定积分在几何上的应用课件

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1、 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用二、体积二、体积一、一、平面图形的面积平面图形的面积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用1.直角坐标情形直角坐标情形xbaoy)(xfy xxxd xxfAd)(d xxfAbad)(设曲线设曲线)0()(xfy)(,babxax 及及 x 轴所轴所围曲边梯形面积为围曲边梯形面积为 A.取取 x 为积分变量，其变化区间为为积分变量，其变化区间为a,b，取任一小区间，取任一小区间 x,x+dx,从而从而此区间的窄曲边梯形面积可以由底为此区间的窄曲边梯形

2、面积可以由底为dx、高为高为 f(x)的窄矩形面积的窄矩形面积 f(x)dx 近似表示近似表示,所以面积元素为所以面积元素为 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用).1,1(),0,0(两两曲曲线线的的交交点点为为2 d()dAxxx 故故面面积积元元素素xxxAd)(210 从从而而10333223 xx31.22的的图图形形的的面面积积所所围围成成和和计计算算由由两两条条抛抛物物线线xyxy ,1,0 ,xx为积分变量为积分变量选选解解:例例1.1.相应于其间任一区间相应于其间任一区间 x,x+dx 的窄条面积近似等于底为的窄条面积近似等于底为dx,高为高为 的窄矩形面积的窄矩形面

3、积2xx xxy 2oy2xy xxxd)1,1(1 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用xxy22oy4 xy解解:得交点得交点)4,8(,)2,2()4,8(计算抛物线计算抛物线xy22 与直线与直线的面积的面积.4 xy 所围图形所围图形)2,2(为简便计算为简便计算,选取选取 y 作积分变量作积分变量,则则 y 的变化区间为的变化区间为 2,4.yyyd例例2.2.422xyxy由由yyyAd24d2 相应于任一区间相应于任一区间 y,y+dy 的窄条面积近似等于底为的窄条面积近似等于底为dy,高为高为 242yy 的窄矩形面积的窄矩形面积,从而从而 上页 下页 返回 结束 定

4、积分在几何上的应用yyyAd)24(d2 18 221y y4 42361 yyyyAd)24(422 故故思考思考:为什么此处选取为什么此处选取 y 为积分变量为积分变量?xxy22oy4 xy)4,8()2,2(yyyd 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用由对称性知总面积等于第一象限部分面积的由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4 倍倍 axyA0d4 02)cos(dsin4tatbttabdsin4202 ab.12222的的面面积积求求椭椭圆圆 byax20 sincos ttbytax解：解：例例3.3.abxoyxxxd椭圆的参数方程为椭圆的参数方程为xyAd d 面

5、积元素为面积元素为或将或将)1(222axby 代入求积分也可代入求积分也可.取取 x 为积分变量，其变化区间为为积分变量，其变化区间为 0,a.上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用2.2.极坐标系的情形极坐标系的情形,0)(,)(C设设求由曲线求由曲线)(及及 ,射射线线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积.)(x d在区间在区间,上任取小区间上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d)(21)(2dd22 A所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为 d)(212 A 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用 对应对应 计

6、算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:)0(aa xa 2o d从从 0 变到变到 2 所围图形面积所围图形面积.,2,0的变化区间为的变化区间为,d)(21d2 aA 面积元素面积元素于是所求面积为于是所求面积为 d2 2022 aA203232 a 3234a 例例4.4.上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用,d)cos1(21d22 aA利用对称性知利用对称性知223a 022d)cos1(212 aA 022d)coscos21(a022sin41sin223 a.)0()cos1(面面积积图图形形的的所所围围平平面面求求心心形形线线 aa 解解:例例5.5.xa2o d 上页

7、下页 返回 结束 定积分在几何上的应用二、体积二、体积1.旋转体的体积旋转体的体积圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体线旋转一周而成的立体.直线叫做旋转轴直线叫做旋转轴.上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用上上任任在在,babax:)(,求求法法如如下下一一周周而而成成的的立立体体的的体体积积轴轴旋旋转转轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕及及、线线直直、线线如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲一一般般地地xxbxaxxfy ,x取取积积分分变变量量为为,d,xxx 取取小小区区间间xdxx

8、 xyo)(xfy 旋转体体积求法旋转体体积求法即即的的体体积积为为高高的的圆圆柱柱体体为为底底半半径径体体积积元元素素取取成成以以 ,d ,)(xxfxxfVd)(d2 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用旋转体的体积为旋转体的体积为.d)(2xxfVba .d)(2yyVdc 则则其其体体积积为为轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕以以及及直直线线线线如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲 ,),(yydycyyx 类似地，类似地，xyo)(yx cd 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用.,.,),(计计算算圆圆锥锥体体的的体

9、体积积的的圆圆锥锥体体高高为为个个底底半半径径为为轴轴旋旋转转构构成成一一将将它它绕绕轴轴围围成成一一个个直直角角三三角角形形以以及及直直线线的的直直线线以以及及连连接接坐坐标标原原点点hrxxhxrhPO,xhry ,0,hxx 取取积积分分变变量量为为的的方方程程为为注注意意到到直直线线 OP,d,0 xxxh 上上任任取取小小区区间间在在解解:例例6.6.yrhPoxx 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用xxhrVdd2 xxhrVhd20 hxhr03223 .32hr 圆圆锥锥体体的的体体积积yrhPxo即即的体积的体积为高的圆柱体为高的圆柱体为底半径为底半径体积元素为体积

10、元素为 ,d ,xxhr 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用.12222的的体体积积旋旋转转一一周周而而成成的的旋旋转转体体轴轴所所围围成成的的图图形形绕绕计计算算椭椭圆圆xbyax .22成成的的立立体体轴轴旋旋转转一一周周而而轴轴围围成成的的图图形形绕绕及及看看作作是是由由半半个个椭椭圆圆这这个个旋旋转转椭椭球球体体也也可可以以xxxaaby .,aax 其变化区间为其变化区间为为积分变量为积分变量取取解解:例例7.7.d ,d,22的的圆圆柱柱体体的的体体积积高高为为近近似似于于底底半半径径为为体体积积的的薄薄片片的的任任一一小小区区间间xxaabxxx 上页 下页 返回 结束

11、 定积分在几何上的应用,d)(d2222xxaabV 即体积元素即体积元素于是旋转椭球体的体积为于是旋转椭球体的体积为.34d)(22222abxxaabVaa .34,3aaba它它的的体体积积为为的的球球体体为为旋旋转转椭椭球球体体就就成成了了半半径径时时当当 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用xyoa2xyVaxd220 2022d)cos1()cos1(ttata 20323d)coscos3cos31(tttta325a.0)cos1(),sin(的的旋旋转转体体的的体体积积轴轴旋旋转转构构成成轴轴和和所所围围成成的的图图形形分分别别绕绕与与的的一一拱拱求求摆摆线线yxyt

12、ayttax 轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体的的体体积积绕绕 x解解:例例8.8.上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用yyxVayd)(2202 yyxad)(2201 222dsin)sin(ttatta 022dsin)sin(ttatta 2023dsin)sin(tttta.633a.积积之之差差轴轴旋旋转转构构成成的的旋旋转转体体体体分分别别绕绕与与体体积积可可看看作作平平面面图图形形轴轴旋旋转转所所得得的的旋旋转转体体的的绕绕yOBCOABCyoyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx )cos1()sin(tayttax 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用2

13、.2.平行截面面积已知的立体的体积平行截面面积已知的立体的体积,d)(dxxAV .d)(baxxAV立立体体体体积积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算体积也可用定积分来计算.,)(面面面面积积轴轴的的截截且且垂垂直直于于表表示示过过点点xxxA,)(的已知连续函数的已知连续函数为为xxAxxyo)(xfy 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用xyoabxyoab)(xfy 特别特别,考虑连续曲线段考虑连续曲线段2()f x轴轴绕绕

14、 xbxaxfy)()(xd baV考虑连续曲线段考虑连续曲线段)()(dycyx 2()y yd dcVxxoy)(yxcdy绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积轴旋转一周围成的立体体积为为轴旋转一周围成的立体体积为轴旋转一周围成的立体体积为 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用,222Ryx 底底圆圆方方程程为为.,立立体体的的体体积积求求这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得与与底底面面交交成成角角并并的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心一一平平面面经经过过半半径径为为 R,轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形垂垂直直于于 x解解:例例9.9.oRxyx)(xA截截面面面面积积x

15、xRVRRd tan)(21 22 故故立立体体体体积积 tan323R tan)(2122xR tan21yy 如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系.上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用22221)(xRhhyxA 截截面面面面积积xxRhVRd2 022 故故立立体体体体积积hR221.的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积高高为为的的线线段段为为顶顶、直直径径底底圆圆的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于求求以以半半径径为为hR.取取坐坐标标系系如如图图,222Ryx 底圆方程为底圆方程为,轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形垂垂直直于于x解解:例例10.10.xyoRx 上页 下

16、页 返回 结束 定积分在几何上的应用三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长xoy0MA nMB 1M2M1 nM在在弧弧上上插插入入分分点点两两个个端端点点是是曲曲线线弧弧上上的的、设设,BA,110BMMMMMAnni niiiMM11并依次连接相邻分点得一内接折线，并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加且每个小弧段都缩向一点时，若折线的长若折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长，的弧长，并称并称 是可求长的是可求长的.ABAB定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.上页 下

17、页 返回 结束 定积分在几何上的应用xoyabxxxd yd,d1)d()d(222xyyx 小切线段的长小切线段的长,d1d2xys 弧弧长长元元素素.d12xysba 弧弧长长1.1.直角坐标系情形直角坐标系情形.,)(),()(上上有有一一阶阶连连续续导导数数在在其其中中设设曲曲线线弧弧为为baxfbxaxfy ,d,xxxbax 任任取取小小区区间间上上在在取取积积分分变变量量为为,替替小小弧弧段段的的长长以以对对应应小小切切线线段段的的长长代代弧长的计算弧长的计算 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用,21xy 因为因为xxsd)(1d221 所所以以,d 1xx 所求弧长为

18、所求弧长为xxsbad 1 )1()1(322323ab .32 23一一段段弧弧的的长长度度的的到到从从点点上上相相应应于于计计算算曲曲线线baxxy 解解:例例11.11.abbax)1(3223 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用,)()()(给给出出设设曲曲线线弧弧由由参参数数方方程程 ttytx22)d()d(dyxs 222)d)()(ttt tttd )()(22 .d)()(22ttts 所所以以弧弧长长.,)(),(上上具具有有连连续续导导数数在在其其中中 tt2.2.参数方程情形参数方程情形 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用.)20()cos1(),s

19、in(的的长长度度的的一一拱拱计计算算摆摆线线 ayaxa2oa2xy 弧长元素为弧长元素为 d sin)cos1(d2222aas d 2sin 2d)cos1(2aa 从而从而,所求弧长所求弧长 2020d2sin2d 2sin 2 aas解解:a8 例例12.12.上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用),()(曲曲线线弧弧为为),(sin)(cos)(yx写写成成注注意意到到可可将将极极坐坐标标方方程程.,)(上上具具有有连连续续导导数数在在其其中中 3.3.极坐标系情形极坐标系情形ox)22)d()d(dyxs 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用22)d()d(dyxs 所所以以 d )()(22 d )()(22 s弧弧长长 d sin)(cos)(d x d cos)(sin)(d y sin)(cos)(yx 上页 下页 返回 结束 定积分在几何上的应用,a 因为因为 d )()(22 s所所以以 )412ln(2141 22a 20 d222aa 20a d 12.20)0(的的弧弧长长到到从从上上相相应应于于求求阿阿基基米米德德螺螺线线 aa解解:例例13.13.xa2o a 2022)1ln(2112 a