HC，四边形四边形BFCE是平行四边形，是平行四边形，BH=EH，HE=HF=HB=HC，即有，即有BC=EF，平行四边形平行四边形BFCE为矩形为矩形.第第3题解图题解图类型二类型二 菱形的判定与性质菱形的判定与性质 例例 2（14贵阳贵阳）如图，在）如图，在RtABC中，中，ACB90，D、E分别为分别为AB、AC边上的边上的中点，连接中点，连接DE，将，将

12、ADE绕点绕点E旋转旋转180得得到到CFE，连接，连接AF、CD.（1）求证：四边形）求证：四边形ADCF是菱形；是菱形；（2）若）若BC8，AC6，求四边形，求四边形ABCF的的周长周长.例例2题图题图（1）【思路分析思路分析】由由RtADE绕点绕点E旋转旋转180得到得到CFE，可得出，可得出DEF180，AEC180，即点，即点A、E、C，点，点D、E、F分别在同一直线上，再根据分别在同一直线上，再根据ADE与与CFE全等，可得出全等，可得出AE=EC，DEEF，利，利用菱形对角线相互垂直且平分即可得证用菱形对角线相互垂直且平分即可得证.证明证明：将：将ADE绕点绕点E旋转旋转180得

13、到得到CFE,点点A、E,C,点点D、E、F分别在同一直线上分别在同一直线上,ADE CFE，AEEC，DEEF，四边形四边形ADCF为平行四边形，为平行四边形，点点D、E分别是分别是AB与与AC的中点，的中点，DE是是ABC的中位线，的中位线，DEBC，ACB90，DFAC，四边形四边形ADCF为菱形为菱形.【难点突破难点突破】本题求证四边形本题求证四边形ADCFADCF是菱形，是菱形，其难点在于由其难点在于由ADEADE旋转旋转180180得到得到ACACDFDF，再通过全等得出再通过全等得出ACAC、DFDF垂直平分垂直平分,理解并掌理解并掌握图形旋转的知识是解题的关键握图形旋转的知识是

14、解题的关键.（2）【思路分析思路分析】根据勾股定理可计算根据勾股定理可计算AB的长，再根据点的长，再根据点D是是AB上的中点，可求出菱上的中点，可求出菱形形ADCF的边长，四边形的边长，四边形ABCF的周长即可的周长即可求出求出.解解：在：在RtABC中，中，BC8，AC6，AB ，点点D是是AB边上的中点，边上的中点，AD5，四边形四边形ADCF为菱形，为菱形，AF=FC=AD5，C四边形四边形ABCF8+10+5+528.228610 【方法指导方法指导】1.1.菱形判定的一般思路：若一菱形判定的一般思路：若一个四边形是菱形，则必是平行四边形，故在个四边形是菱形，则必是平行四边形，故在判定

15、一个四边形是菱形时，首先判断其是平判定一个四边形是菱形时，首先判断其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等，行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等，来判定是菱形，这是判定菱形的最基本思路，来判定是菱形，这是判定菱形的最基本思路，同时也可以考虑其他判定方法，例如若能判同时也可以考虑其他判定方法，例如若能判定对角线垂直即可应用对角线来判定定对角线垂直即可应用对角线来判定.2.2.菱形性质的应用思路：菱形是平行四边形，菱形性质的应用思路：菱形是平行四边形，故会应用对边平行、对角相等等性质；而菱故会应用对边平行、对角相等等性质；而菱形四边相等，所以在做题时，会利用等量代形四边相等，所以在做题时，会

16、利用等量代换来转换为其他边的长；它的对角线相互垂换来转换为其他边的长；它的对角线相互垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长段的长.针对演练针对演练1.（14宁波宁波）菱形的两条对角线长分别是）菱形的两条对角线长分别是6和和8，则此菱形的边长是，则此菱形的边长是()A.10 B.8 C.6 D.5D【解析解析】四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，AC=8，BD=6，OB=OD=3，OA=OC=4，ACBD，在在RtAOB中，由勾股定理得：中，由勾股定理得：AB ，即菱形，即菱形ABCD的边长的边长AB=BC=CD=AD=5.2222435AOOB 2

17、.（14陕西陕西）如图，在菱形）如图，在菱形ABCD中，中，AB5，对角线，对角线AC6.若过点若过点A作作AEBC，垂，垂足为足为E，则，则AE的长为（的长为（）A.4B.C.D.5第第2题图题图125245C【解析解析】如解图，连接如解图，连接BD，交，交AC于点于点O，四四边形边形ABCD是菱形，是菱形，AC6，ABBC=5,ACBD,BO=OD,AO=OC=3,AOB是直角三是直角三角形角形.在在RtAOB中，中，AB2BO2+AO2，BO4，=BCAE ACBO，5AE=1264,AE .121212245ABCS第第2题解图题解图3.（14连云港连云港）如图，矩形）如图，矩形ABC

18、D的对角的对角线线AC、BD相交于点相交于点O,DEAC,CEBD.(1)求证：四边形求证：四边形OCED为菱形；为菱形；(2)连接连接AE、BE.AE与与BE相等吗相等吗?请说明理由请说明理由.第第3题图题图【思路分析思路分析】（1）首先证明四边形）首先证明四边形OCED是是平行四边形，再证明平行四边形，再证明OCOD，根据一组邻，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证；（边相等的平行四边形是菱形得证；（2）根据）根据已知图形性质，通过证明两条线段所在的三已知图形性质，通过证明两条线段所在的三角形全等，再由全等三角形性质即可得证角形全等，再由全等三角形性质即可得证.（1）证明证明：DEAC，

19、CEBD，四边形四边形OCED是平行四边形是平行四边形.在矩形在矩形ABCD中，中，ACBD，且，且AC、BD互相互相平分平分.OC AC BDOD，OCED是菱形是菱形.1212Y（2）解解：相等：相等.理由如下：在菱形理由如下：在菱形OCED中，中，EDEC，EDCECD，又又矩形矩形ABCD中，中，ADBC，ADCBCD90，ADCEDCADE，BCD+ECD=BCE,ADEBCE，在在ADE和和BCE中，中，ADBC ADEBCE，DECEADE BCE（SAS），），AEBE.类型三类型三 正方形的性质计算正方形的性质计算 例例 3（14哈尔滨）如图，在正方形哈尔滨）如图，在正方形A

20、BCD中，中，AC为对角线，点为对角线，点E在在AB边上，边上，EFAC于点于点F，连接，连接EC，AF=3，EFC的的周长为周长为12，则，则EC的长为的长为_.例例3题图题图5【解析解析】本题考查正方形的性质和勾股定理本题考查正方形的性质和勾股定理.设设EC=x，AC是正方形是正方形ABCD对角线，对角线，BAC=45，又，又EFAC,AEF是是等腰直角三角形，等腰直角三角形，EF=AF=3.EFC的的周长为周长为12，FC=12-3-x=9-x，在，在RtEFC中，由勾股定理得：中，由勾股定理得：EC2 FC2+EF2,x2=32+(9-x)2,解得解得x=5.【方法指导方法指导】正方形

21、中的相关计算包括以下正方形中的相关计算包括以下2 2种设问方式：种设问方式：1.1.求面积；求面积；2.2.求线段比、面积比求线段比、面积比.1.1.求面积时，一般利用拼接法将所求面积的图求面积时，一般利用拼接法将所求面积的图形拼接成正方形，然后利用正方形的面积公式形拼接成正方形，然后利用正方形的面积公式即可求出面积；即可求出面积；2.2.求线段长（比）、面积（比）时，可从以求线段长（比）、面积（比）时，可从以下两个方面考虑：直接利用特殊图形的性质下两个方面考虑：直接利用特殊图形的性质（或等腰三角形的性质），结合勾股定理、（或等腰三角形的性质），结合勾股定理、三角形全等的性质等，先求出对应的线

22、段、三角形全等的性质等，先求出对应的线段、面积的值，再求比值；通过寻找相似三角形，面积的值，再求比值；通过寻找相似三角形，利用三角形相似的性质求出相应的比值利用三角形相似的性质求出相应的比值.针对演练针对演练1.（14来宾来宾）正方形的一条对角线长为）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是则这个正方形的面积是()A.8 B.C.D.164 28 2A【解析解析】正方形的一条对角线长为正方形的一条对角线长为4，这个正方形的面积这个正方形的面积=44=8.122.（14株洲株洲）已知四边形）已知四边形ABCD是平行四是平行四边形，再从边形，再从AB=BC,ABC=90,AC=BD,ACBD

23、四个条件中，选两个作为补充条件后，使四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是法，其中错误的是()A.选选 B.选选C.选选 D.选选B【解析解析】本题考查了正方形的判定方法本题考查了正方形的判定方法.选项选项正误正误逐项分析逐项分析A由得有一组邻边相等的平行四由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是边形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形平行四边形ABCD是正方形是正方形B由得有一个角是直角的平行四由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相

24、等边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形得出平行四边形ABCD是正方形是正方形C由得有一组邻边相等的平行四边由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形是正方形D由得有一个角是直角的平行四边由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四的平行四边形是菱形，所以平行四边形边形ABCD是正方形是正方形3.如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，AD是是ABC

25、的角平分线，点的角平分线，点O为为AB的中点，连接的中点，连接DO并延并延长到点长到点E，使，使OE=OD，连接，连接AE，BE.（1）若）若ABE=35，求，求BAE的度数；的度数；（2）当）当ABC 满足什么条件时，矩形满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由是正方形，并说明理由.第第3题图题图【思路分析思路分析】（1）利用平行四边形的判定首先）利用平行四边形的判定首先得出四边形得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出角形的性质得出ADB=90，即可得四边形，即可得四边形AEBD是矩形，进而由矩形的性质得是矩形，进而由矩形的性质得BAE的

26、度的度数；（数；（2）利用等腰直角三角形的性质得出）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可，进而利用正方形的判定得出即可.证明证明：（：（1）点点O为为AB的中点，的中点，OE=OD，四边形四边形AEBD是平行四边形，是平行四边形，AB=AC，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，ADBC，ADB=90，平行四边形平行四边形AEBD是矩形；是矩形；AEB=90，BAE=90-ABE90-3555.（2）当）当BAC=90时时,矩形矩形AEBD是正方形是正方形.理由如下：理由如下：BAC=90，AB=AC，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，AD=BD=CD，由（由（1）得四边形）得四边形AEBD是矩形，是矩形，矩形矩形AEBD是正方形是正方形.