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1、二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法基本思想第一类换元法基本思想dxxxf)()()()(xuduuf)(xu做变量替换做变量替换易求易求第二类换元法基本思想第二类换元法基本思想xxfd)(难求难求)(tx做变量替换做变量替换dtttf)()(易求易求换回原始变量。换回原始变量。求出积分后，用求出积分后，用)(1xt设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数，1()()()()txf x dxftt dt 则有换元公式则有换元公式并且并且0)(t，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 2常用第二类换元法常用第二类换元法 三角代换三角代换 倒代换倒代换
2、 根代换（第四节）根代换（第四节）1 三角代换三角代换三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 例例1.求求.)0(d22axxa解解:令令,),(,sin22ttax则则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22例例2.求求.
3、)0(d22aaxx解解:令令,),(,tan22ttax则则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax t)ln(1aCCCaxx22lnln22ax axa1C例例3.求求.)0(d22aaxx解解:,时当ax 令令,),0(,sec2ttax则则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa,时当ax令令,ux,au 则于
4、是于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln2 倒代换倒代换当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例4 4 求求dxxx )2(17令令tx1,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解基基本本积积分分表表;coslntan)16(Cxxdx;sinlncot)17(Cxxdx;)tanln(secsec)18(Cxxxdx;)cotln(csccs
5、c)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;arcsin1)22(22Caxdxxa.ln1)23(2222Caxxdxax;ln211)21(22Caxaxadxax.ln1)24(2222Caxxdxax说明说明:当遇到当遇到2axbxc先将先将 时时,2axbxc 配方成配方成 222222,axaxxa 中一种中一种,再套公式或利用三角代换积分再套公式或利用三角代换积分.例例5.求求.1d2xxx解解:原式原式=22)()()(d21x(P203 公式公式(22)2521xCx512arcsin.32d2 xxx解解:原式原式xxd2)1(122)2()1(
6、dx21arctan21xC(P203 公式公式(20)例例6.求求例例7.求求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(P203 公式公式(23)例例8.求求.1d2xex解解:原式原式xxee21dCexarcsin(P203 公式公式(22)22dd11xxxxxexeee例例9.求求.d321xxx解解:原式原式=2324321)(dxx令令,tantx2321则则,tan2123tx,sec tdtdx223原式原式=tdtcos34Ct sin34Cxxx212134Cxxx211232三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)作业作业 P 2052
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