向量及向量加减法(教师)

《向量及向量加减法(教师)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量及向量加减法(教师)（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、学习目的：1. 理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；2. 理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3. 了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间 平行（共线）、相等的关系；4. 通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清 楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力.5掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四 边形法则作两个向量的和向量；6掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；7明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向 量；8在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向 量的计算，将数和形有机结合，并能利用

2、向量运算完成简单的几何证 明；9通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量 的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思 想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于 向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科 之间的联系，提高学生的应用意识学习内容:向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理 的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相 通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段 实际上向量就是用有向线段表示的.学习难点:向量的加法运算一、向量的概念向量:既有大小又有方向的量通常用有

3、向线段 鬼表示，其中A 为起点，3为终点，显然 卞与孟表示不同的向量；有向线段爲的长 度表示向量的大小，用丨瓮丨表示，显然总鬥韵，既有向线段的起、 终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小.注意：向量席的长度丨鬼丨又称为向量的模；长度为0的向量叫 做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向 量平行平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共 线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相 等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关.二、向量的加法1向量加法的平行四边

4、形法则平行四边形ABCD中，向量的和为 X.记作：=AC.2向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有：富=忙，既在AADC中，怎十rc ,首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的 终点.、 八、规定:零向量与向量 肿的和等于AB.三、向量的减法向量鬼与向量二叫做相反向量.记作:龙一孟.则AECD =AB +DC，既用加法法则来解决减法问题.例题选讲第一阶梯例1判断下列命题的真假： 直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； 两个向量平行是两个向量相等的必要条件； 向量忑与无是共线向量，则A、B、D必在同一直线上； 向量也与向量&平行，贝临与母的方向相同或相反; 四边形EQQ是平行四

5、边形的充要条件是石=帀分析： 判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目 解： 直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大 小之分，故命题是错误的 由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致, 故这两个向量一定平行，所以，此命题正确； 不正确.I 虫占与GD共线，可以有的 与GD平行； 不正确.如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定； 正确.此命题相当于平面几何中的命题：四边形是 平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等例2下列各量中是向量的有.A、动能 B、重量 C、质量 D、长度 E、作用力 与反作用力 F、温度分析： 用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物

6、理量实际意 义的认识.解:A, C, D, F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方 向，故为向量.例3命题“若川方，方，贝y川& ” （）A.总成立 B.当工0时成立 C.当AO时成立D.当ex。时成立分析：这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件. 零向量与其他任何非零向量都平行，.当两非零向量比、左不平行而 ,0时，有川方，血佻，但这时命题不成立，故不能选择A,也不能 选择B与D，故只能选择C.答案：C第二阶梯例1如图1所示，已知向量Q、h、c ，试求作和向量a+b+c分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与

7、另一个向量的和.即先作区+亡，再作S+d+占解：如图2所示，首先在平面内任取一点。，作向量刃n,再作 向量石乂，则得向量亦n+g然后作向量託，则向量 OC = abc即为所求.例2化简下列各式亦刃+瓦；-亦+亦-亦-丽分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法是利用几何方法通 过作图实现化简；是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向 量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时 也需将一个向量拆分成两个或多个向量解：(1) 原式二石无亠丙M石氏？尸刃M旋刃M応6(2) 原式二丑十OF _ (0D十DOj =(丑0十0月)- 5 = EF例3用向量方法证明：对角线互相平分的四边形

8、是平行四 边形分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相 等由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等 向量（需首先将命题改造为数学符号语言）已知：如图3, ABCD是四边形，对角线AC与BD交于0,且AO=OC，DO=OB求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：由已知得O=OC7BO = OD-AD = M + OD = +lv = l + C = BC，且 A, D, B, C 不在同一直线上，故四边形ABCD是平行四边形.第三阶梯例 1列命题:1）单位向量都相等；2)卄 =_ 右朋皿，贝寸 IaeHct)Iabcd ；若ABCD为平行四边形，则 ：cd ；4)

9、卄 T=T T = n.右朋 3弋口 ER , 贝甘 AB丽.其中真命题的个数是（ ）A、0B、1C、2D、3解:（1）不正确.单位向量的长度相等,但方向不一定相同；（2）,-tr -3 一,不正确.可能在同一条直线上；（3）不正确.平行四边形ABCD中，島=忙=-金；（4）正确.满足等量的传递性.选B.例2若0为正三角形ABC的中心，则向量是（）A、有相同起点的向量 B、平行向量 C、模相等的向量D、相等的向量解：爲与汕京的起点不同，不平行也不相等.由正三角形的性质:例3某人向东走3km，又向北走3km，求此人所走路程和位移.解:此人所走路程:|AB| + |BC|=6km.此人的位移:力二

10、鬥前=3忑皿例4用向量证明对角线互相平分的平面四边形是平行四边形已知:证明：T AO OCAOOC? DOOB , 由加法法则：AS _ - _ DO GB，求证:ABCD为平行四边形.AO 0B? DC DO OC ,瓮=建，即线段AB与DC平行且相等,共线时，I仃 I _ IbC I SC T_ bcABCD为平行四边形.例5非零向量盂金中，试比较Iab bc abbc的大小.解:（1） 弱勺招时，丨 爲耳韵时，I（2）磊与二不共线时,=T 十=AB BC AB BC AC ,f -即 Ijw BC I - Ise I ,综上：AE BC I-I.4B l_ lcl课外练习:1若两个向量不

11、相等，则这两个向量（ ）.A、不共线B、长度不相等C、不可能均为单位向量D、不可能均为零向量2. 四边形RSPQ为菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向 量是（ ）.A、 靠与羔B、 羔与石C、 益与示D、 益与賠3. “两个向量共线”是“这两个向量相等”的（ ）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4. 0是四边形ABCD对角线的交点，若oado =co +ob，则四边形 ABCD 是（ ）A、等腰梯形 B、平行四边形 C、菱形 D、矩形5 .若0是A ABC内一点，二十器oc = ,则0是A ABC的（）.A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心6. AA

12、BC 中，肿=（）.A、 BU C/4 B、 WC 加丿 C、04 D、 CA BC7. 平行四边形ABCD中，E、F为AB，CD中点，图中7个向量中,与龙相等的向量是；与建相等的向量是；与盖平行的向量是.；与a平行的向量是.8.已知:首尾相接的四个向量T T TAEC求证：爲十二十盖十金= 0.S参考答案:1. D2. B3. B4. B5. D6. B7. 时苗 EEHD FC8. 证明:J鬼十二況测试选择题1. 已知向量a=（3,m）的长度是5,则m的值为（）.A、4 B、-4 C、4 D、162. 下面有四个命题：（1）向量 朋的长度与向量抽的长度相 等.（2）任何一个非零向量都可以平

13、行移动.（3）所有的单位向量都相等.（4）两个有共同起点的相等向量,其终点必相同.其中真命题的个数是（）.A、4B、3C、2D、13在下列命题中,正确的是（）.A、若丨乡|卞|,则分卞 B、|弋| = |卞| ,则 分C、若&二臼，则 与 共线 D、若&工臼，则 一定不与：共线4下列说法中错误的是( ).A、零向量是没有方向的B、零向量的长度为0C、零向量与任一向量平行D、零向量的方向是任意的5. 如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，则和爲相等的向量的个数是().A、1个B、2个C、3个D、4个答案与解析答案：1、C2、B3、C4、A5、B解析：1.答案：C.因为a=hrn1 =:5所以

14、启=16,陀42.答案:B.对.因为盖与腐是指同一条线段，因此长度相等(2) 对.这是由相等向量推导出的结论.(3)错.因为单位向量只 要求模长等于1，方向不作要求，因此不一定相等.(4)对.因为相 等向量可以经过平移至完全重合.解决本题的关键是熟练掌握有关基 础知识.3. 答案：C. A错.因为向量有大小和方向两个要素.无法比较 大小.B错.相等向量不仅要模长相等，方向也要相同.C对.相等 向量方向一定相同，因此共线.D错.因为向量不相等，可能仅由于 模长不等，方向仍可能是相同的，所以分与有共线的可能.4. 答案：A.零向量是规定了模长为0的向量.零向量的方向没 有规定，是任意的，可以看作和

15、任一向量共线零向量绝不是没有方 向5. 答案：B.根据向量相等的条件.向量重点难点了解向量可以根据需要自由平移的特点是今后运用向量方法解 决问题的前提条件之一，也因此，平行向量也叫共线向量要根据向 量的有关概念从图形中找出相等的向量和共线的向量因此，要加强 训练观察一些常见图形以下三个问题上常出现错误：一是用表示向量的有向线段的起点 和终点的字母表示向量时，一定注意搞清字母顺序，起点在前，终点 在后，例如 気与腐是大小相同，方向相反的两个向量，二是零向 量的方向是任意的，而不是没有方向，因此有关零向量的方向问题一 般要注意规定，例如命题：金与 分共线，金与了共线，了与 了共线，是错误的，因为零

16、向量的方向是任意的，故芳与?的方 向没有任何关系，因此也无法判断是否共线，三是注意区别平行向量 与平面几何中直线平行的概念，前者相当于两直线位置关系中的平行 和重合两种情况，例如错误地认为平行向量不可能是共线向量，其实 这两个概念是同一个概念.典型题目例1下列说法中正确的是( ).A、向量予与向量血共线，向量血与向量 *共线，则向量 乡与向量京共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四 个顶点C、向量 乡与了不共线，则 芳与了所在直线的夹角为锐角D、始点相同的两个非零向量不平行答案：A点评：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是 可以传递的共线向量等同于平行向量，

17、既可平行也可在同一直线上. 而相等向量是共线的，故B中四点可能在同一直线上，向量不共线， 仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，而选项D中向量 是否共线与始点位置无关例2 “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的( )条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要答案：B点评：向量共线即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反 之不成立例3下面有四个命题：(1)向量的模是一个正实数(2)两个向量 平行是两个向量相等的必要条件(3)若两个单位向量互相平行，则 这两个单位向量相等(4)温度含有零上温度和零下温度，所以温度 是向量，其中真命题的个数为( )A0 B1 C2

18、D3答案：B点评：只有(2)是正确的，因为两个向量平行只是指这两个向量 在方向上是相同或相反的方向相反则不可能是相等向量即使方向 相同，对于大小也没有要求，依然无法判定两个向量是否相等而两 个相等向量的方向一定相同，必是平行向量(1)错在向量的模是表 示向量的有向线段的长度，零向量的模为零因此向量的模是一个非 负实数(3)错在两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反， 因此这两个向量不一定相等(4)错在温度的零上零下也只是表示数 量向量既要有大小又要有方向常见的向量有力、速度、位移、加 速度等正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个 要素人手区分其它有关概念例4 一辆汽车从A点

19、出发向西行驶了 100公里到达B点，然后 又改变方向向西偏北50走了 200公里到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100公里到达D点.(1)作出向量 逼、岛窪 求|花答案：见图.由题意，易知君与誌方向相反，故応与皿共线，又在四边形ABCD中，AB MCD，四边形ABCD为平行四边形，二,总鬥胡=200公里.点评：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的 方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.例5 个人从A点出发沿东北方向走了 100米到达B点.后改 变方向沿南偏东15又走了 100米到达C点，求此人从C点走回A 点的位移解：如图，根据题意知AABC为等边三角形，故Za=15，|

20、肓 |=100,此人从C点走回A点的位移茗，大小为100米，方向为 西偏北15检测题1. 在下列各命题中，为真命题的有（）（1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（2）温度有零上温度和零下温度因此温度也是向量（3）方向为南偏西60的向量与方向为北偏东60的向量 是共线向量（4）坐标平面上的x轴和y轴都是向量A.1 个B.2 个C.3 个D. 4 个2. 已知a、b、c是三个非零向量，则|a+b+c| = |a| + |b| + |c的充要条件是（ ）C. a、c同方A. a、b同方向B. b、c同方向向 D. a、b、c同方向3. 下列命题中，正确的是（B.A.讨=四=方D.C. a =

21、b=ab|a| = 0=a =04. 下列各命题中假命题的个数为（ 向量石的长度与向量為的长度相等. 向量也与向量方平行，贝临与西的方向相同或相反. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同. 两个有共同终点的向量，一定是共线向量. 向量忑与向量皿是共线向量，贝y点虫、占、门必在同 一条直线上. 有向线段就是向量，向量就是有向线段A.2B.3C.4D.55. 在下列各结论中，正确的结论为（） 两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件； 两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件； 两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件； 两向量方向相反且模不相等是这两个向量

22、不相等的充分不 必要条件A.、B.、C.、D.、6判断下列命题真假（1）平行向量一定方向相同（2）共线向量一定相等（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向 量（4）不相等的向量，则一定不平行_5（5）非零向量的单位向量是k .7.若三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形，则 狂+方+芒 =。8 .设ABCDEF为一正六边形，忑 F盂=找，则疋二9. 化简：（AE-CD）-（AC-BD）=10. 如图所示，用两根绳子把重10kg的物体W吊在水平杆子AB上，网七0上月聘=1刘，则A和B处所受力的大小（绳子 的重量忽略不计）分别是。答案1、B2、D3、4、5、6、（1）假命题 （2）假命题 （3）真命题4）假命题 （5）真命题7、08、喘* 9、010、5kg, 5kg