高数复习知识点及公式

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1、高数复习知识点及公式、知识点1、求直线方程和平面方程求条件极值 二重积分 曲线积分（弧长积分、坐标积分）曲面积分6、格林公式高斯公式-空间闭曲面& 幂级数（求收敛半径、判断正项级数收敛性）9、傅里叶级数二、公式空间解析几何和向量代数：空间 2点的距离：d =|M 側 2 = J（x2 xj2 +（y2 yj2 +（z2 乙）2 向量在轴上的投影：Pu AB - |ab| cos二是 AB与u轴的夹角。Prju（ai a?） =Pr jaPJa?a b =|a b cos日=axbx +ayby +azbz, 是一个数量，两向量之间的夹角：axbx+ayby+azbz cos厲2 +ay2 +a

2、z2 pbx2 +by2 +bz2.ai jkc =a 5 =axayazbxbybzc=a b si 例：线速度:az-bzc cos ,a为锐角时,-ax ay向量的混合积：abC| =(4b)bx byCx CyCz代表平行六面体的体积平面的方程：1 点法式：A(x -X。)B(y -y) C(z -Zo) =0,其中 n 二 A,B,C, M 0(Xo,yo,Z0)2、一 般方程：Ax By Cz D = 0 3、截距世方程：X ya b c平面外任意一点到该平面的距离：d二AXo Byo CZDJa2+b2+c2|x = x0 mt空间直线的方程：匕乞=士必= =t,其中二m,n,p

3、;参数方程：y=y+ nt m npz = z()+ pt二次曲面：1、椭球面:2、抛物面:212.2 2a b c2xx22-+ = z,(p,q 同号)2p 2q单叶双曲面：2 2 2x y_z t a b c2 2 2双叶双曲面：x2 - y2 z2 =1(马鞍面)a b c双曲面:3、多元函数微分法及应用全微分： dz = dx + dydu =dx +dy + dz.x全微分的近似计算：.yx.:yz：z ： dz 二 fx(x,y) ：x fy(x, y) y多元复合函数的求导法：dz :z dt ；:u :z :xz 二 fu(x, y),v(x, y).:u : z : vi-

4、r t:v ；:t:u:z: v-：x:v:x.:t:z?u-Vcv-dv dx dy当 u=u(x, y), v=v(x,y)时，. Qucudu dx dyexcy隐函数的求导公式：隐函数F(x, y) =0,隐函数 F(x,y,z) =0,虬上,dx FyFaFz ,zd2yFx?-：zFy-yFzdydx隐函数方程组：；F(x，y，u，v)=OG(x, y,u,v) =0.:u1；：(F,G): v1= =.xJ (x, v):xJ:u1；:(F ,G): v1= I =.:yJj(y, v)；：yJ微分法在几何上的应用：cF1 _(F,G) _百FuFv&u,v)cGcGGuGvcu

5、cv-：(F,G)：:(u,x)F,G)：:(u,y)x=9(t)空间曲线y(t)在点M (x0, y0,z0)处的切线方程:z =(t)X X。y y。Z Z (t0)在点M处的法平面方程：(t)(x x)宀(t)(y - y) (t)(z z) = 0：(t0)- (t0)若空间曲线方程为：F(x,y,z)=0,则切向量T= FyFz,FzFx,FxFyG(X, y,Z)=0GyGz GzGx GxGy曲面 F(x, y, z)=0上一点 M(X0,y,Z0),则:1、 过此点的法向量：n 二Fx(X0,y,Z0),Fy(X0,y0,z0),Fz(X0,y0,z0)2、 过此点的切平面方程

6、:Fx(X0,y,Z0)(x-X0)Fy(X0,y0,Z0)(y-y) Fz(X0,y,Z0)(z-z)=03、过此点的法线方程:x-xy-yz-zFx(x0, y, %) Fy(X0,y,Z0) Fz(x0, y0,z)方向导数与梯度：函数z = f(x, y)在一点p(x, y)沿任一方向I的方向导数为：丄二丄cos s in clexcy其中为X轴到方向I的转角。、Ef - Sf 函数 z = f(x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x, y) i jexcyf_一一它与方向导数的关系是：一二gradf(x,y)e，其中e = cos：:i sin，为I方向上的cl单位

7、向量。-f是gradf (x,y)在l上的投影 -l多元函数的极值及其求法：设fx(x, y) = fy(x0,y) =0，令：fxx(x0,y) = A, fxy(x, y) = B, fyy(x, y) = C ac-B2r寸;A7(x0,y0)为极大值CjA0,(X0,y)为极小值贝V： AC -B2 0时，无极值AC_B2=0时,不确定重积分及其应用:11 f (x, y)dxdy 二f (r cost, rsin v )rdrd vDD 曲面z = f (x,y)的面积A二D.r (x, y)dcD.?(x,y)dcDD(x, y)xd二3，Fy 二 f II(x, y)yd二3，(

8、x, y)xd二3,? ?、？(x y a )z 222 x 2(x y a )z 222 x 2(x y a )JJxP(x, y)db平面薄片的重心:-MxDx =MI , ： (x,y)dcD平面薄片的转动惯量： 对于x轴I x = JJ y? P(x, y)dcr, 对于y轴I y = P(x, y)dcrDD平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F =Fx, Fy,Fz,其中:x =r cosB柱面坐标：y = r sin,z = z柱面坐标和球面坐标:hi f (x, y, z)dxdydz = F(rj,z)rdrd Pz,Q6其中： F (r

9、, v,z)二 f (r cos rsin),z)x 二rsin cos -球面坐标： y=rsin :sin v, dv = rd rsin :dr=r?sin :drd dI z = r cosr( :,Tf (x, y, z)dxdydz 二 F(r,)r?si n :drd :d)- d d F(r,:，旳r?si n :drQQ000其中M = x =.dvlz.(x? y?)dvQ1 1 1重心： x =xdv,y =ydv,3 = iiizdv,M qM 五M q转动惯量：Ix 二(y? z?) ;?dv,ly 二(x? z?)dv,QQ曲线积分:第一类曲线积分(对弧 长的曲线积

10、分)：=P(t)设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(口竺邛),则：X =tJ=p(t)(t) P.f(x, y)ds 二 f t)(t)？(t)?(t)dt C ：-)特殊情况:L、2第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)： 设L的参数方程为丿乂“：Kt)P(x,y)dx Q(x,y)dy 二.P建),- (t)(t) Q(t)(t)(t)dtL 、两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy二(Pcost geos 一：)ds其中：和：分别为LLL上积分起止点处切向量 的方向角。)dxd ； Pdx Qdy:yl格林公式：11(卫 尸)dxdy = -Pdx Qdy格林公式：(-QD e

11、x &yLD ex当 p=_y,Q二x,即：2 一兰=2 时，得到 D 的面积：A二 dxdy-1 xdy-ydx 泳纲D2 L平面上曲线积分与路径无关的条件：1 G是一个单连通区域；2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且卫=史。注意奇点，如(0,0)，应 & cy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在2 = -P时，Pdx Qdy才是二元函数u(x, y)的全微分，其中: .x；y(x,y)u(x, y)二 P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 二 y0 =0。曲面积分：对面积的曲面积分：JJ f (x,y,z)ds = JJ f x,

12、 y,z(x, y)J1 +z；(x, y) + z： (x, y)dxdy二Dxy对坐标的曲面积分：Il P(x, y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx，R(x, y,z)dxdy,其中：Z11 R(x,y,z)dxdy ： ： i iRx, y,z(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；DxyP(x,y,z)dydz=Px(y,z), y,zdydz 取曲面的前侧时取正 号；工Dyz.Q(x,y,z)dzdx 二 Qx, y( z,x),zdzdx 取曲面的右侧时取正 号。ZDzx两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy二(Pcos： Qcos ： Rco

13、s )dsZZRcos )dsdiv、： 0,则为消失斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：八 R；:QP；:RQ；:P()dydz ()dzdx (v : y:z:z:x:x.x)dxdy y上式左端又可写成：JJEdydz.xPdzdxyQdxdy&R空间曲线积分与路径无关的条件:Pdx Qdy Rdz f cos :yQcR cQ ?Z ;X: Xcos：:xPcos:P旋度：rotA =.xPj-yQk：zR高斯公式:：p .： Q .： R111()dv = Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(P cos 一八 Q cos -訶：z、高斯公式的物理意义通量与散度：散度：di，

14、即：单位体积内所产生的流体质量，若ex&ydz通量：！! A nds 二Ands 二(Pcost 11 Qcos ： Rcos )ds，z z z因此，高斯公式又可写成： divAdv二Ands向量场A沿有向闭曲线-的环流量：Pdx Qdy Rdz二：A tdsrr常数项级数：等比数列：+q+q2 +qn=匕丄i-q等差数列：1+2+3+n = (n +1)n2调和级数：1 +1 +1卄 +1是发散的23 n级数审敛法:1正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）：时，级数收敛设：P =lim n；u7,贝时，级数发散FI P=1时，不确定2、比值审敛法：t :：: 1时，级数收敛设：P =

15、lim业1，贝并时，级数发散n CUnP=1时，不确定J3、定义法：Sn =比 U2亠亠un;lim sn存在，则收敛；否则发 散。n_jpc交错级数5 -氏U3 -比（或- 5【2-出,Un 0）的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足Un色山卅limun =0n匸那么级数收敛且其和su-其余项rn的绝对值r Un 1绝对收敛与条件收敛:（1）U1 U2亠亠Un ，其中Un为任意实数;（2）5 +吐|+|出| + +Un + 如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数：a 1发散，而匕丄收敛；nnnpp R时发散，其

16、中R称为收敛半径。二R时不定求收敛半径的方法：设二二其中an，an1是（3）的系数，贝 0时，- :时，R = 0R 二：函数展开成泰勒级数：f(x) = f(X0)(x-X0)?0)2宀。)。八2!n!函数展开成幕级数:(n 1)（）（X X0）n f（X）可以展开成泰勒级数的 充要条件是：lim_Rn=0x0 =0时即为麦克劳林公式：f(x) =f (0) f (0)xxn2!n!余项：Rnn 1）!些函数展开成幕级数:-、m,2-n+1)n八(1 x) = 1 mxxx(一1 ： x ：1)2!n!352n dsinx=x-X X(-1)n X(-： ：x ：)3!5!(2n-1)!欧拉

17、公式：ix 丄e +ecosx =ixe cosx i sinxix-ixe esinx 二三角级数：odf(t)二A0 二 An s in(nJ =色一二(an cos nx bn si n nx)n壬2 n壬其中，a = aA0， an = A sin n， bn = A cos n，t = x。正交性：1,si n x,cosx,si n2x,cos2xs inn x, cos nx 任意两个不同项的乘积在L叮上的积分=0。傅立叶级数：a 0f (x)0 、(an cos nx bn s inn x),周期=2二an1f (x)cosnxdx (n 二 0,1,2)JI-兀 jibn1f

18、 (x)sinnxdx11 321+2245212(n =1,2,3 )1+6282Jt24正弦级数:an=0,bn1 1 12232421 1 1_一 + _ 2232422 二= f (x)s inn xdx0n余弦级数:bnan2f(x)cosnxdx心0周期为21的周期函数的傅立叶级数:f (x)=鱼、(an cos- bn sin2n 二ll.nnxf(x)cos dx 丄li.n双f (x)sin dxilanbn平）,周期(n =0,1,2 )(n =1,2,3 )_ 2-(相加)6_ 2(相减)12n =1,2,3n =0,1,2=21f (x)八 bn sin nx是奇函数f(x)=创 an cosnx是偶函数2