实数与向量

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1、课 题：实数与向量的积（1） 教学目的：1. 掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2. 掌握实数与向量的积的运算律；3. 理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行. 教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课课时安排：1课时*教具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a、b等表示；3. 零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长度的向量，叫单位

2、向量.4. 平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行向量a、b、c平行，记作abc.5. 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则、8. 向量加法的交换律：a + b = b + aH! ssf r 9. 向量加法的结合律：（a + b ） + c = a + （b + c）10. 向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做 a 与 b 的差即:a - b = a + （_b）11.差向量的意义：OA = a, OB =

3、 b,则 BA = a - b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量二、讲解新课：i.示例：已知非零向量a，作出a+a+a和（a）+（-a）+（-a）OC = OA + AB + BC = S + a+ =3 Spn=pq+qm+mn=（-a）+（- a）+（-a）=_3 a（i）3 a与a方向相同且& a耳丨a |；（2）-3 a与a方向相反且13 a耳丨a 1 2实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a（1）| 入 a 1=1 入 | a |（2）入o时入a与a方向相同；入0时入a与a方向相反；入=o时入a=03运算定律结合律：入山）=（入山a第一分配律：（

4、入+卩）a=入a+卩a 第二分配律：入（+ b ）=入+入结合律证明：a 如果入=0,卩=0, a=o至少有一个成立，则式成立如果入工0, ii0, a0有：丨入a）i=i入iia=入iimiai i（入卩）ai=i入mi ai=i入iimiai.i入山）| = |（入如果入、m同号，则式两端向量的方向都与a同向；如果入、m异号，则式两端向量的方向都与反向+从而入（卩a）=（入m） a第一分配律证明：a -如果入=0, m=o, a=0至少有一个成立，则式显然成立如果入工0, |!工0,当入、m同号时,a虞0 则入和m同向，.i（入+m）a i = i 入+m ii a i = （ i 入 i

5、 + i m i）i a ii 入 a+m a i=i 入 a i+1 m a i=i 入 i i a i+1 m 11 a i=（ i 入 i+1 m i）i a i入、m同号：两边向量方向都与a同向即 i （入 +m）a | = | 入 a+m a |当入、m异号，当入卩时 两边向量的方向都与入a同向；当入卩时 两边向量的 方向都与卩a同向，且i （入+m）a 1=1入a+m a丨.式成立第二分配律证明：如果a = 0 , b=0中至少有一个成立，或入=0，入=1则式显然成立当a丰0, b丰0且入工0,入工1时（1）当入0且入工1时在平面内任取一点0,作 OA = a AB =OA1 =入

6、 a AB =入1i i则 ob=a+bob =入a+入1由作法知，AB / Ai Bi 有 “ABMOAiB11| AB |=入 | AB |11I OA I I AB IL = 11 =入.OABsAoAB“IOAI I AB I11I OB I1-=入 ZAOB=Z A OBI OB I11因此，。，B，B1在同一直线上，1件入OB 1OB1与入OB方向也相同.入（a+b）=入 a+入 b当入o时可类似证明：入（g+b）=入a+入. 式成立4向量共线的充要条件若有向量a（a丰0）、b，实数入，使b=入a，则a与b为共线向量.若 aa 与 b 共线（a0）且|b|: |a|=，则当a与b同

7、向时b =a-当g与b反向时b =u a从而得向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入, 入a 三、讲解范例：例1若3m+2 n = a，m3 n = b，其中a , b是已知向量，求m, n.m3 n = b 分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n. 解：记3m+2n = a3X得 3 m9 n =3 b得 11n=a3b.3ab111n =1132a +=a +b11 11 评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从 而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致 例2凸四边形

8、ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证EF = ： （AB + DC）. 解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决将代入有：m= b + 3 n过点c在平面内作CG = AB，贝y四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.而 DG = DC + CG = DC + AB , EF = 2（ AB + DC）.解法二：创造相同起点，以建立向量间关系EF = EG = ( EB + EC ) = ( AB + DC ) 2 2 2四、课堂练习： 1.错例分析判断向量a=2e与b = 2e是否共线？对此题，有同学解答如下：解：.a=2e, b = 2 e,A

9、b = a , a与 b共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e并无任何限制，那么就应允许e=0,而 当e=0时，显然a =0, b =0,此时，a不符合定理中的条件，且使b =入a成立的入值 也不惟一（如入=1,入=1,入=2等均可使b =入a成立），故不能应用定理来判断它 们是否共线可见，对e=0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下：解：当e=0时，则a=2e=0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时a与b共线. （2）当 eM0 时，则 a=2eM0, b =2 e0/. b

10、= a （这时满足定理中的a工0,及有且只有一个实数入（入=1）,使得b = 入a成立）a与b共线.综合、（2）可知，a与b共线.2. 用向量法解决几何问题向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的 命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练1如图，皿“是厶ABC的中位线，求证：MN= 2 BC，且MNBC.证明：TM、N分别是AB、AC边上的中点，所以AM = 2 AB ,AN = - AC , MN = AN AM = - AC - AB = - （ AC AB ）2 2 2 21 因此，NM=EC且MNBC.2五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量

11、的积的定义，掌握实数与向量的积的运 算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.六、课后作业：1.当入wZ时，验证：入 (S+ b)=入 + 入 b证：当入=0时，左边=0( 真 b )=0右边=oa+0b = 0 分配律成立 当入为正整数时，令入=n,则有：n( b+ b )=( b+ b)+(S+ b )+( S+ b)=S+ +S+ b + b + b +b =n +n b即入为正整数时，分配律成立当为负整数时，令入=-n (n为正整数)，有_n( + b )=n-( + b )=n(- )+(- b )=n(- )+n(- b )=-n +(-n b )=-n -n b分配

12、律仍成立 综上所述，当入为整数时，入( S+ b)=入 S+ 入b恒成立，2.如图，在AABC 中，AB = a, BC =为厶ABC的重心，求向量AG中线， G1 1 解法一：. AB = a BC = b 则 BD = BC = 2 21 b2 l. AD = AB + BD = + b 而 AG = _ AD2 3 AG = 2 +1 b3 3.AEFsABC,AE = 2 AB = 2 b33解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、FEG =1 EF =1232 2EF = BC =-3 3. AG = AE + EG = 2333 .在ABCD中，设对角线AC = ， BD =

13、 b试用, b表示AB， BC解法一：AO = OC = 2BO =1 BD =12 2B1 p 1 P . AB = AO + OB = AO - BO = a- b2 2!1 P 1BC = BO + OC = OC + BO = a + b2 2 f- 1- F解二：设 AB = x, BC = y艮卩x - y =亠laiBj（、则 AB + BC = AC ，即 x + y = a ； AD AB = BD ,-1 p p - 1 p px =（a b）, y =（a + b ）1-*ba- CB = e +3 e , CD =2 e e ,若1 2 1 222 即 aB =*（泾b

14、）BC = *（ p+b）4-设牛e2是两个不共线向量，已知AB =2气+ke2，三点A, B, D共线，求k的值一解： BD=CD-CB=（2e -e ）-（e +3e ）=e -4e1 2 1 2 1 2TA, B, D共线 AB, BD共线.存在入使AB =入BDr 2 =九即 2e +ke =入（e 4e ）仁 .k=81212k = 4k七、板书设计（略）八、课后记：实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握 向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用.