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1、1.3.2 导数的应用二导数的应用二利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值一、复习与引入一、复习与引入:上节课上节课,我们讲了利用函数的导数来研究我们讲了利用函数的导数来研究函数函数y=f(x)的单调性这个问题的单调性这个问题.o oaX1X2X3X4baxy)(4xf)(1xf1.能否画出它的能否画出它的导函数图象？导函数图象？2.找出这个函找出这个函数的极大值和数的极大值和极小值极小值.二、新课二、新课函数的极值函数的极值:一般地一般地,设函数设函数y=f(x)在在x0及其附近有定及其附近有定义义,如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点附近所有各点的函数的函数值都大值都大,我
2、们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个的一个极极大值大值;如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函附近所有各点的函数值都小数值都小,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个的一个极小值极小值.极大值与极小值统称极大值与极小值统称极值极值.在定义中在定义中,取得极值的点称为极值点取得极值的点称为极值点,极值极值点是自变量的值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值极值指的是对应的函数值.(2)函数的极值不是唯一的函数的极值不是唯一的.即一个函数在即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个不止一个.请注意以下几点请注
3、意以下几点:(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念.由定义由定义,极值只是极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小最大或最小.并不意味着它在函数的整个的并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小定义域内最大或最小.也就是说极值与最值也就是说极值与最值是两个不同的概念是两个不同的概念.o oaX1X2X3X4baxy)(4xf)(1xf (3)极大值与极小值之间无确定的大小极大值与极小值之间无确定的大小关系关系.即一个函数的极大值未必大于极小值即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示如下图所示,x1是极大值点是极大值点,x4是极小值
4、点是极小值点,而而f(x4)f(x1).(4)函数的极值点一定出现在区间的内函数的极值点一定出现在区间的内部部,区间的端点不能成为极值点区间的端点不能成为极值点.而使函数取而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点也可能在区间的端点.在上节课中在上节课中,我们是利用函数的导数来我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的研究函数的单调性的.下面我们下面我们利用函数的利用函数的导数来研究函数的极值问题导数来研究函数的极值问题.由上图可以看出由上图可以看出,在函数取得极值处在函数取得极值处,如果曲线有切线的话如果曲线有切线的话,则切线是水平的
5、则切线是水平的,从从而有而有f(x)=0.反过来对吗？反过来对吗？如函数如函数y=x3,在在x=0处处,曲线的切线是水曲线的切线是水平的平的,但这点的函数值既不比它附近的点但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大的函数值大,也不比它附近的点的函数值小也不比它附近的点的函数值小.假设假设x0使使f(x)=0.那么在什么情况下那么在什么情况下x0是是f(x)的极值点呢？的极值点呢？o oaX00bxy0)(0 xf0)(xf0)(xf 如上图所示如上图所示,若若x0是是f(x)的极大值点的极大值点,则则x0两侧附近点的函数值必须小于两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此因此,x0的左侧附近的左
6、侧附近f(x)只能是增函数只能是增函数,即即f(x)0;x0的右侧附近的右侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数,即即f(x)0.oaX0bxy0)(0 xf0)(xf0)(xf 同理同理,如上图所示如上图所示,若若x0是是f(x)极小值点极小值点,则在则在x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数,即即f(x)0.一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是:(1)如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f(x)0,右侧右侧f(x)0,那么那么,f(x0)是是极大值极大值;(2)如果在如果在x0附近的左侧附
7、近的左侧f(x)0,那么那么,f(x0)是是极小值极小值.例例1已知函数已知函数y=x34x+4，（1）求函数的极值，并画出函数的大致）求函数的极值，并画出函数的大致图象；图象；（2）求函数在区间）求函数在区间3，4上的最大值和上的最大值和最小值最小值31解：（解：（1）y=(x34x+4)=x24 =(x+2)(x2)31令令y=0，解得，解得x1=2，x2=2x2(2,2)2y+00+y 极大值极大值 极小值极小值 当当x变化时，变化时，y，y的变化情况如下表的变化情况如下表:,2 2,28343当当x=2时，时，y有极大值且有极大值且y极大值极大值=328 当当x=2时，时，y有极小值且
8、有极小值且y极小值极小值=34（2）f(3)=7，f(4)=9 =，31283 与极值点的函数值比较得到该函数在区与极值点的函数值比较得到该函数在区间间3，4上上 最大值是最大值是9 ，最小值是最小值是3134归纳求极值的方法步骤归纳求极值的方法步骤1、求出、求出f(x)=0的所有的所有x（x1,x2）;2、列表判断在每个区间上的符号；、列表判断在每个区间上的符号；3、若、若(a,x1)上上f(x)0,且且(x1，x2)上上f(x)0,则则f(x1)为极大值；为极大值；若若(a,x1)上上f(x)0,则则f(x1)为极小值；为极小值；4、若、若(a,x1)上上f(x)0,且且(x1，x2)上上
9、f(x)0,则则f(x1)不是极值；不是极值；求函数求函数y=f(x)在在a，b的的最大（小）值最大（小）值步骤如下：步骤如下：（1）求函数）求函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内所有内所有使使f(x)=0的点；的点；（2）计算函数）计算函数f(x)在区间内使在区间内使f(x)=0的的所有点和端点的函数值，其中最大的一个所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。为最大值，最小的一个为最小值。归纳求最值的方法步骤：归纳求最值的方法步骤：例例2求求y=(x21)3+1的极值的极值.解：解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2 令令y=0解得解得x1=1，x2
10、=0，x3=1.当当x变化时，变化时，y，y的变化情况如下表的变化情况如下表:xx(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y 无极值无极值 极小值极小值0 无极值无极值?1?-1?f?x?=?x?2?-1?3?+1?x?O?y当当x=0时，时，y有极小值且有极小值且y极小值极小值=0例例3求函数求函数y=x42x2+5在区间在区间2，2上的最大值与最小值上的最大值与最小值解：先求导数，得解：先求导数，得y=4x34x,令令y=0 即即4x34x=0，解得解得x1=1，x2=0，x3=1.导数导数y 的正负以及的正负以及f(2)，f(2)如下表：如下表：x2(2,1)1(1,0)
11、0(0,1)1(1,2)2y000y13 4 5 4 13 从上表知从上表知:当当x=2时，函数有最大值时，函数有最大值13，当当x=1时，函数有最小值时，函数有最小值4 例例4 已知已知 ,(0,+).是否存在实数是否存在实数,使使f(x)同时满足下列两个条同时满足下列两个条件：件：（1）f(x)在在(0，1)上是减函数，在上是减函数，在1，+)上是增函数；上是增函数；（2）f(x)的最小值是的最小值是3，若存在，求出若存在，求出a,b，若不存在，说明理由，若不存在，说明理由.23()logxaxbf xx解：设解：设g(x)=xbaxx2 f(x)在在(0，1)上是减函数，在上是减函数，在1,+)上上是增函数是增函数 g(x)在在(0，1)上是减函数，在上是减函数，在1,+)上上是增函数是增函数.所以所以3)1(0)1(gg即即3101bab解得解得 11ba 经检验，经检验，a=1,b=1时，时，f(x)满足题设的满足题设的两个条件两个条件.
132利用导数研究函数的极值1
