函数曲线的凹凸性PPT课件

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1、第三章第三章 微分中值定理与导数的微分中值定理与导数的应用应用 高等数学高等数学第五节第五节 函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC定义定义,2)()()2(,)(212121xfxfxxfxxIIxf恒有点上任意两如果对上连续在区间设,)(),(,)(的或凸内的图形是凹且在内连续在如果babaxf;)(,)(的或凸内的图形是凹在那末称baxf,

2、2)()()2(2121xfxfxxf如果恒有();f xI那末称在上的图形是上凹的（或凹弧）()f xI那末称在上的图形是上凸的（或凸弧）二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理1 1内若在一阶和二阶导数内具有在上连续在如果),(,),(,)(bababaxf;,)(,0)()1(上的图形是凹的在则baxfxf.,)(,0)()2(上的图形是凸的在则baxfxf 例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，

3、当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,注：注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。利用凹凸性也可以证明一些不等式。例例2 2.)2()(21 1 0 0 yxyxyxyx 有有，及及，、对对试试证证：解解,)(ttf 令令,)1()(2 ttf则则,0)(0 tft时有时有在在 0。是是凹凹的的时时在在ft 有有且且、对对 ,)(0,yxyx ,)2()()(21yxfyfxf 证证毕毕。即即所所证证不不等等式式成成立立。三、曲线的拐点及其求法连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐

4、点点.1 1、定义、定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法证证,)(二二阶阶可可导导xf,)(存在且连续存在且连续xf ,)()(0两两边边变变号号在在则则xxfxf ,)(,(00是是拐拐点点又又xfx,)(0取得极值取得极值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的.0)(xf方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且的邻域内二阶可导在设函数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xf

5、xxfx 例例3 3.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32().,32,32,0,0,(凹凹凸凸区区间间为为方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例4 4.)2,0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲

6、线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43(f,0 2)47(f,0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2,0).0,47(),0,43(.)()(,(,)(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意:例例5 5.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,(y内内但但在在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上上是是凸凸的的曲

7、曲线线在在 .)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 2(),().xyf xef x例6、设求增减的区间和极值点，以及凹凸区间和拐点），由由，解解：函函数数的的定定义义域域为为（;0,0212 xyxeyx得得驻驻点点及及22,0),12(23,222 xyxeyx得得及及-2-1120.20.40.60.81x),22()22,0(0)(xf )(xf 00凹、降凹、降凸、降凸、降拐点拐点22)(xf 极大极大值值 212 e2 x)(xf )(xf)(xf )22,(0拐点拐点22 212 e )0,22(002 凹、凹、升升凸、凸、升升例例7 7的的凹凹凸凸性性与与拐拐点点。讨讨

8、论论32)1(xxy 解解).,(定定义义域域为为,9)15(23/4xxy .0 ,51不不存存在在的的点点为为零零点点为为 列列表表：x)51 ,(),0()0 ,51(51 0)(xf )(xf 0不存在不存在拐点拐点非拐点非拐点)(5/1),0 0 ,5/1 5/1,(xyy 曲曲线线（。上上是是凹凹的的，拐拐点点为为及及上上是是凸凸的的、在在此此函函数数在在上上是是凹凹的的？问问：此此函函数数在在),5/1 例例7 7.)1()(32的单调区间的单调区间确定确定xxxf 的的零零点点为为 325)(3xxxf ).,(fD的的单单调调性性列列表表如如下下：的的符符号号与与将将 ff

9、x(-,0)0(0,2/5)2/5(2/5,+)f+不存在-0+f 连续 连续 上上单单调调增增。上上单单调调减减；在在上上单单调调增增；在在在在),5252 0,0 ,(f解解。不不存存在在的的点点为为，0 52例例8 8解解.1)1()(2的的单单调调区区间间确确定定 xxxxf).(1,1),(fD,2)()(2xxxfD 局部性局部性上上在在。零零点点为为 0 的的单单调调性性列列表表如如下下：的的符符号号与与将将 ff x(-,0)0(0,1)(1,+)f-0+f 连续 上上单单调调增增。上上单单调调增增；在在上上单单调调减减；在在在在),1()1 0,0 ,(f 上上单单调调增增？

10、在在问问：)0,f四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.思考题思考题设设)(xf在在),(ba内内二二阶阶可可导导，且且0)(0 xf，其其中中),(0bax ，则则,(0 x)(0 xf是是否否一一定定为为曲曲线线)(xf的的拐拐点点？举举例例说说明明.思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不不一一定定是是拐拐点点.例例4)(xxf),(x0)0(f但但)0,0(并并不不是是曲曲线线)(xf的

11、的拐拐点点.第五节第五节 函数作图函数作图一、渐近线定义定义:,)(沿着曲线移向无穷点时上的一动点当曲线Pxfy 1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x)(lim)(lim00 xfxfxxxx或如果,的距离趋向于零到某定直线如果点LP.)(的一条渐近线就称为曲线那么直线xfyL.)(0的一条铅直渐近线就是那么xfyxx例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:.3,2 xx2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x)()(lim)(lim为常数或如果bbxfbxfxx例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条

12、有水平渐近线两条:.2,2 yy.)(的一条水平渐近线就是那么xfyby3.3.斜渐近线斜渐近线),(0)()(lim0)()(lim为常数或如果babaxxfbaxxfxx斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy .)(的一条斜渐近线就是那么xfybaxy注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx,)(lim,)(lim)2(不不存存在在但但存存在在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的的渐渐近近

13、线线求求 xxxxf解解).,1()1,(:D )(lim1xfx,)(lim1xfx,.1是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx,2 21)3)(2(2limxxxxx1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx,4.42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy的的两两条条渐渐近近线线如如图图1)3)(2(2)(xxxxf二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确确定定函函数数)(xfy 的的定定义义域域,对对函函数数进进行行奇奇偶偶性性、周周期期性性、曲曲线线与与坐坐

14、标标轴轴交交点点等等性性态态的的讨讨论论,求求出出函函数数的的一一阶阶导导数数)(xf和和二二阶阶导导数数)(xf;求出方程求出方程0)(xf和和0)(xf 在函数定义在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论）；可列表进行讨论）；第四步第四步 确定函数图形的

15、水平、铅直渐近线、斜确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)(xf和和0)(xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.三、作图举例例例2 2.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解,0:xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf ,0)(xf令令,2 x得得驻驻点点,0)(xf令令.3 x得特殊点得特殊点2)1(4lim)(

16、lim2 xxxfxx,2 ;2 y得得水水平平渐渐近近线线2)1(4lim)(lim200 xxxfxx,.0 x得铅直渐近线得铅直渐近线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3)926,3(:补补充充点点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC2)1(4)(2 xxxf.)(,)(32间间和和拐拐点点和和极极值值点点，以以及及凹凹凸凸区区增增

17、减减的的区区间间求求、设设例例xfexfyx ），由由，解解：函函数数的的定定义义域域为为（;0,0212 xyxeyx得得驻驻点点及及22,0),12(23,222 xyxeyx得得及及-2-1120.20.40.60.81x),22()22,0(0)(xf )(xf 00凹、降凹、降凸、降凸、降拐点拐点22)(xf 极大极大值值 212 e2 x)(xf )(xf)(xf )22,(0拐点拐点22 212 e )0,22(002 凹、凹、升升凸、凸、升升例例3 3.21)(22的的图图形形作作函函数数xex 解解),(:D偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.,2)(22xexx

18、,0)(x令令,0 x得驻点得驻点,0)(x令令.1,1 xx得得特特殊殊点点.4.021)(0:xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex ,0.0 y得水平渐近线得水平渐近线x)1,(),1()0,1(1)1,0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21,1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21,1(e xyo11 212221)(xex 例例4 4.1)(23的的图图形形作作函函数数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()

19、(xxxf).13(2)(xxf,0)(xf令令.1,31 xx得得驻驻点点,0)(xf令令.31 x得得特特殊殊点点:补补充充点点),0,1(A),1,0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:x)31,(),1()31,31(31)1,31(0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf)(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C11 3131 123 xxxy四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导是导数应用的综合考察

20、数应用的综合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 思考题思考题 两两坐坐标标轴轴0 x，0 y是是否否都都是是函函数数xxxfsin)(的的渐渐近近线线？思考题解答思考题解答0sinlim xxx0 y是是其其图图象象的的渐渐近近线线.0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线.1sinlim0 xxxxxysin 一、一、填空题：填空题：1 1、若函数若函数)(xfy 在在（ba,）可导，则曲线）可导，则曲线)(xf在在(ba,)内取凹的充要条件是内取凹的充要条件是_._.2 2、曲线上曲线上_的点，称作曲线的拐点

21、的点，称作曲线的拐点.3 3、曲线曲线)1ln(2xy 的拐点为的拐点为_._.4 4、曲线曲线)1ln(xy 拐点为拐点为_._.二、二、求曲线求曲线xeyarctan 的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间.三、三、利用函数图形的凹凸性，证明不等式：利用函数图形的凹凸性，证明不等式：22yxyxeee )(yx .四、求曲线四、求曲线 2sin2cot2ayax的拐点的拐点.练练 习习 题题五、五、试证明曲线试证明曲线112 xxy有三个拐点位于同一直线有三个拐点位于同一直线上上.六、六、问问a及及b为何值时，点为何值时，点(1,3)(1,3)为曲线为曲线23bxaxy 的拐点？的拐点？七、七、

22、试决定试决定22)3(xky中中k的值的值,使曲线的拐点处使曲线的拐点处的法线通过原点的法线通过原点.一、一、1 1、),()(baxf在在 内递增或内递增或0)(),(xfbax；2 2、凹凸部分的分界点；、凹凸部分的分界点；3 3、2,(),2),2,2(2e；4 4、)2ln,1(),2ln,1(.二、拐点二、拐点),21(21arctane,在在21,(内是凹的内是凹的,在在),21内是凸的内是凸的.四、拐点四、拐点)23,332(aa及及)23,332(aa.五、五、).)32(431,32(),)32(431,32(),1,1(练习题答案练习题答案-224-1.5-1-0.50.5

23、六六、29,23 ba.七七、82 k.第五题图第五题图 一、一、填空题：填空题：1 1、曲线曲线xey1 的水平渐近线为的水平渐近线为_._.2 2、曲线曲线11 xy的水平渐近线为的水平渐近线为_，铅直渐近线为铅直渐近线为_._.二、二、描出下列函数的图形：描出下列函数的图形：1 1、xxy12 ；2 2、22)1(xxy；3 3、xysinln.三、求曲线三、求曲线xxy1 的渐近线并画图的渐近线并画图.练练 习习 题题一、一、1 1、1 y；2 2、1,0 xy.练习题答案练习题答案xy392311oxy1 321o3223 1图图2图图二、二、xyo 3图图 2 3 2 三、三、.0;xxy铅铅直直渐渐近近线线斜斜渐渐近近线线xy1 o 1