向量基本定理

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1、二、平面向量基本定理及坐标表示(134、叭亍3丿1平面向量基本定理如果 e1、e2 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a, 一对实数人、久2，使。=人勺+久2勺.其中，不共线的向量ee2叫做表示这一平面内所有向量的一组二2平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模设a=(X, y1), b = (x2，y2)，贝9a+b=，a_b=，Aa=， lai=.(2) 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 Ag, y1)，B(x2, y2)，贝AB=, lABl=.3. 平面向量共线的坐标表示设 a=(X, y1), b = (x2，y

2、2),其中 bMO.a、b 共线o.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ()若 a, b 不共线，且 A1a+1b=A2a+jw2b,则人=久2，=2.()(3) 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示. ()若a=(X,，i),=(X2，2)，则ab的充要条件可表示成：=/.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标. ()考点自测快速解答自查自纠题型分类深度剖析题型一 平面向量基本定理的应用例 1(1)在梯形 ABCD 中，ABCD, AB=2CD,

3、 M, N 分别为 CD,BC的中点，若Ab=;AM+An，则久+等于()1234A.5 B.5 C.5 D.5 (2)如图，在ABC 中，AN=*NC, P 是 BN上的一2点，若AP = mAB + AC ,则实数m的值为思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边 形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决跟踪训练1(1)在平行四边形ABCD中，AB=e1，AC=e2, NC=1AC,丽二1,贝贝MN=.(用e1，e2表示)(2)如图，已知AB=a

4、, AC=b, BD = 3DC，用 表 示AAD，则AAD题型二 平面向量的坐标运算例 2 (1)已知 a= (5，2)， b= (4， 3)，若 a2b+ 3c= 0，则 c 等于()心3) B.(号，3丿C(2)已知点A(1,3), B(4,1)，则与向量AA同方向的单位向量坐标为(2)已知梯形ABCD,其中ABH CD，且DC=2AB，三个顶点A(1,2),B(2,1), C(4,2)，则点D的坐标为.命题点 2 利用向量共线求参数1. 设e1, e2是平面内一组基底，那么()A. 若实数久1，久2使久1纟1+久2纟2 = 0，则久=久2 = 0B. 空间内任一向量a可以表示为a=A1

5、e1+A2e2(A1，久2为实数)C. 对实数A1，久2，1e1+A2e2不一定在该平面内D. 对平面内任一向量a,使a=A1e1+A2e2的实数人，久2有无数对2. 已知向量a=(2,3), b = ( 1,2),若ma+nb与a2b共线，则严=3. 在口ABCD 中，AC 为一条对角线，AB=(2,4), AC=(1,3),则向量BD的坐标为.n4. 设 OV02，向量 a=(sin 20, cos 3), b = (cos 3, 1),若 ab，则 tan 3=.5. (教材改编)已知口ABCD 的顶点 A(1,2), B(3,1), C(5,6),则顶点 D 的坐标为.答案 (1,5)

6、思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计 算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过 程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则跟踪训练2 (1)已知点a( 1,5)和向量a=(2,3), 若AB=3a,则点B的 坐标为()A. (7,4) B. (7,14) C. (5,4) D. (5,14)在AABC中，点P在BC 上,且BP=2PC,点Q是AC的中点，若PA= (4,3), PQ=(1,5),则BC等于()A. (2,7) B. (6,21)C. (2,7) D. (6,21)题型三 向量共线的坐标表示命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标例 3

7、(1)已知平面向量a = (1,2), b = (2, m),且ab,则 2a+3b =例 4 若三点 A (1 ，5) ，B ( a ，2) ，C ( 2， 1)共线，则实数 a 的 值为命题点 3 求交点坐标例 5 已知点 A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为A.B.C.D.2.已知平面向量a=(1,1), b=(1,1)，则向量尹一尹等于()A.3.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略A.(2,1) B. (2,1) C. (1,0) 已知 a=(1,1), b = (1,1), c=(1,2),1 130, b0,

8、 O为坐标原点，若A, B, C三点共线，贝吋+b的最小值为思想与方法系列5. 已知iOAi=1, iOBi=V3, OAOB=o,点 c在zaob 内，且OC与OA的夹角为30,设OC=mOA+nOB(m, nR)，贝的值为()5 A. 2 B.q C. 3 D. 46. 已知 A(7,1), B(1,4),直线 y=|ax 与线段 AB 交于点 C, 且AC=2Cb,则实数a=7. 已知点 A(1,2), B(2,8), AC=3Ab, DA=*BA，则CD的坐标为11解析法(坐标法)在向量中的应用()A. 2 B. 2 C.1d2典例(12分)给定两个长度为1的平面向量OA和 OB,它们

9、的夹角为竽如图所示，点c在以o为 圆心的AB上运动.若OC=xOA+yOB，其中x,yWR,求x+y的最大值.思想方法感悟提高方法与技巧1 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向 量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算 的关键2根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标 或参数值失误与防范1要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含向量大小和方向两 种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况8. 已知向量OA = (3, 4), OB = (0, 3), OC=(5m, 3m),若点A, B, C能构成三角形，则实数m满足的

10、条件是.9. 已知 A(1,1), B(3,1), C(a, b).(1)若A, B, C三点共线，求a, b的关系式； (2)若Ac=2Ab,求点c的坐标.10.已知点 O 为坐标原点，A(0,2), B(4,6), OM=tOA+t2AB.(1) 求点 M 在第二或第三象限的充要条件；(2) 求证：当t1 = 1时，不论t2为何实数，A, B, M三点共线.B 组 专项能力提升(时间：15分钟)m11.已知向量 a=(2,3), b = (1,2)，若(ma+nb)(a2b),则一等于 n12.已知两点A(1,0),B(1,1),O为坐标原点，点C在第二象限，且ZAOC=135，设OC=O

11、A+久OBqwr)，则久的值为则alb的充要条件不能表示成十=十，x2 y22.若a=(x1，y1), b = (x2, y2)13. 已知ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m,使得AB因为x2， y2有可能等于0,所以应表示为x1y2x2y1 = 0.A 组 专项基础训练(时间：35 分钟)1如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组：AD与AB；DA与BC；CA与DC；OD与OB.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()+AC=mAM成立，则 m=.14. 如图所示, A, B, C 是圆 O 上的三点,线 段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一 点D,若OC=mOA+nOB，则m+n的取值范围 是.15. 将等腰直角三角板ADC与一个角为30的直角三角板ABC拼在一起组成如图所示的平面四边形ABCD,其中ZDAC=45,ZB = 30.若DB=xDA+yDC，则 xy 的值