5流体力学第五章量纲分析与相似原理ppt课件

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1、卢志民第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理本章重点掌握：v了解物理量的基本量纲和导出量纲，量纲性质了解物理量的基本量纲和导出量纲，量纲性质.v理解相似原理的三个基本定理的内容和意义，理解力学理解相似原理的三个基本定理的内容和意义，理解力学相似的概念；相似的概念；v掌握量纲分析方法瑞利法、掌握量纲分析方法瑞利法、定理）；定理）；v掌握用力学相似定义推导相似准则；掌握用力学相似定义推导相似准则；v掌握用掌握用定理简化函数关系，用定理简化函数关系，用定理导出相似律定理导出相似律v相似理论及其应用相似准则、模型实验设计）相似理论及其应用相似准则、模型实验设计）SI制中的基本量纲：制中的基

2、本量纲：一、量纲与物理方程的量纲齐次性一、量纲与物理方程的量纲齐次性物理量的量纲物理量的量纲导出量纲：用基本量纲的幂次表示。导出量纲：用基本量纲的幂次表示。dim m=M ,dim l=L ,dim t=T 物理量物理量大小大小类别类别导出量纲导出量纲工程单位制工程单位制国际单位制国际单位制英英 制制量纲量纲基本量纲基本量纲量纲幂次式量纲幂次式单位制单位制长度长度长度长度时间时间dim m=M ,dim l=L ,dim t=T 质量质量应变率应变率 角速度，角加速度角速度，角加速度 其他量其他量1dimdimTxx2dim T1dim T粘度系数粘度系数压强，压力，弹性模量压强，压力，弹性模

3、量力，力矩力，力矩密度，重度密度，重度体积流量，质量流量体积流量，质量流量 速度，加速度速度，加速度 常用量常用量 13dimTLQ3dim ML2dim MLTF21dimdimdimTMLKp11dimTML1dim MTm 22dimTML22dimTMLL12dimTLv1dim LTv2dim LTa注：注：为温度量纲为温度量纲（比焓，内能（比焓，内能（比熵（比熵 导热系数导热系数比热比热表面张力系数表面张力系数功率功率能量，功，热能量，功，热动量，动量矩动量，动量矩惯性矩，惯性积惯性矩，惯性积4dimdimLIIxyx1dim MLTI22dimdimdimTMLQWE32dimT

4、MLP122dimdimTLccvp12dimTMLL13dim MLTk2dim MT122dimTMLs12dimdimTLei同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。量纲齐次性原理量纲齐次性原理gpzgv22常数常数 （沿流线）（沿流线）LLTLTgv12212dim2L z dim LLTMLTMLgp1221-13 dimL常常数数dim 因而，每一个量的量纲，既因而，每一个量的量纲，既可以从单位中推导，也可以可以从单位中推导，也

5、可以根据计算公式，从其他物理根据计算公式，从其他物理量进行推导。量进行推导。忽略重力的伯努利方程忽略重力的伯努利方程物理方程的无量纲化物理方程的无量纲化（沿流线）（沿流线）0202121pvpv220200p)vv(1v21ppC（沿流线）（沿流线）无量纲化伯努利方程无量纲化伯努利方程 在无粘性圆柱绕流中在无粘性圆柱绕流中1C ,0vp前后驻点前后驻点30pC ,v2v上下侧点上下侧点4sin1C2p其他点其他点 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。柱面上：柱面上：02sin,vv 柱面外：柱面外：pCRr流场中流场中 还与无

6、量纲半径还与无量纲半径 有关有关CDABa0,0vp（二运动流场中的压强分布（二运动流场中的压强分布 压强系数压强系数20021Cvppp0p0v为参考压强，为参考压强，为参考速度。为参考速度。1.惯性力对压强分布的影响惯性力对压强分布的影响2.粘性力对压强分布的影响粘性力对压强分布的影响六、压力场六、压力场 汽车与飞机绕流：汽车与飞机绕流：复杂物面的压强分布复杂物面的压强分布（二运动流场中的压强分布（二运动流场中的压强分布 压强系数的正负是与参考压强压强系数的正负是与参考压强往往是大气压相比，绝对值往往是大气压相比，绝对值的大小是与来流的动能相比，从的大小是与来流的动能相比，从图中可以看出，

7、上部形成负压，图中可以看出，上部形成负压，而且速度越快，实际的升力作用而且速度越快，实际的升力作用越大，车容易越大，车容易“漂漂”。同时前端。同时前端的正压力与后端的负压力形成较的正压力与后端的负压力形成较大的压差阻力。大的压差阻力。20021Cvppp粘性流体动力学的无量纲特征参数的意义粘性流体动力学的无量纲特征参数的意义 l 粘性流体运动的基本方程是一个复杂的二阶非线性偏微分粘性流体运动的基本方程是一个复杂的二阶非线性偏微分方程，除少数特殊情况外，一般很难求得这一方程的解析解。方程，除少数特殊情况外，一般很难求得这一方程的解析解。为了实用，人们往往根据问题在几何方面、动力学方面以及传为了实

8、用，人们往往根据问题在几何方面、动力学方面以及传热学方面的特征对方程进行简化，目的是略去方程中的次要项，热学方面的特征对方程进行简化，目的是略去方程中的次要项，保留主要项，然后对简化了的方程进行求解。保留主要项，然后对简化了的方程进行求解。为了保证判断方程中哪些项可以略去，哪些项必须保留，为了保证判断方程中哪些项可以略去，哪些项必须保留，有必要把原有的方程无量纲化，这时在方程中出现一系列无量有必要把原有的方程无量纲化，这时在方程中出现一系列无量纲参数，对这些无量纲参数的数量级进行比较，就可以决定方纲参数，对这些无量纲参数的数量级进行比较，就可以决定方程中各项的取舍。程中各项的取舍。二、量纲分析

9、与二、量纲分析与定理定理量纲分析概念量纲分析概念一个方程中多项量纲必须齐次；一个方程中多项量纲必须齐次；一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以按量纲齐次性原理作分析。按量纲齐次性原理作分析。类比：角色分析类比：角色分析量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理

10、量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。析和实验研究。x1=(x 2，x 3,x n)1=f(2,3,n-r)提议用量纲分析的是瑞利提议用量纲分析的是瑞利L.Reyleigh,1877),L.Reyleigh,1877),奠定理论基础奠定理论基础的是布金汉的是布金汉E.Buckingham,1914):E.Buckingham,1914):一、一、定理定理定理定理方方 法法充要条件充要条件n n个物理量个物理量r r个独立个独立基本量基本量n-rn-r个导出量个导出量选选r r个独立个独立

11、基本量基本量组成组成n-rn-r个个独立独立数数量纲分析方法等量纲分析方法等二、量纲分析法二、量纲分析法一般步骤：以圆柱绕流为例一般步骤：以圆柱绕流为例第第1步、列举所有相关的物理量。步、列举所有相关的物理量。第第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量纲步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量纲第第3 3步、将其余的物理量作为导出量，即步、将其余的物理量作为导出量，即 、分别与基分别与基本本 量的幂次式组成量的幂次式组成表达式表达式(参见如下例子参见如下例子)。),(dVFD阻力阻力 密度密度 速度速度 直径直径粘度系数粘度系数选选、V V、d d等等3 3个个 DF经初步分析知道，在不可

12、压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流经初步分析知道，在不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动的压降动的压降p与下列因素有关：管径与下列因素有关：管径d、管长、管长l、管壁粗糙度、管壁粗糙度、管内流体密、管内流体密度度、流体的动力粘度、流体的动力粘度，以及断面平均流速，以及断面平均流速v有关。分析压强降低与相关有关。分析压强降低与相关物理量的关系。物理量的关系。例例 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 解：解：1 1列举物理量。列举物理量。pp，V V，d d，l l，共，共7 7个个),(ldVp2 2选择基本量：选择基本量：、V V、

13、d d 3 3列列表达式求解表达式求解数数数为无量纲数）数为无量纲数）1=a V bd cp 1=a V bd cp 02:013:01:bTcbaLaM解得：解得：a=-1,b=-2,c=01212pEuV（欧拉数，（欧拉数，1/21/2是人为加上去的）是人为加上去的）2=a v b d c M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 1)b L c(M L 1 T 1)M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 1)b L c(M L 1 T 2)即即01:013:01:bTcbaLaM解得：解得：a=b=c=-1 Re12Vd(雷诺数雷诺数)3=a V bd cM 0 L 0

14、 T 0=(M L 3)a(L T 1)b L c L 解得：解得：a=b=0，c=-1 d3（相对粗糙度）（相对粗糙度）4=a V bd c l (同上)dl4（几何比数）（几何比数）4列列数方程数方程),(4,321f),(Re,212dldfVp即即)2)(2gvdlgp或或这就是达西公式，这就是达西公式，为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成反比。压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成反比。=F(/d,1/Re)不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。不可

15、压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。*例例 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较 2选择基本量：选择基本量：、g、h 3列列表达式求解表达式求解数数解：解：1 1列举物理量。列举物理量。Q ,Q ,，g g，h h，共共5 5个个),(hgQ Qhgcba1M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 2)b L c(L 3 T 1)012:033:0:bTcbaLaM解得：解得：a=0,b=-1/2,c=-5/22/12/51ghQ4列列数方程数方程1=f(2)(2/12/5fghQ （弧度，无量纲）（弧度，无量纲）2或或 讨论

16、：讨论：结果表明结果表明Q与与无关，与无关，与h成成5/2次方关系。与解析次方关系。与解析式一致，解析式为式一致，解析式为 2/5)(2158hfgQ对一孔口角已确定的三角堰，对一孔口角已确定的三角堰，(c)(c)式已明确地表达了式已明确地表达了Q Q与与h h的理论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。的理论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。由实验确定由实验确定)(f2/5)(hgfQ(c)三、流动相似与相似准则三、流动相似与相似准则几何相似几何相似同类现象同类现象相似现象相似现象1 1 流动相似性流动相似性流动相似流动相似形状相似形状相似尺度成比例尺度成比例遵循同一方程

17、遵循同一方程物理量成比例物理量成比例尺度成比例尺度成比例时间成比例时间成比例速度成比例速度成比例力成比例力成比例几何相似几何相似时间相似时间相似运动相似运动相似动力相似动力相似2 2 相似准则相似准则矩形相似矩形相似lkhhll*lhlhl*l称为相似准则数或无量纲边长。称为相似准则数或无量纲边长。流动相似流动相似几何相似准则数：几何相似准则数：*lbl 运动相似准则数：运动相似准则数：*vUv*FFFi 动力相似准则数：动力相似准则数：（为惯性力）为惯性力）iF四、相似准则数的确定四、相似准则数的确定量纲分析法量纲分析法对不可压缩粘性流体的流动：对不可压缩粘性流体的流动：，V，l，g，p，R

18、e1Vl雷诺数雷诺数 222VFrlg佛鲁德数佛鲁德数 EuVp23欧拉数欧拉数 StVl4斯特哈尔数斯特哈尔数 优点：适用未知物理方程的流动。优点：适用未知物理方程的流动。缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。方程分析法方程分析法以以N-S N-S 方程方程 x x 方向的投影式为例方向的投影式为例 )(1222222zuyuxuxpfzuuyuuxuutuxxxxxzxyxxx令令xyzy*xzuuuu,u,u,VVV*xyzx,y,z,lll*xx0fpf,p,ttgp代入代入 上式得上式得 粘性力粘性力惯性力惯性力VlRe重重力力惯惯性性力力 22

19、glVFr惯惯性性力力压压力力20VpEu迁移惯性力迁移惯性力不定常惯性力不定常惯性力 VlSr()()()()*2*2*2*xxxx0 xxxzxyx22*2*2*2puuuuuuulgpluuufVVlVVtxyzxxyz方程分析法方程分析法优点：导出的相似准则数物理意义明确；无量纲方程既适用于优点：导出的相似准则数物理意义明确；无量纲方程既适用于模型也适用于原型。模型也适用于原型。缺点：不能用于未知物理方程的流动。缺点：不能用于未知物理方程的流动。根据物理法则或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用根据物理法则或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用这些力的量级比值构成相似准则数。这

20、些力的量级比值构成相似准则数。与流体微元尺度相应的特征物理量与流体微元尺度相应的特征物理量 l与流体微元速度相应的特征速度与流体微元速度相应的特征速度 V与流体微元质量相应的特征质量与流体微元质量相应的特征质量 3l与流体微元粘性相应的粘度系数与流体微元粘性相应的粘度系数 与流体微元压强相应的压强差与流体微元压强相应的压强差 p与流体微元不定常运动相应的特征角速度与流体微元不定常运动相应的特征角速度s1 3.物理法则分析法物理法则分析法迁移惯性力迁移惯性力2223/)(lVlVlsvvmFI粘性力粘性力VllVlAdndvFv2 重力重力glgmFg3 )(ReV2FrlgV2迁移惯性力迁移惯

21、性力22 lVFI压差力压差力2 plApFp不定常惯性力不定常惯性力vlmFIt2 tv)(Eu2vpSrvl优点：导出的相似准则数物理意义明确；优点：导出的相似准则数物理意义明确；缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。适用于未知物理方程的流动。适用于未知物理方程的流动。五、常用的相似准则数五、常用的相似准则数Re 数(雷诺数)低雷诺数粘性流动低雷诺数粘性流动平板边界层平板边界层 外流速度外流速度 距前缘距离距前缘距离钝体绕流钝体绕流 来流速度来流速度 截面宽度截面宽度圆管流动圆管流动 平均流速平均流速 管直径管直径 V l1Re 230

22、0Rer区分粘性流动层流与湍流态区分粘性流动层流与湍流态1Re 边界层外无粘流边界层外无粘流边界层内以边界层内以 为界区分为界区分层流与湍流态层流与湍流态5er1050R有压管流、射流、绕流、流体机械中的流动有压管流、射流、绕流、流体机械中的流动 ReVl惯性性力力粘粘性性力力Fr 数(弗劳德数)grVFr明渠流明渠流 平均流速平均流速 水深水深水面船舶水面船舶 船舶速度船舶速度 船长船长 V l Fr 数表示迁移惯性力和重力之比，反映重力对流动影响的相对重要性，是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。重重力力惯惯性性力力 22glVFrEu 数(欧

23、拉数)Eu2pV压差力惯性迁移力p 可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压强差；V 为特征速度，为流体密度。Eu数表示压力差和迁移惯性力之比，反映压力对流动影响的相对重要性。2V21pCp当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强 pv 时，时，Eu 数又称为空泡数或空蚀系数数又称为空泡数或空蚀系数 2V21ppv在描述压强差时，在描述压强差时，Eu数常称为压强系数数常称为压强系数4Sr数斯劳哈尔数）数斯劳哈尔数）迁移惯性力局部迁移惯性力VlSr l 为特征长度，V 为特征速度，为脉动圆频率。Sr数表示局部迁移惯性力和迁移惯性力之比，反映非定常流动因素的相对

24、重要性。Wo数沃默斯利数）粘性力不定常惯性力lWov 为流体的运动粘度系数，Wo 数也称为频率参数表示不定常惯性力与粘性力之量级比,用于描述粘性流体脉动流特征。5Ma数马赫数）数马赫数）V 为特征速度，c 为当地声速。6We 数韦伯数）数韦伯数）表面张力惯性力lVWe2为液体的表面张力系数。We数表示惯性力与表面张力之比，研究气液，液液及液数表示惯性力与表面张力之比，研究气液，液液及液固交界面上的表面张力作用。固交界面上的表面张力作用。Ma数表示迁移惯性力和弹性力之比，反映压缩性对流体流动的相对影响程度。用于研究可压缩流动、高速 气体流动。弹性力迁移惯性力cVWe 7Ne 数牛顿数）数牛顿数）

25、F 为外力，Ne 数表示外力与流体惯性力之量级比，用于描述运动物体在流体中产生的阻力、升力、力矩和动力机械的功率等等影响。分别称为惯性力外力22lVFNe22lV21DCD阻力系数阻力系数升力系数升力系数 22lV21LCL力矩系数力矩系数 32lV21MCM动力系数动力系数 3523nDPlVPCP（D 为动力机械旋转部件的直径，为动力机械旋转部件的直径，n 为转速。）为转速。）What模型实验？模型实验？模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是象的实验。实际发生的现

26、象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。物理本质相同，模型实验才是有价值的。2Why模型实验？模型实验？科学研究和生产设计需要做模型实验科学研究和生产设计需要做模型实验；并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数 值模拟的流动现象都不必模拟实验。值模拟的流动现象都不必模拟实验。并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现 象有充分的

27、认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但 还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。六、模型实验与相似原理六、模型实验与相似原理原型现象的原型现象的数方程：数方程：1=f(2,3,n)模型现象的模型现象的数方程：数方程：1m=f(2 m,3 m,n m)2 m=2，3 m=3，n m=n 相似条件：相似条件：相似结果：相似结果：1=1 m 由支配流动现象的主要物理法则导出的相似准则数，称为由支配流动现象的主要物理法则导出的相似准则数，称为主相似准则数，或简称为主主相似准则数，或简

28、称为主数。数。相似理论和实践经验表明：在几何相似的条件下，保证相似理论和实践经验表明：在几何相似的条件下，保证模型和原型现象中的主模型和原型现象中的主数相等，就能保证模型和原型现数相等，就能保证模型和原型现象相似，并使除主象相似，并使除主数外的其他相关数外的其他相关数也相等。数也相等。关于相似原理的讨论关于相似原理的讨论1 1尼古拉兹图与穆迪图比较尼古拉兹图与穆迪图比较 若要保证若要保证2 2个主个主数均相等，如数均相等，如为保证两主为保证两主数同时相等，应有数同时相等，应有 2关于主关于主数数 由由Fr数相等数相等 由由Re数相等数相等kllVVmmkllVVmmmm12/3kVVkmm设设

29、k=0.1，=0.1 cm2/s，应有，应有m=0.00032 cm2/s。无法找到运动粘度系数如此低的实验流体来实现完全相似。无法找到运动粘度系数如此低的实验流体来实现完全相似。造船业上的惯常方法是：保证造船业上的惯常方法是：保证F数为主数为主数数 作模型实验，然后作模型实验，然后根据经验对粘性阻力影响作修正处理，称为近似相似。根据经验对粘性阻力影响作修正处理，称为近似相似。3自模性自模性 从穆迪图上可看到，当从穆迪图上可看到，当Re 数达到足够大后，管道流动进数达到足够大后，管道流动进入完全粗糙区时，阻力系数保持常数，与入完全粗糙区时，阻力系数保持常数，与Re无关，而仅与粗无关，而仅与粗糙

30、度有关。这种与主糙度有关。这种与主数无关的流动称为自模性。数无关的流动称为自模性。穆迪利用自模性引穆迪利用自模性引入商用管道等效粗入商用管道等效粗糙度概念。糙度概念。例1 有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶，设计时速v=108km/h，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞(kl=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？解：首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选取Re作为决定性相似准数，Rem=Rep，即kvkl/k=1，再根据决定型相似准数相等，确定几个

31、比例系数的相互约束 关系，这里k=1，所以 kv=kl-1，由于kl=lm/lp=2/3，那么，kv=vm/vp=1/kl=3/2 最后得到风洞实验段内的气流速度应该是 vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s 例2 在例1中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为45m/s时，空气阻力为1000N，问：此轿车以108km/h的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？解：在设计模型时，定下 k=1 kl=2/3 kv=3/2 在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数k=1，那么力比例系数 kF=k kl2 kv2=1(2/3)2(3/2)2=1 因而，该轿车

32、在公路上以108km/h的速度行驶所遇到的空气阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N 式中k为无量纲常数。其中，各物理量的量纲为：LdTMLMLLTVcdim,dim,dim,dim1131假定dkVc代入指数方程，则得相应的量纲方程LTMLMLLT)()(1131根据量纲齐次性原理，有1:31:0:TLM解上述三元一次方程组得：1,1,1故得：dkVc其中常数k需由实验确定.选基本物理量、V、d，根据定理，上式可变为其中22211121,dVFdVD假定0),(1dVFfD0),(21对1：20:130:10:)()(11111213000111TLMMLTLLTMLTLM解上述三元一次方程组得：2,2,1111故221dVFD代入 ，并就FD解出，可得：0),(212222(Re)dVCdVfFDD式中 为绕流阻力系数，由实验确定。(Re)fCDRe12Vd同理：溢流坝流动，起主要作用的是重力，应选择弗劳德准则进行模型设计.2)()(lVmpvAvAQQmpsL8.35sm0358.0601000 35.25.2lpmQQ5.2l由Fr准则：lv