中文大学萨拉夫教授在1969年写给中文大学管理部门的

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1、香港中文大学萨拉夫教授在1969年写给中文大学管理部门的信，目的是为了能让丘提前毕业：年轻人数学天赋的一个明显标志是他对于演绎推理问题的全心专注程度；事实上正是这种对符号推理的全神贯注使得数学家在常人看来是伟大的智者但却对事物漫不经心，仿佛与周围环境分离。因为他们的工作就是在纸上推导由符号表示的抽象对象，所以创造性的数学家经常会被发现在桌布上或菜单背面涂鸦。丘也许可称得上是最极端的情形，至少从我所接触到的学生和数学家来看。当他遇到一个问题，也许来自课本，或者来自于课堂，抑或是他自己想到的，他能够完全地专注于这个问题，他会随时随地在离得最近的纸上涂鸦；他总能在五分钟内得到一些新的信息。他的这种钻

2、研难题的能力给我映象最深的是，他对于所有选定研究的问题都是如此专注。对大多数人而言，我们选择问题都有一种倾向性，即尽量解决自己研究领域或课题中的问题，而对那些生疏的课题则尽量回避。与许多天才数学家相似的是，丘对所有数学分支都有很强的好奇心，再加上他过人的天赋与精力，使得他可以尝试解决遇到的所有问题。这使他成为了那种“全才式”的数学家，能够加入到数学家们的任何讨论中，并贡献自己有益的建议。对大多数数学家而言，从一个问题跳到另一个问题都是很费时的，他们需要大量的时间来熟悉另一个领域里的定义与概念，这也是为何我们大多数人不愿意这样做的原因。这种转换的巨大痛苦，促使我们不得不放弃。而对于丘这样的解题好

3、手来说，一筹莫展的懊恼已经被解决难题的乐趣代替了。无论面对落后的学习条件，还是在一个乏味的课堂上，这种与生俱来的高度专注的能力是真正科学才华的标志。我发现，丘是一个具有相当克制力的人，有时教课的老师对问题的理解还没有他的理解来得深。就我而言，经常发生的是，当我对一个问题不是十分有把握，丘会认真地听上50分钟，然后问道：为何我们不可以这样做呢?然后，他会接着详细介绍他的看法。他在课堂上比早熟的美国学生要耐心得多，也更有礼貌。他总是说自己在课堂上学到的东西要比自己花同样的时间看一本书多得多，甚至有时这根本就是一堂很乏味的课。他喜欢听各种人的讨论，然后往往能够从一些杂乱无章的信息中理出头绪。麻省理工

4、学院的Stroock教授:我觉得，要说明我对丘成桐的数学风格的敬仰，那么最合适的莫过于我与他在一次在台湾学术会议上的谈话。会议组织者热情好客，有一晚还请我们欣赏了中国的传统木偶戏。戏中大多是老虎威胁，甚至吃掉村民的情节。看完后，我向丘表达了自己的惊讶，缘何中国传统文化中，老虎占了如此重要的地位。丘告诉我说，老虎曾经是中国乡村的重大威胁，不过那是在人们把老虎吃光以前的事了。伯克利的一位著名几何学家伍鸿熙回忆了他早年与丘成桐的交往：丘参加了我所教的一门课程，所以也可以说，我是他的老师。回想我第一次遇到他的情形，那时他冲进我的办公室，问了我一个关于负曲率流形基本群的问题。这个问题我从未考虑过，当然也

5、就无从回答。不过我也感觉到，站在我面前的这个年轻人将会在数学上比我走得更远，这种直觉在1974年得到了验证，丘在Indiana Journal上发表了关于调和函数积分的文章（1976年刊出）。我称得上他的老师的时间恐怕只有一两年，自那以后我一生中都成了他的学生。丘在伯克利的老师，现在纽约大学石溪分校的杰出教授B.Lawson回忆了他早年与丘的接触：我还很清楚地记得我第一次遇到丘成桐的情形。那是在伯克利大学教授和研究生新生的见面会上。那是我在伯克利任教的第二年，我觉得自己还是一个高级研究生，而不是教员。丘成桐那时刚入学。我们互相作了介绍后开始交谈。我问了他第一年的学习计划，很惊讶地发现他报了六门

6、研究生课程。其中一门是高等微分方程，他说这门课程是最令他着迷的。另一门是黎曼几何，刚好那一年轮到我教这门课。讲授黎曼几何的课程令我很愉快，丘也经常来听我的课。到了第二学期的某个时候，他到办公室来找我。原来他正在考虑非正曲率紧流形的问题，并且已经自信可以证明，当$pi_1$是可解的，这种流形必是平坦的。我很吃惊。他还在听我的课，可事实上他已经远远地走在前面了。他的证明巧妙地用到了Gauss-Bonnet定理，来构造许多平坦，全测地的曲面。我被这种强大的论证思路吸引住了，并且意识到同样的方法也可以用来证明，如果基本群分裂为乘积$pi_1(X)=gammatimesgamma$，那么，流形自身也必定

7、分裂为黎曼乘积$X=YtimesY$。我们于是开始合作研究，很快就找到了一个证明，至少在实解析情形成立。我们也证明，如果$pi_1X$包含一个同构于$mathbb Zk$的子群，那么$X$包含一个$k$维的平坦，全测地环面。同时，丘写出了这个猜想的详细证明，于是在他的第一学年的春季，他已经完成了一片出色的博士论文。丘和我对这些定理非常欣赏，它们看起来是如此疯狂，完全出乎意料。可是几乎同时，Detlef Gromoll和Joe Wolf也独立地猜测并证明了同样地结论。事实上，他们的分裂定理和极大环面定理比我们的要好，因为它们在$Cinfty$情形也成立。就这样，在第一学年的春季，丘第一次体会到了

8、科学研究中包含的失落。最后，这个定理的荣誉得到了共享，丘的论文发表在Annals of Mathematics上。丘早期的学术生涯中非常有趣的一件事是，他曾对卡拉比猜测提出过一系列的反例。当然这些反例都失败了。丘会在私下里解释他的构造，或在会议上作一个非正式的演讲，不过最后总会在他的构造里找到漏洞。后来，反例停止出现了，丘花费了多年的辛勤努力，终于给出了卡拉比猜测的完整证明，从而建立了二十世纪数学中最伟大的结果之一。自从那时起，丘完全改变了微分几何的面貌。他的工作导致了这个领域的重大转变。我记得很早以前曾预言，丘的名字最终将会在几何文献中处处稠密。让我始料未及的是，甚至对一些物理学领域也是如此

9、。斯坦福大学教授J.Milgram回忆了当时人们对丘的到来的反应和丘对斯坦福数学系的影响：当丘成桐来到斯坦福后，我很惊讶地发现，每个人都非常兴奋。他几乎每时每刻都呆在学校里工作。事实上，我不记得还有谁能够像丘那样勤奋，或者一样高效。似乎每隔几个礼拜，他就证明了一个重要的猜想或改变了人们对一个重要问题的看法。不久他也深刻改变了整个数学系。在研究生，甚至许多教授中，都迸发出一种新的活跃气氛。著名数论学家，剑桥大学教授J.Coates当时是丘的同事，他回忆道：我很幸运在1970年代的时候与丘成桐在斯坦福有过几年共事，那时他刚从伯克利博士毕业不久。他来到斯坦福，陈省身和许多其他人对他都有很高的期望，我

10、还记得许多事情，使他显得与众不同。首先，几乎每个晚上去斯坦福数学系的人都会发现，丘总是在那里工作，有时在Rick Schoen的办公室，当时他是研究生，或者在Leon Simon的办公室，当时刚从澳洲来到斯坦福。第二，丘经常参加在他的研究领域之外的课程与研讨班，这就迫使那些教授认真准备讲义，免得在丘的 慧眼之下漏过一些证明细节而出丑。第三，通过与丘的谈话，使我开始对中国历史感兴趣，我了解到许多在我的教育中从未接触的东西，比如，在一次与丘的谈话后，我看了一本有关中国鸦片战争的书，第一次意识到过度的权力可以毁灭一个国家。总之，丘很快就成为了斯坦福年轻数学家的焦点，我不会忘记那些年中兄弟般的友好情谊

11、。从那以后，我再也没有机会与丘在同一个研究机构共事，不过我们还是在许多场合见面。我很高兴地看到他通过自己杰出的研究工作，获得了几乎所有国际上的最高荣誉，创立了执世界微分几何之牛耳的学派。在过去十多年中，我亲眼目睹了他不辞辛劳在中国发展数学，他的努力必将在中国伟大而悠久的文明进程中永载史册。我确信地说，没有哪一位同时代的数学家可以像他那样成功地筹集到如此巨大的经费，来建立与运作香港，北京和杭州的研究所，举办三届国际华人数学家大会，以及许多其他高层次的学术会议。我很清楚地看到，数论也受到了巨大的推动。因为丘的宏伟构思是在不远的将来，所有主要数学分支都能在中国繁荣发展。我希望这些叙述能使大家了解到丘

12、的伟大人格与成就，以及他对数学中一切美好事物的热情。圣地亚哥分校数学系教授B.Helton回忆：我对丘的无限能量和从事的大量研究工作印象深刻。访问者总是接踵而至。有人曾经做过计算，丘曾在一个季度里，每周要上30多个小时的讨论班。总之这是一段非常令人振奋的经历。著名代数几何学家F.Catanese回忆起他在普林斯顿高等研究所与圣地亚哥分校访问丘的往事：我第一次遇到丘是在25年前，那时他已经由于解决卡拉比猜测和其他几个困难而又重要的难题而名声显赫了。我在1981-82年访问普林斯顿，参加了代数几何的特别研讨会。我清楚地记得我们一起在Fuld大楼前打排球和讨论数学计划。他讨论问题时敏捷的思维和他的坦

13、率对我产生了很大的影响。我记得当他去圣地亚哥分校，想尽力建设一个非常强大的数学中心，包括代数几何，作为他的计划的一部分，他邀请我去那里访问一年。我带着无比的激动回信道：我被代数曲面，复微分几何与微分拓扑这些学科间的美妙交融所深深吸引（1986年时，MikeFreedman已经几乎确定要成为圣地亚哥分校的第二位菲尔兹奖得主了。）。我也想学更多的新东西！由于我的身体情况与家庭原因，以及教学任务的原因，使我只呆了一个夏天，得到了丘的热情招待，并积极参加了丘的数学系活动，这里我是指丘的研讨会，讨论班等，他与他的15位左右的研究生从早到晚都忙个不停，有时累得想打鼾，不过总是能在关键的时候清醒过来在聚会与

14、讨论班上，与他相处总能使我感到放松，无论是数学或其他，他总是很坦率，不带任何的掩饰。 如果我们看一下他所取得的成就，简直令人难以致信，他一个人就对如此广阔的领域作出了众多重要的贡献，精心指导如此多的学生，积极从事编辑活动（总是想办法收录最好的文章），以及其他许多计划。我上次遇到他是在哈佛，他比平时更忙，周末与Hamilton一起苦干，不过我们总能在午餐或晚饭时交谈，我得到了一些非常好的建议，启发我开始从事新的研究课题。如同我在他被选为Lincei科学院院士时所说的那样，他不仅被看作陈省身在微分几何领域的继承人，他也众望所归的将继续为中国数学扮演同样的角色。丘的哈佛大学同事Clifford Ta

15、ubes说：丘对我而言是崇高的鼓舞；他有着巨大的创造力，是神奇的数学源泉。同时，他是一个非常友善，忠诚的人，也是为人处事的榜样。另一位同事Wilfred Schmid也再次肯定了Taubes的观点：丘是一位伟大的朋友，同事中的榜样。我羡慕的不仅是他的深刻广博的数学工作，还有他不知疲倦的旺盛精力。在他的研究工作之外，他还要教课，指导众多的博士生，主持香港与大陆数学研究所的学术活动。他非常了解中国高中以下数学教育的状况，并用自己的巨大影响力来努力改善这种状况。我所认识的数学家中，没有其他人能像丘一样同时做如此多不同的事情，而且都做的如此出色。中国著名数论学家王元也表达了类似的观点：丘最了不起的品质

16、之一是敢于说真话。他对中国教育体制的批评广为人知，得到了大多数国人的认同。在许多报纸采访中，他批评了中国学术界的腐败，以及迫切需要改进数学研究与教育的质量。对中国的教育体制提出疑问是需要很大勇气的。虽然我与丘的研究领域相去甚远。我可以感受到他广博而深刻的数学知识。他对数学与人性都有深刻的见解。他总是耐心回答我的询问。他来北京行程总是非常紧凑，我总是在坐车时找机会向他学习。 哈佛学院的院长D.Gross强调说：几乎人人都知道丘对数学与物理的深刻贡献，以及他献身于推进中国数学教育的事迹。可是很少有人知道他对哈佛数学系也有着重要的影响，包括研究生与博士后的培养方面，以及在终身教授聘任的问题上。当然，

17、丘将会享有持久的声望。当哈佛校长Larry Summers与另一些哈佛教授访问中国时，丘比Larry获得了媒体记者们更多的关心。Michael Atiyah教授也有同样的体会：我认识丘已经很多年了，总是佩服他的精力与能量，以及他强大的数学技巧。他在培养优秀博士生（大多来自中国），帮助香港和中国大陆的数学发展等方面作出了巨大的贡献。丘近年来在几何与理论物理的交叉领域非常活跃，他的学生与同事也深受他的感染。丘的朋友，晨兴数学中心的捐资人陈启宗说：成桐的学术成就举世皆知。在他这样的地位上，很少有人会花许多时间培养教育年轻人。数十年来，他每年花好几个月在大陆，台湾和香港培养学生，包括他的母校香港中文大

18、学。他是那种脱离于政治之外，并不狭隘效忠于某个特定机构的人。 一个国家的国力很大程度上取决与它的科学水平，以及研究的严谨态度。所以顺理成章的，科技强国也往往是最富有的中国是有着悠久文明的国家，文学与艺术有着辉煌的历史，带给人民许多欢乐与骄傲。可是，虽然中国的科学有过灿烂的历史，在过去几个世纪中，我们远远落后于西方。为了迎头赶上，我们必须树立严谨的研究传统与对科学的尊重。 成桐不仅仅对大学生，他也致力于激励和培养更年轻的人才。他每年都邀请世界上闻名的大数学家到北京中国科学院晨兴数学中心访问，这是一般人无法做到的。他也邀请杰出数学家参与恒隆数学奖的评选，这是为香港中学生设立的竞赛。 成桐对中国文学

19、的造诣和深爱在友朋中传为美谈。这是他父亲留给他的财富。他曾用古文向我的学生介绍钻研数学的乐趣。还有一个可以说明他对中国传统文学充满热情的例子。这是在前国家主席江泽民的一次接见时，为了向在座的各位华裔诺贝尔或菲尔兹奖得主展示中华文化的博大精深，江主席念出了一首诗的上句。除了成桐，没有人能够对出下句，他甚至完整的朗诵了诗的全文，让江主席惊讶不已。 每个人都知道成桐有着超乎常人的智慧-也许一个世纪只有很少几个人可以达到这种水平-可是也许并不广为人知的是，他也有着一颗满怀慈善的心。他总是同情社会中的弱者。这种品质，虽然是与生俱来的，但也在后天得到了加强-他有一位异常仁慈与博学的父亲，可惜在他幼年时就去

20、世了。当然还有他的了不起的太太郭友云的功劳。丘的合作者，密歇根大学数学教授J.Smoller说：我最欣赏丘的一点是，他总是给予支持年轻数学家坚定的支持，把他们引导到好的方向；他的众多优秀学生就证明了这一点。1998年他把我介绍给一位年轻的德国数学家，也是他的博士后Felix Finster。Finster是狄拉克方程的专家，我们三个一道开始研究与爱因斯坦方程或其他场（如麦克斯威尔电磁场，杨米尔斯场）相耦合的狄拉克方程的粒子性黑洞解。这对我们大家都是很兴奋的经历，因为我们做出了几个惊奇的发现，直到今天我们还在继续着合作研究。 我第一次遇到丘是1978年在德国波恩他的一次讲座上。他在年轻时就已享有

21、很高的声望，我对于这位数学界的新星的讲座非常感兴趣，于是演讲结束后我找他理清一些问题。让我尤为印象深刻的是，他待人随和，很友好。著名代数几何学家F.Bogomolov评价：丘成桐教授毫无疑问是当今世界的领袖数学家之一。 我很庆幸在我一生的许多阶段遇到丘，并与之交谈。我第一次遇到他是1978在赫尔辛基的国际数学家大会上，我清楚地记得我们在公园的长椅上讨论了几个小时，在赫尔辛基的大街上逛到很晚。这些谈话都非常有趣，很有启发。他最近关于卡拉比猜测的解揭示了许多新的结果与方向。那时这还只是开端。我们讨论几何中的各种问题，他的许多思想对我来说都是非常新鲜。自那时起，我多次遇到他，每次与他的谈话都能导致一

22、些发现，生出一些全新和了不起的思想或一些非凡的问题。丘教授具有将一个问题或思想的精华用非常简洁明了的方式提取出来的非凡能力。他的提问总是能直达问题的核心，帮助发现一些隐藏的联系，不论是数学问题或其他方面。他是一位勇敢的思想家，永不止步，面对难题知难而上。对于丘在数学上的影响，菲尔兹奖得主S.Donaldson作了很好的描述：丘是现代微分几何的巨擎。他将几何与偏微分方程理论融合起来的研究风格，为过去四分之一世纪中这门学科的发展定下了基调。除了他自己杰出的工作，他也在许多方面推动数学的发展。就我个人而言，在我还是研究生时，是他编辑的普林斯顿几何论文集促使我从事这个领域的研究。那时，我记得绞尽脑汁研

23、究他关于卡拉比猜测的证明。现在，已经23年过去了，我还在努力地理解之。加州大学尔湾分校的B.Wong教授也表达了相同的观点：在每个人眼中，毫无疑问丘将会被视为20和21世纪最伟大的几位数学家之一。事实上，许多数学家都认为丘在1983年以后的工作完全配得上另一块菲尔兹奖牌；数学与数学物理中的许多重要分支都由于他的工作和影响得到了极大改观。 成桐有着一颗善良的心和忠实的灵魂。我在许多场合亲眼所见他对许多年轻数学家，以及身处困境的朋友们的坚定支持。丘对许多数学家和朋友（我自己就是其中之一）的鼓励与支持是非常重要和难忘的。我非常敬佩他为培养年轻数学家作出的无私贡献，不论是在美国还是中国。他的辛勤付出从

24、不要求金钱的回报。对我来说，成桐同时是一位伟大的数学家，一个拥有崇高志向的勇敢的人，一个好朋友。丘对许多数学领域及其联系有深刻的见解，如著名的离散数学家金芳蓉所说：丘对于离散与连续问题之间的联系有着非常清楚的认识，这只有第一流的大师才能够做到。诺贝尔物理学奖得主杨振宁说：丘成桐教授是当今世界上的领袖数学家。他对数学和物理学都作出了第一流的，持久的贡献，在顶尖数学家中独树一帜。哈佛大学物理教授C.Vafa说：丘与合作者的工作对理论物理，特别是超弦理论有重大影响。卡拉比丘空间是当今弦论学家的必备工具。丘对物理的兴趣与影响可以用普林斯顿高等研究所的著名物理学家，菲尔兹奖得主E.Witten的话来作一

25、总结：丘这许多年来不知疲倦地对理论物理，特别是与微分几何，微分方程相关的理论物理领域发生兴趣。我对他如此广博的兴趣，同时活跃于多个学科前沿，深感惊讶。弦论中的许多问题都依赖于丘本人的工作，以及其他人在丘的数学思想与结果基础上所得到的物理应用。丘的激情极富感染力，总能让他人感到有无穷无尽，激动人心的新事物等待发掘。哈佛大学著名数学家萧荫堂解释了卡拉比丘流形的重要性：卡拉比猜测解决后，物理学家提出了弦理论。卡拉比猜想为弦论模型提供了一块重要的拼图，丘对这个领域作出了重要的贡献。丘对物理学的贡献可以由哈佛物理系教授Andrew Strominger的话来作解释： 丘成桐教授的工作超越了纯数学的领域，

26、对物理学产生了深远的影响。举两个重要的例子，他对于广义相对论中正能量定理的证明，在广义相对论提出60年后验证了爱因斯坦的理论是相容与稳定的。他对于卡拉比猜测的证明使得物理学家得以用卡拉比丘紧化来说明弦理论是自然界大统一理论的合适候选。广而言之，他在现代弦论与数学的丰富联系之间起到了关键的作用，能够在广泛的领域里与物理学家和数学家进行交流。如加州大学洛杉矶分校著名代数几何学家D.Gieseker所说：丘在代数几何上的工作不仅仅体现在与物理学的联系上。重要的Severi猜想与Bombieri猜想是卡拉比猜测的推论，而卡拉比猜测是丘在洛衫矶分校访问时证明的。丘对$c_10$时的情形也作出了重要的贡献

27、，猜想了它与代数几何中几何不变量理论意义下的稳定性的关系。这激发了Donaldson关于数量曲率与稳定性的重要工作。另一个重要的结果Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理说，全纯向量丛在Mumford意义下稳定当且仅当其上存在Hermitian-Yang-Mills联络。这在代数几何中有许多重要应用，比如，关于某些对称空间的刻画。稳定丛的陈数不等式，以及凯勒流形基本群的限制等。丘仅仅凭代数几何中的工作就可以堪称世界顶尖的数学家，更不用说他在几何中的所有工作了。过去几十年中我们见证了数学与物理重新富有成果地走向融合，特别是弦论与代数几何。这种影响来自于物理学家通过物理直觉对于某些未知

28、与神秘的数学理论的预测，这从数学家的角度来看有些不可思议，镜像猜想就是这个关系的一个集中反映。丘在这一联系中起了中心的作用。我们永远不会高估丘对于卡拉比猜测的证明的重要性，因为它是沟通弦论与代数几何桥梁的关键纽带。这一发展在许多方向都结出硕果，特别是镜像猜想的证明，SYZ纲领与Yau-Zaslow猜想。丘的合作者李伟光如是说：那是在1979-80年的普林斯顿特别几何年期间，Borel问丘是否知道拉普拉斯算子热核的一个好的上界估计。我相信Borel是希望证明某些局部对称空间上的热算子是迹类算子。因为我的学位论文是关于热核估计，于是丘成桐，郑绍远和我开始研究这个问题。那时，热核相对于底流形几何结构

29、的行为所知甚少。郑，丘和我写了一篇文章，用几何量给出了热核的上界。Cheeger，Gromov和Taylor后来推广了我们的工作。一两年后，丘建议我们用他在1974年发展的调和函数梯度估计（我在论文中也用它估计特征函数）来得到热核上界。后来发现我们得到的估计是最优的，不仅对于梯度界如此，同时对具有非负Ricci曲率流形上热核的上下界也是如此。稍加改进，我们的方法可以应用于Ricci曲率有下界的情形和更一般的抛物薛定厄算子。后来发现，用极大值原理来得到抛物梯度估计的方法在处理几何流问题时非常有用。这一原则与想法由Hamilton加以发扬光大，他成功地将其系统应用于许多非线性抛物方程。当然，最重要

30、的是所谓的Ricci流方程的李丘Hamilton不等式。最近Perelman工作中的一部分是受到了我们对于抛物薛定厄方程估计的启发。特别的，Perelman的约化距离平行于我与丘的文章中的抛物距离。至于我们在热核估计上的工作，也在几何分析中非常有用。在许多情况下，热核估计可以用来控制不同的几何量，这些量在流形偏微分方程理论中非常重要，比如Sobolev常数，格林函数，庞卡莱不等式。丘除了是众所周知的顶尖数学家外，他对于数学的影响已经超越了他所证明的定理。他总是兢兢业业地培养研究生，博士后，花费大量的时间，精力，特别是他的深刻洞察力。一个例子是他的著名的几何公开问题集。许多数学家都不愿公开自己的

31、数学见解，因为他们要把这些留作己用或传授给自己的学生。丘的问题集是一个例外。就我所知，他的问题集现在仍然非常有影响，必将引起更多的研究兴趣。一位博学的拓扑学家，Dennis Sullivan将告诉我们丘极强的几何直觉与自信：丘在普林斯顿高等研究所时，我到那里访问，有一次向他提起，以布朗运动与黎曼几何作为工具的文章很难写，因为很难找到联系这两方面的参考文献。我知道丘有一个结果，大黎曼流形上的$p$可加调和函数，当$p$大于1时，必为零，以及Lucy Garnett的结果，如果$p$等于0，那么用布朗运动加上动力系统的论证方法可以直观地证明，同样的结果也成立。丘回答说，他试图用随机道路方法来构造大

32、负曲率复流形上的有界全纯函数，可是这个方法似乎并不有效，所以从某种角度佐证了文献的缺乏。他特别提到，在大复曲率实流形上找有界调和函数的问题。那晚我想了很久，发现用随机道路可以直觉地证明丘的问题中的有界调和函数应该很丰富。可是，第二天，我发现很难严格描述这个证明方法，正如我在上面提到过的文献的缺乏，以及不同的数学特征。Milnor当时也在座，他建议我把证明写下来。过了大约一年，我把严格的证明给丘看。丘用坚定的口气说：如果可以这样做，那么也应该可以找到一个几何的证明！事实上，丘是对的，因为Michael Anderson几乎同时也独立地用几何凸性构造发现了单连通负曲率流形上有界调和函数的同样的结果

33、。这个故事说明，拥有明确的观点，并能坚持不懈，对于研究者来说是宝贵的财富，无论在什么情况下，也无论你是对，或错，甚至是既对又错。丘的贡献由哥伦比亚大学教授Phong做了总结：丘作出过基本重要性工作的领域包括，微分几何，非线性方程，广义相对论，代数几何与弦论。这些领域都由于丘的工作而得到改观，其广博令人惊叹。我们无法找到在现代几何分析中有哪个研究方向没有本质地用到他的结果或受到他的纲领的深刻影响。他毫无疑问是人类数学史上最伟大的人物之一。如他的太太郭友云所说：他的一个人生目标是帮助中国的数学成为世界一流。他为此几乎花费了过去15年中的全部空余时间。包括他在夏天和冬天的大部分假期。这对家庭也是很大

34、的牺牲，但我们都支持他。为了实现这一目标，他有两个途径：一是培养学生，二是筹集在中国办数学所的经费。他在学校和家里花了大量时间教育学生。筹集经费本不是他的任务，他还是坚持为之。他的一个基本原则是，决不将筹集的经费用作私人开销，包括差旅费等。他在我们家里单独指导学生所花费的精力，也许比他照顾自己的孩子还要多。他尽力保护他的学生，特别是那些新毕业的博士，为他们的研究和工作操心，甚至不惜以自己与其他数学家的友谊为代价。 台湾著名数学家林松山回忆道：丘第一次到台湾是参加1985年的美国台湾非线性偏微分方程会议。美国代表团由刘太平带领，成果包括J.Glimm，L.Nirenberg，P.Rabinowi

35、tz，D.Stroock和丘，都是美国数学界的重量级人物。这次会议对许多本地数学家来说，是第一次有机会在家乡接触世界上最好的数学家。他们为这次会议准备了两年之久，包括改进自己的数学结果，润色英语表达。会前，丘的事迹与他在数学上的成就，获得菲尔兹奖的情形，被报纸刊登，丘也被视为英雄人物。会议很成功。自那以后，丘经常访问台湾，进行学术交流，推动数学发展。1990年，他受台湾新竹清华大学校长刘炯朗邀请，作为讲席教授访问一年。在那一年中，许多数学家都专程来访，听取他的见解。若干年后，他建议已是科学委员会主席的刘炯朗，建立理论科学中心。正式的成立是在1998年。他担任理论科学中心顾问委员会主任直到200

36、5年，由哈佛大学的姚鸿泽接任。在过去二十年中，通过结交朋友，鼓励学术，培养学生和帮助组织数学活动，他极大推动了台湾数学的发展。关于丘对台湾数学的影响，台湾著名数学家林长寿也表达了类似的观点：他在学术假时访问台湾清华大学。讲授了等距嵌入，并开设许多研讨班。他对待数学的风格非常恢宏，对许多年轻人来说很受震撼。甚至在他离开台湾候，他的影响仍然巨大。一些最优天分的学生被吸引到数学中来，如哥伦比亚大学的王慕道，中央大学的王金龙，他们都成了丘的学生。现在他们已经是台湾数学界的领导人物。我要提的另一件事，是清华大学的理论科学中心。这个中心在台湾数学界扮演了最重要的角色。成立中心的想法是丘提出来的。他向台湾科

37、学委员会主席提出了这个建议，并很快被采纳。他是中心成立之初的主要顾问。他帮助建立了中心的整个结构。丘经常访问台湾，给年轻人以鼓励。苏黎世理工学院的著名几何分析学家D.Christodoulou回忆了关于丘疼爱孩子的一个有趣的故事：1984年春，丘的家人已经搬到伯克利去了，而他还没有走。我记得我们一起在他的办公室里工作到深夜。在大约凌晨1点，也就是太平洋时间晚上10点，他会拿起电话，开始唱动听的中文歌！丘总是让人惊讶，我想他也许要成为一个伟大的歌唱家了。可是我后来发现，这些歌都是摇篮曲，原来那时正好他的孩子们要上床睡觉了。 我1971年从普林斯顿大学获得物理博士学位，所以在我第一次遇到丘时，我已

38、经有10年的物理学家生涯了，可是我作为数学家的生涯还刚刚开始。我很欣赏他的开朗，我与他频繁交流，大约有5年之久。那是我的研究逐渐转型的时期，我从丘那里学到了几何分析的方法与途径。这条道路我一直走到现在，我的工作是与时间发展方程有关的几何分析的延伸，其中基本的方程是双曲型的（比如广义相对论中的爱因斯坦方程，或连续介质力学中方程）。著名数学家F.Hirzebruch评价说：我仰慕丘成桐，不仅因为他是一位伟大的数学家和老师，而且他是国际合作的倡导者，多个研究所的建立者，许多重要期刊的编辑与会议的组织者。他看起来彷佛有着无穷的能量。让我举两个亲身体会的例子：我很感激他能来参加我65岁寿辰的会议（199

39、3年在以色列Bar-Ilan大学Emmy Noether研究所），他作了关于他的有关凯勒爱因斯坦流形的著名工作的演讲。基本的Miyaoka-Yau不等式$c_12leq 3c_2$对一般型代数曲面的陈数成立。等式$c_12 3c_2$”刻画了一般型曲面中的球商。所有这些都是我与Gottfried Barthel与THomas Hfer的书，以及我与Paula Cohen合作的文章中的基本内容（参考我们为Pierre Deligne与G.Danel Mostow的书Commensurabilities among lattices in PU(1,n)所写的书评，在美国数学会Bulletin的3

40、2(1995)）。丘在他的Bar-Ilan演讲中，提到我们1981年在伯克利讨论过这些问题。第二，我很感激丘，是因为他1999年在哈佛组织了出色的JDG会议“向四位指标理论的开创者致敬”，并编辑了两卷书，一卷关于会议文集，一卷是Atiyah,Bott,Hirzebruch和Singer的回忆录。”马普数学研究所所长J.Jost描述了他与丘的交往：我从丘那里学到了，为了解决一个问题，你必须试着用尽可能多的想法。即使这些想法都不对，理解它们为什么不对也可以增进你对于这个问题的见解，最后它的本质显露出来，你就可以轻松解决它了。宾州州立大学著名数论学家李文卿说：我从未与丘有很近的联系，我总是非常敬佩他

41、。我感谢他对数论的支持。他的领导作用对好几代数学家都会产生深远的影响。丘的影响远远超越了数学研究与教育，普林斯顿大学教授E.Lieb说：丘的工作中最重要的方面，除了他对数学的贡献，就是他对数学界的社会服务行动。特别的，丘是少数愿意花费精力，并有能力，为降低数学出版物的价格而操劳的人。我很高兴能与他在出版方面有过几次合作。仅仅是他在这方面的工作，我们数学界就应该心存感激，更不用提他其他的众多贡献了。如同麻省理工学院的教授I.M.Singer所描述的：丘一个人就抵得上一个数学系。他整天都在主持讨论班，他的学生也总是很活跃。他们成了他家庭的一部分。Duke大学教授M.Stern回忆了丘指导学生的情形

42、：丘有一套有趣的方法来分别有潜质的学生。当我问他是否可以跟他学，他问我对什么感兴趣。我告诉他我刚读了Gilkey关于指标理论的工作，里面的结果很奇妙。我问是否这个领域有什么公开的问题。他说是的：非紧流形，不过这个领域太难了。他接着告诉我去读Gilbarg-Trudinger，Griffiths-Harris的书以及Hirzebruch的代数几何中的拓扑方法，然后再去找他。我找到了这些书，开始读Gilbarg-Trudinger，我决定过几个星期再回来。我不知道他是否认为我在这么短的时间里，已经把这些书读完了，不过也许如此，因为在我们第二次见面的时候，他建议我研究非紧流形上的指标理论。当我回答说

43、，他曾经说过这个问题太难。他说：如果你努力去做就不难了。这种治学的态度是丘留给学生最大的财富。如果你足够勤奋，你可以发现有趣的数学，即使你不是超级明星。在与丘接触时，总能感受到这种勤奋的作风。当你在电影院坐在丘的后面，你总可以听到丘在讨论数学，直到电影开始。当还在研究生院时，我告诉丘我结婚了，丘停顿片刻，惊讶，然后说：恭喜你，不过可不要影响你的工作。我差点忘了提，丘还展现给他的学生一幅难以言状的丰富的数学世界。丘对学生一贯的关心与支持，甚至在他们毕业以后也是如此。就我来说，他给我职业建议与合作研究，让我与未来的合作者建立联系。比如，他将我引荐给一位适合我的专业特长的弦论学家，导致了我们十多年富

44、有成果的合作。Christine Taylor回忆了作为导师的丘：丘作为我的导师，就好像我又有了一个父亲，不仅是研究生院的那些岁月，而是一生。我们总是能够得到他的帮助。丘作为一个中国人，也许不像有些美国人对待学生那样感情溢于言表。但我们都知道他为我们感到骄傲，正如同我们为有他这样的老师而自豪一样。我想这种导师与学生之间的关系是非常难能可贵的。另一位学生刘秋菊描述了丘对学生的帮助：要回忆起在我学术生涯的各个阶段丘对我的所有帮助是不可能的。我只说一个特别难忘的时刻。在我研究生的第二年的夏天，丘教授在与我谈话时感到我有些迷茫。于是一周后，丘教授安排了我与金芳蓉教授，以及Karen Uhlenbeck

45、教授，滕楚莲教授以及他的其他女学生的谈话。这段经历我永远不会忘记。2004年获得哈佛博士学位的Alina Marian回忆了她在丘成桐指导下的经历：与丘的数学讨论是很融洽的，总能很快到达问题的本质。他对一项工作的看法或对一门研究的见解总是非常坦率，不过我总能受到他的鼓励。让我印象最深的是，丘任何时候都不拒绝学生的拜访。我本来安排在秋季讨论班的最后作一次报告。离圣诞节只有两天，在一个几乎空荡荡的数学系里，我发现自己要作一个比较简单课题的报告。可是没有一个听众我有些气馁地告诉丘（他迟到了一点）这次报告看来要取消了。丘还是劝我继续讲，就这样，他一个人独自听了很长时间。如马里兰大学的著名数学家S.Wo

46、lpert所说：从斯坦福大学开始，我就发现丘几乎对数学中的每个问题都感兴趣。丘总是鼓励研究跨领域的，可以开拓未知领域的大问题。我也很乐意与他的学生交谈，他们都对几何中当前研究的问题有详细的了解。他的学生宽广的知识面是丘的讨论班取得成功的一个标志。他与学生的合作研究可以在他的前学生，斯坦福大学教授R.Schoen的描述里看到：我在1973年第一次遇到丘，当时我是斯坦福的二年级博士生，他是一个新来的教员。我们在数学上的交流是通过我所参加的Leon Simon关于极小超曲面的讨论班开始的。这导致了我们三人关于稳定极小超曲面性质的合作研究。我读研究生时继续跟着丘和Leon作研究，是他们共同指导的博士生

47、。做学生时，我每天花几个小时与丘一起工作（主要是向他学习）。他对几何的东西都感兴趣，他对一大类问题都有很好的想法。这对我来说是千载难逢的机会，在我研究生涯的早期给予了极大的推动。我做学生时我们又一起写了两篇文章。我在1976年离开斯坦福，到伯克利做讲师。丘在第二年时来到伯克利，我们继续合作。正是在伯克利，我们开始了数量曲率与正质量定理的工作。我们在接下来几年中极大推广了这项工作，我还记得1978与1979年夏天在斯坦福的难忘时光。197980年，丘在普林斯顿高等研究所组织了几何特殊年活动。这是另一个我形成自己研究风格的时期，因为研讨内容涉及众多研究方向。我学到很多，也做出了一些至今仍引以为豪的

48、工作。我很早开始就对丘印象深刻：他对工作的全心投入（包括周末他都在办公室夜以继日），他所掌握的知识与技巧的广博，他坦诚的性格，与他人分享的慷慨胸襟。现在当我遇到丘，我还是会惊讶地发现他几乎没有改变。他仍然保留着他的个性，以及充沛的精力。最大的不同是，他比以前更忙了，需要应付更多的事情。我总是怀疑，他不可能会像70年代早期那样有更多的时间与学生在一起，所以我感到自己非常幸运能够在那时成为丘的学生，并与他共事。Uhlenbeck是国际著名女数学家，规范场论中分析方法的奠基人之一，美国科学院院士。她曾说：在与丘成桐成为朋友以后，他对我的数学生涯产生了决定性的影响。美国数学会前主席Arthur Jaf

49、fe曾说：丘成桐的研究领域如此广博，堪称全才。他的大学同学S.-L.Ma回忆：按照中国的传统，让一个大学二年级学生来给一群大学三年级学生讲课，真的是很难想象。但这却正是丘在20世纪60年代的时候所做的，这在香港中文大学是前所未有的。他与萨拉夫教授一起教virtual分析与微分几何，他在年轻时就展现出了掌握复杂概念的过人智慧。我很荣幸能与这样一位数学奇才有过交往。他的大学同学Y.-C.Siu回忆说：丘教授很愿意与年轻人见面，激励他们学习数学的兴趣。当我在香港中学教书时，我邀请丘教授给我的学生作一个报告。在与学生们分享了他学习数学的经验以后，他与学生们聊了将近两个小时，并耐心回答他们的问题。直到每

50、个人满意又不舍地离开。在年轻人眼里，丘不仅仅是一位伟大的数学家。他是传播数学美的大使。1983年丘成桐获得菲尔兹奖时，Nirenberg如是评价丘成桐：极小曲面在他的手中，就如同以前人们使用测地线那样。他是一位拥有非凡技巧和洞察力的分析几何学家，或几何分析学家。1994年，瑞典皇家科学院授予他Crafoord奖:表彰他“发展了微分几何中的非线性技巧，导致了多个出色问题的解决。”1997年，他获得美国国家科学奖:他对数学作出了深刻的贡献，对许多领域产生了重大影响，如拓扑学，代数几何，广义相对论和弦理论。他的工作极富洞察力地将两种不同的数学方法结合起来，解决了几个数学中长期悬而未决和重要的难题。2003年，他获得中华人民共和国国际科学技术合作奖:表彰“他对中国科技进步，人才培养方面的杰出贡献。”1981年丘获得Veblen奖的介绍：我们很少有机会目睹，一位数学家的工作能够在如此短的时间里影响整个研究领域的发展. . . 很少有数学家可以在深度，影响力，方法与应用的广泛性上与丘的成就相提并论。